高二理科下学期 期末测试卷1 答案.doc

高二理科下学期 期末测试卷1‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵＝＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），所在的象限为第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎2．（5分）在某项测量中，测量结果ξ～N（3，σ2）（σ＞0），若ξ在（3，6）内取值的概率为0.3，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（　　）‎ A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9‎ ‎【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 ‎【分析】根据ξ服从正态分布N（3，σ2），得到曲线的对称轴是直线x＝3，根据所给的ξ在（3，6）内取值的概率为0.3，根据正态曲线的对称性知在（0，3）内取值的概率．‎ ‎【解答】解：∵ξ服从正态分布N（3，σ2）‎ ‎∴曲线的对称轴是直线x＝3，‎ ‎∵ξ在（3，6）内取值的概率为0.3，‎ ‎∴根据正态曲线的性质知在（0，3）内取值的概率为0.3，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.2．‎ 第17页（共17页）‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎3．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）＝x3在x＝0处的导数值f′（0）＝0，所以，x＝0是函数f（x）＝x3的极值点．以上推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 ‎ C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【考点】F5：演绎推理．菁优网版权所有 ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足当x＝x0附近的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．‎ ‎4．（5分）y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（　　）‎ A．[﹣1，1] B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于0求出x的范围，写出区间形式即得到函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间．‎ ‎【解答】解：函数的定义域为x＞0‎ 第17页（共17页）‎ ‎∵y′＝x﹣，‎ 令x﹣＜0，由于x＞0，从而得0＜x＜1，‎ ‎∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间是（0，1）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】求函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．‎ ‎5．（5分）已知具有线性相关的五个样本点A1（0，0），A2（2，2），A3（3，2），A4（4，2），A5（6，4），用最小二乘法得到回归直线方程l1：y＝bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y＝mx+n，那么下列4个命题中，‎ ‎①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③‎ ‎④．（参考公式，）‎ 正确命题的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 ‎【分析】首先求得a，b，m，n的值，然后结合所给的数据验证所给的算式是否成立即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，‎ 则：，‎ 线性回归方程l1为：，‎ 第17页（共17页）‎ 直线l2的方程为：y＝x，‎ 故：b＝0.6，a＝0.2，m＝1，n＝0，说法①正确；‎ ‎3×0.6+0.2＝2，则直线l1过A3，说法②正确；‎ ‎，，说法③错误；‎ ‎，，说法④错误；‎ 综上可得：正确命题的个数有2个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎6．（5分）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y＝，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．‎ ‎【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），‎ 因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：‎ S＝．故选C．‎ 第17页（共17页）‎ ‎【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．‎ ‎7．（5分）已知直线y＝x+1与曲线y＝ln（x﹣a）相切，则a的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 ‎【分析】设切点为（m，n），求得y＝ln（x﹣a）的导数，可得切线的斜率，及m，n的方程，解方程可得a的值．‎ ‎【解答】解：设切点为（m，n），‎ y＝ln（x﹣a）的导数为y′＝，‎ 可得切线的斜率为＝1，‎ 且n＝m+1＝ln（m﹣a），‎ 解得m＝﹣1，a＝﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎8．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CM：条件概率与独立事件．菁优网版权所有 ‎【分析】用列举法求出事件A＝“取到的2个数之和为偶数”‎ 第17页（共17页）‎ 所包含的基本事件的个数，求p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）＝即可求得结果．‎ ‎【解答】解：事件A＝“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），‎ ‎∴p（A）＝，‎ 事件B＝“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）＝‎ ‎∴P（B|A）＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．‎ ‎9．（5分）已知f（x）＝x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】先化简f（x）＝x2+sin＝x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．‎ ‎【解答】解：由f（x）＝x2+sin＝x2+cosx，‎ ‎∴f′（x）＝x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．‎ 又f″（x）＝﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，‎ 故函数y＝f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 第17页（共17页）‎ 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ ‎10．（5分）现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库中且每个车库放2辆，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（　　）‎ A．144种 B．108种 C．72种 D．36种 ‎【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分3步进行分析：‎ ‎①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C42种取法，‎ ‎②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A42种情况，‎ ‎③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，‎ 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C42A42×1＝72种，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，需要分析如何满足“恰有2个车库放的是同一品牌的小车”的要求．‎ ‎11．（5分）设a＝sin1，b＝2sin，c＝3sin，则（　　）‎ A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】根据条件构造函数f（x）＝，（0＜x≤1），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性进行比较即可．‎ ‎【解答】解：设f（x）＝，（0＜x≤1），‎ 则f′（x）＝＝，‎ 当0＜x≤1时，cosx＞0，x＜tanx，‎ 则此时f′（x）＜0，‎ 即函数f（x）在（0，1]上为减函数，‎ 第17页（共17页）‎ 则f（）＞f（）＞f（1），‎ 即a＜b＜c，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数的关系是解决本题的关键．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，f（x）+2＞f'（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]＞ln3+x的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，设g（x）＝，对其求导分析可得函数g（x）在R上为减函数，又由f（0）的值可得g（0）＝3，而不等式ln[f（x）+2]＞ln3+x可以转化为＞3⇒g（x）＞g（0），结合函数的单调性可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，‎ 又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，‎ f（0）＝1，则g（0）＝，‎ 又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；‎ 则ln[f（x）+2]＞ln3+x⇒ln＞x⇒＞ex⇒＞3⇒g（x）＞g（0），‎ 又由g（x）为减函数，则有x＜0，‎ 则不等式的解集为（﹣∞，0）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数，分析函数的单调性，是中档题．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝　10　．‎ 第17页（共17页）‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5，然后利用二项式定理进行展开，使之与f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较，可得所求．‎ ‎【解答】解：f（x）＝x5＝[（x+1）﹣1]5＝（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5‎ 而f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，‎ ‎∴a3＝（﹣1）2＝10‎ 故答案为：10‎ ‎【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键利用x5＝[（x+1）﹣1]5展开，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎14．（5分）一次英语测验由50道选择题构成，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分150．某学生选对每一道题的概率均为0.7，则该生在这次测验中的成绩的期望是　140　．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意得该生在测试中做对题数X～B（50，0.7），由此能求出该生在这次测验中的成绩的期望．‎ ‎【解答】解：由题意得该生在测试中做对题数X～B（50，0.7），‎ ‎∴该生在这次测验中的成绩的期望是E（X）＝4×（50×0.7）＝140．‎ 故答案为：140．‎ ‎【点评】本题考查数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎15．（5分）设函数f（x）＝kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【分析】先求导函数f'（x），函数f（x）＝kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．‎ ‎【解答】解：f'（x）＝3kx2+6（k﹣1）x，‎ ‎∵函数f（x）＝kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，‎ 第17页（共17页）‎ ‎∴f'（x）＝3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立 当k＝0时，成立 k＞0时，f'（4）＝48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，‎ k＜0时，f'（4）＝48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0‎ 故k的取值范围是k≤，‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．‎ ‎16．（5分）如图所示，由直线x＝a，x＝a+1（a＞0），y＝x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2＜x2dx＜（a+1）2．类比之，∀n∈N*，++…+＜A＜++…+恒成立，则实数A＝　ln2　．‎ ‎【考点】67：定积分、微积分基本定理；F3：类比推理．菁优网版权所有 ‎【分析】令A＝A1+A2+A3+…+An，根据定积分的定义得到：A1＝﹣lnn+ln（n+1），同理求出A2，A3，…，An的值，相加求出即可．‎ ‎【解答】解：令A＝A1+A2+A3+…+An，‎ 由题意得：＜A1＜，＜A2＜，＜A3＜，…，＜An＜，‎ ‎∴A1＝dx＝lnx＝ln（n+1）﹣lnn，‎ 同理：A2＝﹣ln（n+1）+ln（n+2），A3＝﹣ln（n+2）+ln（n+3），…，An＝﹣ln（2n﹣1）+ln2n，‎ ‎∴A＝A1+A2+A3+…+An ‎＝﹣lnn+ln（n+1）﹣ln（n+1）+ln（n+2）﹣ln（n+2）+ln（n+3）﹣…﹣ln（2n﹣1）+ln2n ‎＝ln2n﹣lnn 第17页（共17页）‎ ‎＝ln2，‎ 故答案为：ln2．‎ ‎【点评】本题考查定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，…，An的值是解题的关键，本题是一道中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．‎ ‎（I）求复数z ‎（II）若复数+m2（1+i）﹣2i+2m﹣5为纯虚数，求实数m的值．‎ ‎【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），可得a2+b2＝5，再由复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，可得a＝﹣2b，联立方程组求解；‎ ‎（Ⅱ）化简复数+m2（1+i）﹣2i+2m﹣5，再由其实部为0且虚部不为0求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设z＝a+bi（a，b∈R且a＞0），‎ 由|z|＝，得a2+b2＝5，‎ 又复数（1+3i）z＝（a﹣3b）+（3a+b）i在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上．‎ 则a﹣3b＝3a+b，即a＝﹣2b，‎ 又a＞0，∴a＝2，b＝﹣1，则z＝2﹣i；‎ ‎（Ⅱ）∵+m2（1+i）﹣2i+2m﹣5＝m2+2m﹣3+（m2﹣1）i为纯虚数，‎ ‎∴，解得m＝﹣3．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的概念，是基础的计算题．‎ ‎18．（12分）已知（1+m）n（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含x项的系数为84，‎ ‎（I）求m，n的值 ‎（II）求（1+m）n （1﹣x）的展开式中有理项的系数和．‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【分析】（I）利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式求得m的值．‎ 第17页（共17页）‎ ‎（II）由二项展开式的通项公式，求得（1+m）n （1﹣x）的展开式中有理项的系数和．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可知，2n＝128，解得n＝7．‎ ‎∵含x项的系数为•m2＝84，m＝2．‎ ‎（II）（1+m）n 的展开项通项公式为 Tr+1＝•mr•，‎ ‎（1+m）n 展开式的有理项分别为T1、T3、T5、T7，‎ ‎（1+m）n （1﹣x）的展开式有理项的系数和为0．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎19．（12分）已知某公司为上海世博会生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该特许商品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大？‎ ‎【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）当0＜x≤10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝8.1x﹣﹣10，当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝98﹣﹣2.7x，由此能求出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式．‎ ‎（Ⅱ）当0＜x≤10时，由W′＝8.1﹣＝0，得x＝9，推导出当x＝9时，W取最大值，且wmax＝38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，‎ W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝8.1x﹣﹣10，‎ 当x＞10时，W＝xR（x）﹣（10+2.7x）＝98﹣﹣2.7x，‎ 第17页（共17页）‎ ‎∴W＝．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）①当0＜x≤10时，‎ 由W′＝8.1﹣＝0，得x＝9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，‎ 当x∈（9，10）时，w′＜0．‎ ‎∴当x＝9时，W取最大值，且wmax＝8.1×9﹣﹣10＝38.6．…（9分）‎ ‎②当x＞10时，W＝98﹣（）＜98﹣2＝38，‎ 当且仅当，即x＝时，Wmax＝38．‎ 综合①、②知x＝9时，W取最大值．…（11分）‎ 所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查年利润的最大值的求法．解时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．‎ ‎20．（12分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．‎ ‎（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；‎ 甲班 乙班 总计 大于等于80分的人数 第17页（共17页）‎ 小于80分的人数 总计 ‎（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．‎ 附：K2＝，‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）依题意求出K2≈3.333＞2.706，从而有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．‎ ‎（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，‎ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．‎ ‎（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，‎ 依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴．‎ ‎【点评】‎ 第17页（共17页）‎ 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：，且an＞0，n∈N+．‎ ‎（1）求a1，a2，a3；‎ ‎（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【考点】82：数列的函数特性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用求出a1，由．求得a2，同理求得 a3．‎ ‎（2）猜想，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n＝1时，猜想成立；假设，则当n＝k+1时，由条件可解出 ，故n＝k+1时，猜想仍然成立．‎ ‎【解答】解：（1），所以，，又∵an＞0，所以.，所以 ，所以．‎ ‎（2）猜想．‎ 证明：1°当n＝1时，由（1）知成立．2°假设n＝k（k∈N+）时，成立＝．‎ 所以所以当n＝k+1时猜想也成立．‎ 综上可知，猜想对一切n∈N+都成立．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，先判断n 第17页（共17页）‎ ‎＝1时成立，然后假设当n＝k时成立，只要能证明出当n＝k+1时，立即可得到所有的正整数n都成立，必须用上假设．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）＝ln（ax）+bx在点（1，f（1））处的切线是y＝0．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）当恒成立时，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．‎ ‎【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）求出，由导数的几何意义得f（x）＝lnx﹣x+1（x∈（0，+∞）），由此能示出f（x）的极值．‎ ‎（Ⅱ）当（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立时，（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立，‎ 法一：设，则，，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，；．g（x），h（x）均在x＝1处取得最值，要使g（x）≥h（x）恒成立，只需g（x）min≥h（x）max，由此能求出实数m的取值范围．‎ 法二：设（x∈（0，+∞）），则，，由此能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝ln（ax）+bx，所以，‎ 因为点（1，f（1））处的切线是y＝0，所以f'（1）＝1+b＝0，且f（1）＝lna+b＝0‎ 所以a＝e，b＝﹣1，即f（x）＝lnx﹣x+1（x∈（0，+∞））‎ 所以，所以在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减 所以f（x）的极大值为f（1）＝lne﹣1＝0，无极小值．‎ ‎（Ⅱ）当（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立时，‎ 由（Ⅰ）f（x）＝lnx﹣x+1，‎ 第17页（共17页）‎ 即（m＜0）在x∈（0，+∞）恒成立，‎ 解法一：设，则，，‎ 又因为m＜0，所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，h'（x）＞0；‎ 当x＞1时，g'（x）＞0，h'（x）＜0．‎ 所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎；h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，．‎ 所以g（x），h（x）均在x＝1处取得最值，所以要使g（x）≥h（x）恒成立，‎ 只需g（x）min≥h（x）max，即，解得m≥1﹣e，又m＜0，‎ 所以实数m的取值范围是[1﹣e，0）．‎ 解法二：设（x∈（0，+∞）），则 当0＜x＜1时，﹣lnx＞0，x﹣1＜0，则，，即g'（x）＞0‎ 当x＞1时，﹣lnx＜0，x﹣1＞0，则，，即g'（x）＜0‎ 所以g（x）在x∈（0，1）上单调递增，在x∈（1，+∞）上单调递减．‎ 所以，即，又m＜0‎ 所以实数m的取值范围是[1﹣e，0）．‎ ‎【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质、导数性质、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/22 16:51:09；用户：高中数学5；邮箱：ssgj277@xyh.com；学号：24860417‎ 第17页（共17页）‎