2017年河南省中考数学试题及答案.docx

第 1 页（共 31 页） 2017 年河南省中考数学试卷 　 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）下列各数中比 1 大的数是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3 2．（3 分）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据“74.4 万亿”用科 学记数法表示（　　） A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015 3．（3 分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）解分式方程 1 푥 ― 1﹣2= 3 1 ― 푥，去分母得（　　） A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3 5．（3 分）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（　　） A．95 分，95 分 B．95 分，90 分 C．90 分，95 分 D．95 分，85 分 6．（3 分）一元二次方程 2x2﹣5x﹣2=0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能 判定▱ABCD 是菱形的只有（　　）第 2 页（共 31 页） A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 8．（3 分）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域， 并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指 区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都 是正数的概率为（　　） A．1 8 B．1 6 C．1 4 D．1 2 9．（3 分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长 为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D′处，则点 C 的对应点 C′ 的坐标为（　　） A．（ 3，1） B．（2，1） C．（1， 3） D．（2， 3） 10．（3 分）如图，将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2휋 3 B．2 3﹣ 휋 3 C．2 3﹣ 2휋 3 D．4 3﹣ 2휋 3 　 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）第 3 页（共 31 页） 11．（3 分）计算：23﹣ 4=　 　． 12．（3 分）不等式组{푥 ― 2 ≤ 0 푥 ― 1 2 ＜푥的解集是　 　． 13．（3 分）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=﹣ 2 푥的图象上，则 m 与 n 的大小关系为　 　． 14．（3 分）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A， 图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线 部分的最低点，则△ABC 的面积是　 　． 15．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC= 2+1，点 M，N 分别 是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′始终落 在边 AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为　 　． 　 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中 x= 2 +1，y= 2﹣1． 17．（9 分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部 分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4第 4 页（共 31 页） B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有　 　人，a+b=　 　，m=　 　； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120 范围的 人数． 18．（9 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，过 点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD． （1）求证：BD=BF； （2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长． 19．（9 分）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船 同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53° 方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C 船至 少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈4 5，cos53°≈3 5，tan53°≈第 5 页（共 31 页） 4 3， 2≈1.41） 20．（9 分）如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= 푘 푥（x＞0）的图象交于点 A （m，3）和 B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP，若△POD 的 面积为 S，求 S 的取值范围． 21．（10 分）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知购买 2 个 A 种 魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数 相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔 方不超过 50 个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选 择哪种优惠活动购买魔方更实惠．第 6 页（共 31 页） 22．（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB， AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值． 23．（11 分）如图，直线 y=﹣ 2 3x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=﹣ 4 3x2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N． ①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标；第 7 页（共 31 页） ②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段 的中点（三点重合除外），则称 M，P，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M， P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值． 　第 8 页（共 31 页） 2017 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2017•河南）下列各数中比 1 大的数是（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3 【考点】18：有理数大小比较．菁优网版权所有 【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案． 【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关 键． 　 2．（3 分）（2017•河南）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据 “74.4 万亿”用科学记数法表示（　　） A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是 负数． 【解答】解：将 74.4 万亿用科学记数法表示为：7.44×1013． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的 值． 　 3．（3分）（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）第 9 页（共 31 页） A． B． C． D． 【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有 【分析】左视图是从左边看到的，据此求解． 【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为 2， 1， D 不符合， 故选 D． 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成， 难度不大． 　 4．（3 分）（2017•河南）解分式方程 1 푥 ― 1﹣2= 3 1 ― 푥，去分母得（　　） A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3 【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用． 【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母 x﹣1 得到结果，即可作出判 断． 【解答】解：分式方程整理得： 1 푥 ― 1﹣2=﹣ 3 푥 ― 1， 去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3， 故选 A 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检 验． 　 5．（3 分）（2017•河南）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85第 10 页（共 31 页） 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是 （　　） A．95 分，95 分 B．95 分，90 分 C．90 分，95 分 D．95 分，85 分 【考点】W5：众数；W4：中位数．菁优网版权所有 【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中 位数，本题得以解决． 【解答】解：位于中间位置的两数分别是 95 分和 95 分， 故中位数为 95 分， 数据 95 出现了 3 次，最多， 故这组数据的众数是 95 分， 故选 A． 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找 一组数据的众数和中位数． 　 6．（3 分）（2017•河南）一元二次方程 2x2﹣5x﹣2=0 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选 B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△ =b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方 程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程无实数根． 　 7．（3 分）（2017•河南）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加 下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有（　　）第 11 页（共 31 页） A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【解答】解：A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形． D、正确．可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形． 故选 C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌 握菱形的判定方法． 　 8．（3 分）（2017•河南）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成 四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止 后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记 录的两个数字都是正数的概率为（　　） A．1 8 B．1 6 C．1 4 D．1 2 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个 数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：第 12 页（共 31 页） ∵共有 16 种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4 种情况， ∴两个数字都是正数的概率是： 4 16= 1 4． 故选：C． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以 不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法 适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之 比． 　 9．（3 分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐 标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O， 固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D′处，则点 C 的对应点 C′的坐标为（　　） A．（ 3，1） B．（2，1） C．（1， 3） D．（2， 3） 【考点】LE：正方形的性质；D5：坐标与图形性质；L1：多边形．菁优网版权所有 【分析】由已知条件得到 AD′=AD=2，AO= 1 2AB=1，根据勾股定理得到 OD′= 퐴퐷′2 ― 푂퐴2= 3，于是得到结论． 【解答】解：∵AD′=AD=2， AO= 1 2AB=1， ∴OD′= 퐴퐷′2 ― 푂퐴2= 3，第 13 页（共 31 页） ∵C′D′=2，C′D′∥AB， ∴C（2， 3）， 故选 D． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别 图形是解题的关键． 　 10．（3 分）（2017•河南）如图，将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的 面积是（　　） A．2휋 3 B．2 3﹣ 휋 3 C．2 3﹣ 2휋 3 D．4 3﹣ 2휋 3 【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．菁优网版权所有 【分析】连接 OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边 三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B 是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠ O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接 OO′，BO′， ∵将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠OAO′=60°， ∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°， ∴△OO′B 是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°，第 14 页（共 31 页） ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°， ∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S 扇形 O′OB﹣S△OO′B）= 1 2×1×2 3﹣（60 ⋅ 휋 × 22 360 ﹣ 1 2×2× 3）=2 3﹣ 2휋 3 ． 故选 C． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质， 正确的作出辅助线是解题的关键． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）（2017•河南）计算：23﹣ 4=　6　． 【考点】22：算术平方根；1E：有理数的乘方．菁优网版权所有 【分析】明确 4表示 4 的算术平方根，值为 2． 【解答】解：23﹣ 4=8﹣2=6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目， 比较简单． 　 12．（3 分）（2017•河南）不等式组{푥 ― 2 ≤ 0 푥 ― 1 2 ＜푥的解集是　﹣1＜x≤2　． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的公共部分， 【解答】解：{푥 ― 2 ≤ 0① 푥 ― 1 2 ＜푥②第 15 页（共 31 页） 解不等式①0 得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2， 故答案为﹣1＜x≤2． 【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关 键是求出不等式组的解集． 　 13．（3 分）（2017•河南）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=﹣ 2 푥的 图象上，则 m 与 n 的大小关系为　m＜n　． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】由反比例函数 y=﹣ 2 푥可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在 每个象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个判定则可． 【解答】解：∵反比例函数 y=﹣ 2 푥中 k=﹣2＜0， ∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴A、B 两点均在第四象限， ∴m＜n． 故答案为 m＜n． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比 例函数图象所在的象限是解答此题的关键． 　 14．（3 分）（2017•河南）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速 运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象， 其中 M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是　12　．第 16 页（共 31 页） 【考点】E7：动点问题的函数图象．菁优网版权所有 【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运 动时，BP 先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的长度． 【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 先 A 运动时，BP 的最大值为 5， 即 BC=5， 由于 M 是曲线部分的最低点， ∴此时 BP 最小， 即 BP⊥AC，BP=4， ∴由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6， ∴△ABC 的面积为：1 2×4×6=12 故答案为：12 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出 BC 与 AC 的长度，本题属于中等题型． 　 15．（3 分）（2017•河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC= 2+1， 点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对 应点 B′始终落在边 AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为　1 2 2+1 2或 1　．第 17 页（共 31 页） 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．菁优网版权所有 【分析】①如图 1，当∠B′MC=90°，B′与 A 重合，M 是 BC 的中点，于是得到结 论；②如图 2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到 CM= 2 MB′，列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图 1， 当∠B′MC=90°，B′与 A 重合，M 是 BC 的中点， ∴BM= 1 2BC= 1 2 2+1 2； ②如图 2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM= 2MB′， ∵沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′， ∴BM=B′M， ∴CM= 2BM， ∵BC= 2+1， ∴CM+BM= 2BM+BM= 2+1， ∴BM=1， 综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为1 2 2+1 2或 1， 故答案为：1 2 2+1 2或 1．第 18 页（共 31 页） 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出 图形是解题的关键． 　 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）（2017•河南）先化简，再求值：（2x+y） 2+（x﹣y）（x+y）﹣5x （x﹣y），其中 x= 2+1，y= 2﹣1． 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把 x= 2+1，y= 2 ﹣1 代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y） =4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy =9xy 当 x= 2+1，y= 2﹣1 时， 原式=9（ 2+1）（ 2﹣1） =9×（2﹣1） =9×1 =9 【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此 题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的 值．第 19 页（共 31 页） 　 17．（9 分）（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机 调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图 表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4 B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有　50　人，a+b=　28　，m=　8　； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120 范围的 人数． 【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．菁优网版权所有 【分析】（1）根据 B 组的频数是 16，对应的百分比是 32%，据此求得调查的总 人数，利用百分比的意义求得 b，然后求得 a 的值，m 的值； （2）利用 360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数 1000 乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：（1）调查的总人数是 16÷32%=50（人）， 则 b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20， A 组所占的百分比是 4 50=8%，则 m=8．第 20 页（共 31 页） a+b=8+20=28． 故答案是：50，28，8； （2）扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 360°×20 50=144°； （3）每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120 范围的人数是 1000×28 50=560（人）． 【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题 关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 18．（9 分）（2017•河南）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD． （1）求证：BD=BF； （2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长． 【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）根据圆周角定理求出 BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出 AB ⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可； （2）求出 AC=10，AD=6，根据勾股定理求出 BD，再根据勾股定理求出 BC 即 可． 【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA=90°， ∴BD⊥AC，∠BDC=90°， ∵BF 切⊙O 于 B， ∴AB⊥BF， ∵CF∥AB， ∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，第 21 页（共 31 页） ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠ACB=∠FCB， ∵BD⊥AC，BF⊥CF， ∴BD=BF； （2）解：∵AB=10，AB=AC， ∴AC=10， ∵CD=4， ∴AD=10﹣4=6， 在 Rt△ADB 中，由勾股定理得：BD= 102 ― 62=8， 在 Rt△BDC 中，由勾股定理得：BC= 82 + 42=4 5． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定 等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 　 19．（9 分）（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某 一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/ 小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈4 5，cos53° ≈3 5，tan53°≈4 3， 2≈1.41） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有第 22 页（共 31 页） 【分析】如图作 CE⊥AB 于 E．设 AE=EC=x，则 BE=x﹣5，在 Rt△BCE 中，根据 tan53°= 퐸퐶 퐵퐸，可得4 3= 푥 푥 ― 5，求出 x，再求出 BC、AC，分别求出 A、B 两船到 C 的时间， 即可解决问题． 【解答】解：如图作 CE⊥AB 于 E． 在 Rt△ACE 中，∵∠A=45°， ∴AE=EC，设 AE=EC=x，则 BE=x﹣5， 在 Rt△BCE 中， ∵tan53°= 퐸퐶 퐵퐸， ∴4 3= 푥 푥 ― 5， 解得 x=20， ∴AE=EC=20， ∴AC=20 2=28.2， BC= 퐸퐶 푠푖푛53°=25， ∴A 船到 C 的时间≈28.2 30 =0.94 小时，B 船到 C 的时间= 25 25=1 小时， ∴C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时 间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常 考题型． 　 20．（9 分）（2017•河南）如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= 푘 푥（x＞0）的第 23 页（共 31 页） 图象交于点 A（m，3）和 B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为　y=﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y= 3 푥　； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP，若△POD 的 面积为 S，求 S 的取值范围． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【分析】（1）先将 B（3，1）代入反比例函数即可求出 k 的值，然后将 A 代入反 比例函数即可求出 m 的，再根据 B 两点的坐标即可求出一次函数的解析式． （2）设 P 的坐标为（x，y），由于点 P 在直线 AB 上，从而可知 PD=y，OD=x，由 题意可知：1≤x≤3，从而可求出 S 的范围 【解答】解：（1）将 B（3，1）代入 y= 푘 푥， ∴k=3， 将 A（m，3）代入 y= 3 푥， ∴m=1， ∴A（1，3）， 将 A（1，3）代入代入 y=﹣x+b， ∴b=4， ∴y=﹣x+4 （2）设 P（x，y）， 由（1）可知：1≤x≤3， ∴PD=y=﹣x+4，OD=x， ∴S= 1 2x（﹣x+4）， ∴由二次函数的图象可知：第 24 页（共 31 页） S 的取值范围为：3 2≤S≤2 故答案为：（1）y=﹣x+4；y= 3 푥． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函 数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型． 　 21．（10 分）（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知 购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种 魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔 方不超过 50 个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选 择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据“购 买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔 方所需款数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方 （100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出 w 活动一、w 活动二关于 m 的函数关系 式，再分别令 w 活动一＜w 活动二、w活动一=w 活动二和 w 活动一＞w 活动二，解出 m 的取 值范围，此题得解． 【解答】解：（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个，第 25 页（共 31 页） 根据题意得：{2푥 + 6푦 = 130 3푥 = 4푦， 解得：{푥 = 20 푦 = 15． 答：A 种魔方的单价为 20 元/个，B 种魔方的单价为 15 元/个． （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方 （100﹣m）个， 根据题意得：w 活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600； w 活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500． 当 w 活动一＜w 活动二时，有 10m+600＜﹣10m+1500， 解得：m＜45； 当 w 活动一=w 活动二时，有 10m+600=﹣10m+1500， 解得：m=45； 当 w 活动一＞w 活动二时，有 10m+600＞﹣10m+1500， 解得：45＜m≤50． 综上所述：当 m＜45 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=45 时，选择两种 活动费用相同；当 m＞45 时，选择活动二购买魔方更实惠． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等 式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于 x、y 的 二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出 w 活动一、w 活动二关于 m 的函数关 系式． 　 22．（10 分）（2017•河南）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中 点． （1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是　PM=PN　，位置关系是　PM⊥ PN　； （2）探究证明第 26 页（共 31 页） 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值． 【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM= 1 2CE，PN= 1 2BD，进而判断出 BD=CE， 即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= 1 2BD，PN= 1 2BD，即可得出 PM=PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN= 1 2BD， ∵点 P，M 是 CD，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM= 1 2CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA，第 27 页（共 31 页） ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN， （2）由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= 1 2BD，PM= 1 2CE， ∴PM=PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形， （3）如图 2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面，第 28 页（共 31 页） ∴MN 最大=AM+AN， 连接 AM，AN， 在△ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90°， ∴AM=2 2， 在 Rt△ABC 中，AB=AC=10，AN=5 2， ∴MN 最大=2 2+5 2=7 2， ∴S△PMN 最大= 1 2PM2= 1 2×1 2MN2= 1 4×（7 2）2= 49 2 ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三 角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的 关键是判断出 PM= 1 2CE，PN= 1 2BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解 （3）的关键是判断出 MN 最大时，△PMN 的面积最大，是一道基础题目． 　 23．（11 分）（2017•河南）如图，直线 y=﹣ 2 3x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣ 4 3x2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N． ①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点 M 的坐标； ②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段 的中点（三点重合除外），则称 M，P，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M， P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值．第 29 页（共 31 页） 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①由 M 点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出 MA、MP、PN、PB 的长， 分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值； ②用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN 的中点、M 为线 段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的 值． 【解答】解： （1）∵y=﹣ 2 3x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B， ∴0=﹣2+c，解得 c=2， ∴B（0，2）， ∵抛物线 y=﹣ 4 3x2+bx+c 经过点 A，B， ∴{ ―12 + 3푏 + 푐 = 0 푐 = 2，解得{푏 = 10 3 푐 = 2 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ 4 3x2+10 3 x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为 y=﹣ 2 3x+2， ∵M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线第 30 页（共 31 页） 分别交于点 P，N， ∴P（m，﹣ 2 3m+2），N（m，﹣ 4 3m2+10 3 m+2）， ∴PM=﹣ 2 3m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ 4 3m2+10 3 m+2﹣（﹣ 2 3m+2）=﹣ 4 3m2+4m， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有 BN⊥MN， ∴BN=OM=m， ∴퐵푁 퐴푀= 푃푁 푃푀，即 푚 3 ― 푚= ― 4 3푚2 + 4푚 ― 2 3푚 + 2 ，解得 m=0（舍去）或 m=2， ∴M（2，0）； 当∠NBP=90°时，则有푃푁 푃퐴= 퐵푃 푀푃， ∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ 2 3m+2）， ∴BP= 푚2 + ( ― 2 3푚 + 2 ― 2)2= 13 3 m，AP= (푚 ― 3)2 + ( ― 2 3푚 + 2)2= 13 3 （3﹣m）， ∴ ― 4 3푚2 + 4푚 13 3 (3 ― 푚) = 13 3 푚 ― 2 3푚 + 2 ，解得 m=0（舍去）或 m= 11 8 ， ∴M（11 8 ，0）； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点 M 的坐标为（2， 0）或（11 8 ，0）； ②由①可知 M（m，0），P（m，﹣ 2 3m+2），N（m，﹣ 4 3m2+10 3 m+2）， ∵M，P，N 三点为“共谐点”， ∴有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（﹣ 2 3m+2）=﹣ 4 3m2+10 3 m+2，解得 m=3（三点 重合，舍去）或 m= 1 2； 当 M 为线段 PN 的中点时，则有﹣ 2 3m+2+（﹣ 4 3m2+10 3 m+2）=0，解得 m=3（舍去）第 31 页（共 31 页） 或 m=﹣1； 当 N 为线段 PM 的中点时，则有﹣ 2 3m+2=2（﹣ 4 3m2+10 3 m+2），解得 m=3（舍去） 或 m=﹣ 1 4； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为1 2或﹣1 或﹣ 1 4． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似 三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知 识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到 关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定 义得到 m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合 性较强，分情况讨论比较多，难度较大．