2019年广州市南沙区中考一模数学

数学试卷 第 1 页 共 18 页 2019 年南沙区初中毕业生学业考试 数 学 第一部分 选择题（共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1． 的立方根是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C ． D． 3．如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称 图形的是（ ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 4．如图，直线 ，以直线 上的点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 、 于 点 B、C，连接 AC、BC．若∠ABC=65°，则∠1=（ ） A．115° B．80° C．65° D．50° 5．南沙区某中学在备考 2019 广州中考体育的过程中抽取该校九年级 20 名男生进行立定跳 远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示： 成绩（单位：米） 2.10 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 人数 2 3 2 4 5 2 1 1 8 2− 2 4− 4 3 2 5( )a a= 6 2 3a a a÷ = 3 2 6a a a= 3 3 32a a a+ = a b∥ a a b数学试卷 第 2 页 共 18 页 则下列叙述正确的是（ ） A．这些男生成绩的众数是 5 B．这些男生成绩的中位数是 2.30 C．这些男生的平均成绩是 2.25 D．这些男生成绩的极差是 0.35 6．下列数中与 最接近的是（ ） A．2 B．3 C． D．4 7．如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，连结 EC．若 AB=8，OC=3，则 EC 的长为（ ） A． B．8 C． D． 8．港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程 55 千米．通车前需走水陆两路共约 170 千米，通车后，约减少时间 3 小时，平均速度是 原来的 倍，如果设原来通车前的平均时速为 千米/小时，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 9．在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的大致图象是（ ） 10．如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形 OBA，∠OBA=90°，斜边 OA 在 x 轴正半 轴上，且 OA=2，将 Rt△OBA 绕原点 O 逆时针旋转 90°，同时扩大边长的 1 倍，得到等 腰直角三角形 OB1A1（即 A1O=2AO）．同理，将 Rt△OB1A1 逆时针旋转 90°，同时扩大 边 长 1 倍 ， 得 到 等 腰 直 角 三 角 形 OB2A2…… 依 此 规 律 ， 得 到 等 腰 直 角 三 角 形 19 1− π 2 15 2 10 2 13 2.5 x 170 55 32.5x x − = 55 170 3x x − = 170 55 2.5 3x x ×− = 170 55 32.5x x − = y ax b= − 2y ax b= − − A． B． C． D ．数学试卷 第 3 页 共 18 页 OB2019A2019，则点 B2019 的坐标为（ ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题（共 120 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。） 11．关于 的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为 ． 12．抛物线 的顶点坐标是 ． 13．如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上，则∠BED 的余弦值等于 ． 14．如图，在平行四边形 ABCD 中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线 AD 与 BC 间的距离是 ． 15．如果 ，则 的值为 ． 16．如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F 分别是线段 AB、 AD 上的动点（不与端点 重合），且 AE=DF，BF 与 DE 相交于点 G．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②∠ BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD；④若 AF=2DF，BG=6GF；⑤S 四边形 BCDG= ．其中正确的结论有 （填序号）． 第 10 题图 ( )2019 20192 2− ， ( )2019 20192 2−， ( )2018 20182 2− ， ( )2018 20182 2−， x 第 11 题图 第 13 题图 第 14 题图 22( 1) 3y x= − + + 1 6a a − = 2 2 1a a + 23CG数学试卷 第 4 页 共 18 页 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 9 分）解一元一次方程： ． 18．（本小题满分 9 分）如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠B+∠AEC=180 °，∠BAC=∠D，BC=CE．求证：AC=DC． 19．（本小题满分 10 分）已知 （1）化简 ； （2）若 为△ABC 的面积，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=2，求 T 的值． 13 12 2 =−− xx 第 18 题图 2 2 2 2 4 4 1 1 2 x x xT x x x x x  − + −= + ÷ − +  T x数学试卷 第 5 页 共 18 页 20．（本小题满分 10 分）随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午， 回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折， 乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买 1 盒甲品牌粽子和 2 盒乙品牌粽子需 230 元；打 折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元． （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？ （2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子 比不打折节省了多少钱？ 21．（本小题满分 12 分）随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便 捷．某 校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且 只选其中一种你最喜欢的付款方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的 统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心 角的度数为　 　； （2）补全条形统计图； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款 方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．数学试卷 第 6 页 共 18 页 22．（本小题满分 12 分）已知直线 与直线 关于原点 O 对称，若反 比例函数 的图象与直线 交于 A、B 两点，点 A 横坐标为 1，点 B 纵坐 标为 ． （1）求 ， 的值； （2）结合图象，当 时，求自变量 的取值范围． 23．（本小题满分 12 分）如图，AB 为 的直径，点 C 在 上，且 tan∠ABC=2； （1）利用尺规过点 A 作 的切线 AD（点 D 在直线 AB 右侧），且 AD=AB，连接 OD 交 AC 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）条件下， ①求证：OD∥BC； ②连接 BD 交 于点 F，求证： ． 1 1 5 2 2y x= + 2y kx b= + my x = 2y kx b= + 1 2 − k b 2 5 2 1 +< xx m x O O O O DE OD DF BD= 数学试卷 第 7 页 共 18 页 24．（本小题满分 14 分）抛物线 L： 经过点 ，与它的对称轴直 线 交于点 B． （1）求出抛物线 L 的解析式； （2）如图 1，过定点的直线 与抛物线 L 交于点 M、N．若△BMN 的面积等于 3，求 k 的值； （3）如图 2，将抛物线 L 向下平移 m（m＞0）个单位长度得到抛物线 L 1，抛物线 L1 与 y 轴交于点 C，过点 C 作 y 轴的垂线交抛物线 L1 于另一点 D．点 F 为抛物线 L1 的对 称轴与 x 轴的交点，P 为线段 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点 P 恰有 2 个，求 m 的值及相应点 P 的坐标． 21 2y x bx c= + + (0 1)A −， 2x = 2 5y kx k= − − ( 0)k > OC 图 1 图 2数学试卷 第 8 页 共 18 页 25．（本小题满分 14 分）如图 1，已知在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A 在 轴 负半轴上，直线 与 轴、 轴分别交于 B、C 两点，四边形 ABCD 为平行四 边形，且 AC=BC，点 P 为△ACD 内一点，连接 AP、BP 且∠APB=90°． （1）求证：∠PAC=∠PBC； （2）如图 2，点 E 在线段 BP 上，点 F 在线段 AP 上，且 AF=BE，∠AEF=45°，求 的值； （3）在（2）的条件下，当 PE=BE 时，求点 P 的坐标． x 6+−= xy x y 22 2AEEF + 图 2图 1数学试卷 第 9 页 共 18 页 2019 年初中学业水平综合测试（一） 参考答案及评分标准 数 学 一、选择题：（本大题考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B B D A C B 二、填空题：（本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11． 　　12． 13． 14． 15． 16．①③④ 三、解答题：（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤．） 17．（本小题满分 9 分）解一元一次方程： 。 解： ……………………………………………………………3 分 ……………………………………………………………4 分 ………………………………………………………………6 分 ………………………………………………………………8 分 ∴ ………………………………………9 分 18．（本小题满分 9 分） 证明： ∵∠B+∠AEC=180° ∠CED+∠AEC=180° ∴∠B=∠DEC………………………………………………………4 分 在△ABC 和△DEC 中 ∴ ……………8 分 ∴ …………………………………9 分 19．（本小题满分 10 分） 解（1） 21 5 2k = 1L 21 2 12y x x m= − − − 0m > 1 2 PO OF PC CD = = 1 3PO OC= 1 2 m− − ( ) ( )2 2 24 2 1 6m− + + = 4 2 1m = ± − 0m > 4 2 1m = − 图 2数学试卷 第 16 页 共 18 页 方法二： 已知 OC=1+m，设 OP=n，那么 CP=1+m-n 由 ，得 ，整理得 解得 ∵ ∴ 所以当 时，恰有 2 个点 P 符合△PCD 与△POF 相似， 此时 OC= ①当∠OPF=∠CPD 时， = ，所以 P（0， ）； ②当∠OPF 与∠CPD 互余时， ，解得 ，所以 P（0， ）．……………………14 分 25.（本题满分 14 分） 解：（1）∵当 时， ；当 时， ∴B（6，0）；C（0，6） ∴△BOC 为等腰直角三角形……………………………………………1 分 又∵AC=BC △ACB 为等腰直角三角形 又∵∠APB=90° 设 AC 与 BP 相交于点 G 则在 Rt△APG 中，∠PAC+∠PGA=90° 同理，在 Rt△ACB 中，∠PBC+∠BGC=90° 而∠PGA=∠BGC ∴∠PAC=∠PBC……………………………………………………………3 分 （2）连接 CE、CF 在△AFC 和△BEC 中 DC PO CP OF = 4 1 2 n m n =+ − 2 (m 1)n 8 0n − + + = ( )21 4 8 0m∆ = + − × = 4 2 1m = ± − 0m > 4 2 1m = − 4 2 1m = − 4 2 1 3PO OC= 4 2 3 4 2 3 − 2 4 2 8 0n n− + = 2 2n = 2 2− 0x = 6y = 0y = 6x = 图 3数学试卷 第 17 页 共 18 页 ∴△AFC≌△BEC （SAS）……………………………………………………………………………6 分 ∴CE=CF，∠ACF=∠BCE ∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90 °…………………………………………7 分 ∴△CEF 为等腰直角三角形 ∴∠CEF=45°， 又∵∠AEF=45° ∴∠AEC=∠CEF+∠AEF=90° 在 R t△AEC 中 ∴ ∴ …………………………………………………… ……………9 分 （3）设 ， 在 Rt△PEF 中， 在 Rt△PEA 中， ∴由（2）得 ∴ 整理得 ……………①…………………………………………………… ……11 分 另在 Rt△PBA 中， 即 整理得 ……………② AF BE PAC PBC AC BC = ∠ = ∠ =    2 2 2 22 EF EFCE  = =   2 2 2CE AE AC+ = 2 2 2 2 EF AE AC+ = ( )22 2 22 2 2 6 2 144EF AE AC+ = = × = AF BE PE m= = = PF n= 2 2 2EF m n= + ( )22 2AE m n m= + + ( )22 2 22 2 2 6 2 144EF AE AC+ = = × = ( ) ( )( )22 2 22 144m n m n m+ + + + = ( )2 2 22 3 144m n m n+ + + = 2 2 2PA PB AB+ = ( ) ( )2 2 22 12m n m+ + = ( )2 24 144m n m+ + =数学试卷 第 18 页 共 18 页 由①-②得： ∵ ∴ 即点 P、F 重合时恰有 PE=BE………………………………………………………… ……………………12 分 ∴在 Rt△PAB 中，AP：BP：AB= 又∵AB=12 ∴AP= 过 P 作 PQ⊥AB 于点 Q 则△PAQ∽△BAP ∴AQ：PQ：AP= ∴ ， ∴P（ ， ）………………………………………………………………………14 分 2 2 2( ) 0m n n m+ + − = ( )2 0n m n+ = 0m n+ ≠ 0n = 1: 2: 5 12 12 5 55 = 1: 2: 5 12 55 APAQ = = 242 5PQ AQ= = 12 186 6 5 5OQ AQ= − = − = 18 5 − 24 5 图 1