中考数学题型训练及答案五

中考题型训练及答案五 1.如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直弦 CD 于 E，过点 A 作∠DAF=∠DAB，过点 D 作 AF 的垂线，垂 足为 F，交 AB 的延长线于点 P，连接 CO 并延长交⊙O 于点 G，连接 EG． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若 AD=DP，OB=3，求 的长度； （3）若 DE=4，AE=8，求线段 EG 的长． 2.已知 AB 是⊙O 的切线，BC 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 D，点 E 为 AB 的中点，PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F . （1）求证：ED 是⊙O 的切线； （2）求证：△CFP∽△CPD； （3）如果 CF=1，CP=2，sinA= ，求点 O 到 DC 的距离． 5 43.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm．如果点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，它们的速度分别为 2cm/s 和 1cm/s．FQ⊥BC，分别交 AC、BC 于点 P 和 Q， 设运动时间为 t（s）（0＜t＜4）．2·1·c·n·j·y （1）连结 EF、DQ，若四边形 EQDF 为平行四边形，求 t 的值； （2）连结 EP，设△EPC 的面积为 ycm2，求 y 与 t 的函数关系式，并求 y 的最大值； （3）若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出 t 的值． 4.如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD=4 米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的 仰角为 60°，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，其中点 A、C、E 在同一直线上． （1）求斜坡 CD 的高度 DE； （2）求大楼 AB 的高度（结果保留根号）5.如图，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 E 是 BC 的中点，F 是 AB 延长线上一点且 FB＝1. (1)求经过点 O，A，E 三点的抛物线解析式； (2)点 P 在抛物线上运动，当点 P 运动到什么位置时△OAP 的面积为 2，请求出点 P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点 Q，使△AFQ 是等腰直角三角形？若存在直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由．6. 如 图 ， BD 为 ⊙ O 的 直 径 ， 点 A 是 弧 BC 的 中 点 ， AD 交 BC 于 E 点 ， AE=2 ， ED=4. （1）求证: ～△ADB； （2) 求 的值； （3）延长 BC 至 F，连接 FD，使 的面积等于 ， 求证：DF 与⊙O 相切。 7.如图，⊙O 的直径 FD⊥弦 AB 于点 H，E 是 上一动点，连结 FE 并延长交 AB 的延长线于点 C，AB=8， HD=2．21·世 （1）求⊙O 的直径 FD； （2）在 E 点运动的过程中，EF•CF 的值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由； （3）当 E 点运动到 的中点时，连接 AE 交 DF 于点 G，求△FEA 的面积． ABE∆ tan ADB∠ BDF∆ 8 3 F O E A D B C F O E A D B C8.如图，⊙O 是 的外接圆， 平分 交⊙O 于点 ，交 于点 ，过点 作直线 ∥ ． （1）判断直线 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 的平分线 交 于点 ，求证： ； （3）在（2）的条件下，若 ，求 的长． 9. 如 图 （ 1 ） 在 Rt 中 , 且 是 方 程 的根． （1）求 和 的值； BAC∠ ABC∠ ,cm ,cm ABC∆ AE E BC D E l BC l BF AD F BE EF= 4, 3DE DF= = AF ABC∆ 90 , 5 ,C AB cm BC a∠ = = = 3AC = a 2 ( 1) 4 0x m x m− − + + = a m（2）如图（2），有一个边长为 的等边三角形 从 出发，以 1 的速度沿 方向移动，至 全部进入与 为止，设移动时间为 ， 与 重叠部分面积为 ，试求出 与 的函数关 系式并注明 的取值范围；www.21-cn-jy.com （3）试求出发后多久，点 在线段 上？ 10.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，延长 DO 交⊙O 于点 P，过点 P 作 PE⊥ AC 于点 E，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF． （1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧 PC 的长；（结果保留 π） （2）求证：OD=OE； （3）求证：PF 是⊙O 的切线． 2 a DEF C cm s CB DEF∆ ABC∆ x s DEF∆ ABC∆ y y x x D AB11.如图，直线 AB 解析式为 y=2x+4，C（0，﹣4），AB 交 x 轴于 A，A 为抛物线顶点，交 y 轴于 C， （1）求抛物线解析式？ （2）将抛物线沿 AB 平移，此时顶点即为 E，如顶点始终在 AB 上，平移后抛物线交 y 轴于 F，求当△BEF 于△ BAO 相似时，求 E 点坐标． （3）记平移后抛物线与直线 AB 另一交点为 G，则 S△BFG 与 S△ACD 是否存在 8 倍关系？若有，直接写出 F 点坐 标． 12.如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到 的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QO⊥BD，垂足为 O，连接 OA、OP． （1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ （2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设 y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最大值．13.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH ⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． (1)求证：DH是圆O的切线； (2)若 ，求证：A为EH的中点． (3)若EA=EF=1，求圆O的半径． 14.如图，AB 为半圆 O 的直径，OD⊥AB，与弦 BC 延长线交于点 D，与弦 AC 交于点 E. 3 2 FD EF =A B C D E F O F ED C BA （1）求证: △AOE∽△DOB； （2）若点 F 为 DE 的中点，连接 CF.求证：CF 为⊙O 的切线； （3）在（2）的条件下，若 CF=3 ，tanA= ,求 AB 的长. 15.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点 D 从 A 点出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位的速度向 C 匀速 运动.DE∥AB 交 BC 于点 E，DF∥BC，交 AB 于点 F.连接 EF.设运动时间为 t 秒（0＜t＜4）. （1）证明：△DEF≌△BFE； （2）设△DEF 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）存在某一时刻 t，使△DEF 为等腰三角形.请你直接写出此时刻 t 的值. 5 1 21.【解答】（1）证明：连接 OD，如图 1， ∵OA=OD， ∴∠DAB=∠ADO， ∵∠DAF=∠DAB， ∴∠ADO=∠DAF， ∴OD∥AF， 又∵DF⊥AF， ∴DF⊥OD， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）∵AD=DP ∴∠P=∠DAF=∠DAB， 而 ∠P+∠DAF+∠DAB=90°， ∴∠P=30°， ∴∠POD=60°， ∴ 的长度= =π； （3）解：连接 DG，如图 2，∵AB⊥CD， ∴DE=CE=4， ∴CD=DE+CE=8， 设 OD=OA=x，则 OE=8﹣x， 在 Rt△ODE 中，∵OE2+DE2=OD2， ∴（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5， ∴CG=2OA=10， ∵CG 是⊙O 的直径， ∴∠CDG=90°， 在 Rt△DCG 中，DG= =6， 在 Rt△DEG 中，EG= =2 ． 23.4.解：（1）在 Rt△DCE 中，DC=4 米，∠DCE=30°，∠DEC=90°， ∴DE= DC=2 米；------------- 3 分 （2）过 D 作 DF⊥AB，交 AB 于点 F， ∵∠BFD=90°，∠BDF=45°， ∴∠BFD=45°，即△BFD 为等腰直角三角形， 设 BF=DF=x 米，------------- 4 分 ∵四边形 DEAF 为矩形， ∴AF=DE=2 米，即 AB=（x+2）米， ∵DE= DC=2 米，DC=4 米 ∴CE=2 在 Rt△ABC 中，∠ACB=60°， ------------- 6 分 3 3 32 2 = − + x x解得 x= ∴AB= (米) 5.解：(1)点 A 的坐标是(2，0)，点 E 的坐标是(1，2)． 设抛物线的解析式是 y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得 {c＝0， 4a＋2b＋c＝0， a＋b＋c＝2. 解得{a＝－2， b＝4， c＝0. ∴抛物线的解析式是 y＝－2x2＋4x. ------------- 3 分 (2)当△OAP 的面积是 2 时，点 P 的纵坐标是 2 或－2. 当－2x2＋4x＝2 时，解得 x＝1， ∴点 P 的坐标是(1，2)； 当－2x2＋4x＝－2 时，解得 x＝1± 2， 此时点 P 的坐标是(1＋ 2，－2)或(1－ 2，－2)． 综上，点 P 的坐标为(1，2)，(1＋ 2，－2)或(1－ 2，－2)．------------- 7 分 (3)∵AF＝AB＋BF＝2＋1＝3，OA＝2. 则点 A 是直角顶点时，Q 不可能在抛物线上； 当点 F 是直角顶点时，Q 不可能在抛物线上； 当点 Q 是直角顶点时，Q 到 AF 的距离是 1 2AF＝3 2，若点 Q 存在，则 Q 的坐标是(1 2，3 2)．将 Q(1 2，3 2)代入 抛物线解析式成立． ∴抛物线上存在点 Q(1 2，3 2)使△AFQ 是等腰直角三角形． 6.证明（１）∵点 A 是弧 BC 的中点,∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ, ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分 （２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ,∴ＡＢ２＝２×６＝１２, ∴ＡＢ＝２ 434 + 634 + 3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ ．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∴∠ＥＤＦ＝６０°，∵ｔａｎ∠ＡＤＢ＝ ， ∴∠ＡＤＢ＝30°，∴∠BDF＝90° ∴DF 与⊙O 相切 7. 【解答】解：（1）连接 OA， ∵直径 FD⊥弦 AB 于点 H， ∴AH= AB=4， 设 OA=x， 在 Rt△OAH 中，AO2=AH2+（x﹣2）2， 即 x2=42+（x﹣2）2， ∴x=5， ∴DF=2OA=10； （2）是， ∵直径 FD⊥弦 AB 于点 H， ∴ ， ∴∠BAF=∠AEF， ∵∠AFE=∠CFA， ∴△FAE∽△FCA， ∴ ， ∴AF2=EF•CF， 在 Rt△AFH 中， AF2=AH2+FH2=44+82=80， 3 3 6 32 = 3 3 6 32 =∴EF•CF=80； （3）连接 OE， ∵E 点是 的中点， ∴∠FAE=45°，∠EOF=90°， ∴∠EOH=∠AHG， ∵∠OGE=∠HGA， ∴△OGE∽△HGA， ∴ ， 即 = ， ∴OG= ， ∴FG=OF+OG= ， ∴S△FEA=S△EFG+S△AFG= FG•OE+ FG•AH= ×（4+5）=30． 8. （1）直线 与 相切.理由:如图，连接 OE,OB,OC. AE 平分 , . 弧 BE=弧 CE . OB=OC OE⊥BC. 又 ∥BC, OE⊥ l ∴ l l O  BAC∠ ∴ BAE CAE∠ = ∠ ∴ ∴ BOE COE∠ = ∠  ∴ E l直线 与 相切………………… （2）证明： BF 平分 , 又 又 ……………………………………（6 分） (3)由（2）知，BE=EF=DE+DF=7. 在 和 中， ,即 9. （1）根据勾股定理可得，BC=4cm,即 a=4. ……………………………………（1 分） 是方程 的根 ， .……………………………………（3 分） (2)由（1）得 ，则等边三角形 DEF 的边长为 （cm）………………（4 分） 如图（1），当 时，易知 ,而 ， , ∴ l O  BAC∠ ∴ ABF CBF∠ = ∠  ,CBE CAE BAE∠ = ∠ = ∠ ∴ .CBE CBF BAE ABF∠ + ∠ = ∠ + ∠  , ,EFB BAE ABF EBF EFB∠ = ∠ + ∠ ∴∠ = ∠ ∴ BE EF= BED∆ AEB∆ ,DBE BAE DEB BEA∠ = ∠ ∠ = ∠ ∴ BED AEB∆ ∆ ∴ DE BE BE AE = 4 7 49, .7 4AEAE = ∴ = ∴ 49 2174 4AF∴ = − = a 2 4( 1) 4 0x m x m− − + + = ∴ 24 4( 1) 4 0m m− − + + = ∴ 8m = 4a = 22 a = 0 1x≤ ≤ 60DFC∠ =  90ACF∠ =  ∴ 30CGF∠ =  ∴ 3 3 ,CG CF x= =如图（2），当 时， , 综上， ……………………………（6 分） 图（1） 图（2） 图（3） （3）如图（3），若点 D 在线段 AB 上，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，此时 DM∥AC, 即 , 又等边三角形 DEF 的边长 2， ∴ 21 1 332 2 2CGFy S CF CG x x x∆= = = =   1 2x< ≤ 2 , 3 3(2 ),EC x HC EC x= − = = − ∴ 21 1 3(2 ) 3(2 ) (2 )2 2 2HECS EC HC x x x∆ = = − − = −   ∴ 2 2 23 3 32 (2 ) 2 3 3.4 2 2DEF HECy S S x x x∆ ∆= − = − − = − + − 2 2 3 ,(0 1)2 3 2 3 3.(1 2)2 x x y x x x  ≤ ≤=  − + − < ≤ BDM BAC∆ ∆ ∴ ,BM DM BC AC = 4 1 4 3 x DM− + = ∴ 15 3 4 xDM −= ∴ 3DM = A C BFE D G A C BFE D H A C BFE D M 即出发后 s 时，点 D 在线段 AB 上…… 10.【解答】（1）解：∵AC=12， ∴CO=6， ∴ = =2π； 答：劣弧 PC 的长为：2π． （2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO 和△PEO 中， ， ∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO； （3）证明： 法一： 如图，连接 AP，PC， ∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA， 由（2）得 OD=EO， ∴ 15 3 3£ ¬4 x− = ∴ 15 4 3 3 xx −= 15 4 3 3 x−∴∠ODE=∠OED， 又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE， ∴AP∥DF， ∵AC 是直径， ∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF， 又∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF， ∴∠CEF=∠EFC， ∴CE=CF， ∴PC 为 EF 的中垂线， ∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA， ∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF， ∴PF 是⊙O 的切线． 法二： 设⊙O 的半径为 r．∵OD⊥AB，∠ABC=90°， ∴OD∥BF，∴△ODE≌△CFC 又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC ∴BF=BC+FC=r+ BC ∵PD=r+OD=r+ BC ∴PD=BF 又∵PD∥BF，且∠DBF=90°， ∴四边形 DBFP 是矩形 ∴∠OPF=90° OP⊥PF， ∴PF 是⊙O 的切线． 11.【解答】解：（1）由直线 AB 解析式为 y=2x+4 可知 A（﹣2，0），B（0，4）， ∵A 为抛物线顶点， ∴设顶点式 y=a（x+2）2， 代入 C（0，﹣4）得﹣4=4a， 解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为 y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4；（2）由于顶点在直线 AB 上，故可假设向右平移 m 个单位，再向上平移 2m 个单位、 即解析式为 y=﹣（x+2﹣m）2+2m， ∴E（m﹣2，2m），F（0，﹣m2+6m﹣4）， ∵△BAO∽△BFE， ∴tan∠BFE=tan∠BAO=2， ∵tan∠BFE= =2， 化简得 2m2﹣7m+6=0， 解得 m1=2（舍去，与 B 点重合），m2= ∴E（﹣ ，3）； （3）令 2x+4=﹣x2﹣4x﹣4，解得 D（﹣4，﹣4）， 由于 G 点是由 D 点平移得来，在第二问的条件下，易得 G（﹣4+m，﹣4+2m） ∴S△ACD=8， ∴S△BFG=1 或 64， ∵S△BFG= BF•|xG|= |4﹣（﹣m2+6m﹣4）|•|﹣4+m|， 由第二问可知，2m2﹣7m+6=0，则 m2=3.5m﹣3 代入得 S△BFG= |m2﹣6m+8|， ①当 |m2﹣6m+8|=1 时， 化简得 m2﹣6m+8=± ， ∴﹣m2+6m= 或﹣m2+6m= ， ∵F（0，﹣m2+6m﹣4）， ∴F1（0， ），F2（0， ）； ②当 |m2﹣6m+8|=64 时，化简得 m2﹣6m+8=± ， ∴﹣m2+6m=﹣ 或﹣m2+6m= （舍去，无解）， ∵F（0，﹣m2+6m﹣4）， ∴F3（0，﹣ ）， 综上，F 点坐标为（0， ）或（0， ）或（0，﹣ ）． 12.【解答】（1）四边形 APQD 为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， 在△AOB 和△OPQ 中， ∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP； （3）如图，过 O 作 OE⊥BC 于 E． ①如图 1，当 P 点在 B 点右侧时，则 BQ=x+2，OE= ， ∴y= × •x，即 y= （x+1）2﹣ ， 又∵0≤x≤2， ∴当 x=2 时，y 有最大值为 2； ②如图 2，当 P 点在 B 点左侧时， 则 BQ=2﹣x，OE= ， ∴y= × •x，即 y=﹣ （x﹣1）2+ ， 又∵0≤x≤2， ∴当 x=1 时，y 有最大值为 ； 综上所述，∴当 x=2 时，y 有最大值为 2． 13.证明：(1)连接OD，如图1， ∵在⊙O中，OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， …………1分 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C，∴∠ODB= ∠ACB， ∴OD//AC， …………2分 ∵DH⊥AC， ∴∠AHD=90° ∴∠ODH=180°-∠AHD =90° ∴DH⊥OD， ∴DH是圆O的切线； …………3分 (2)∵∠ODF =∠E，∠OFD=∠AFE， ∴△ODF∽△AEF， ∴ ， 设OD=3x，AE＝2x …………4分 连接AD， ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°，即AD⊥BD， ∵AB=AC， ∴D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， AC=2 OD=6x， ∴EC=EA+AC=8x …………5分 ∵在⊙O中，∠E=∠B， 2 3== AE OD EF FD∴∠E=∠B=∠C， ∴△EDC是等腰三角形， ∵DH⊥AC， ∴ ∵A在EH上且AE=2x ∴A为EH的中点 …………6分 (3)如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r， ∵EF=EA， ∴∠EFA=∠EAF， ∵OD∥EC， ∴∠FOD=∠EAF， 则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD， ∴DF=OD=r， ∴DE=DF+EF=r+1， ∴BD=CD=DE=r+1， …………7分 在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB， ∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE， ∴BF=BD，△BDF是等腰三角形， ∴BF=BD=r+1， ∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣(1+r)=r﹣1， …………8分 xECEH 42 1 ==E F D A O B C ∵∠BFD =∠EFA，∠B=∠E ∴△BFD∽△EFA， ∴ ， ∴ = ， 解得：r1= ，r2= (不合题意，舍去)， 综上所述，⊙O 的半径为 ． 14.（1）证明：∵AB 为半圆 O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠A+∠B=90°． ∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠DOB=90°． ∴∠D+∠B=90°． ∴∠A=∠D． ∴△AOE∽△DOB； 3 （2）证明：连接 OC， ∵点 F 为 DE 的中点，∠ECD=90°， ∴EF=CF． ∴∠FCE=∠FEC． ∵∠AEO=∠FEC，∴∠FCE=∠AEO． ∵OA=OC，∴∠OCA=∠A． ∵∠A+∠AE0=90°，∴∠OCA+∠FCE=90°． 即∠FCO=90°． ∴OC⊥CF． ∴CF 为⊙O 的切线； （3）解： ∵点 F 为 DE 的中点，∠ECD=90°， ∴DE=2CF= ． 在 Rt△AOE 中，tanA= ， ∴OA=2OE． ∴OB=OA=2OE． 2 3 5=6 5× 1 2 OE OA =F ED C BA 由（1）得△AOE∽△DOB． ∴ ， ∴ ． ∴ ． 解得 OE=2 ． ∴AB=2OA=4OE= ． 15.（1）证明：∵DE∥AB，DF∥BC， ∴四边形 DFBE 为平行四边形． 1 分 ∴DF=BE，DE=BF． 2 分 又∵EF=FE， ∴△DEF≌△BFE； 3 分 （2）解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ACB． 4 分 ∴ ． ∵AD=t， ∴ ． ∵DF∥BC，∠C=90°，CD=AC-AD=4-t， ∴△DEF 的面积 S= ， = ， = ， 5 分 = ． ∴当 t=2 时，S 的最大值为 ； 6 分 2= 2DO BO OE AO EO OE = = 22 DE OE OE + = 6 5 4OE OE+ = 5 4 2 5=8 5× DF AD BC AC = 3= 4 AD BC tDF AC ⋅= 1 2 DF CD⋅ ( )1 3 42 4 t t⋅ − 23 3 8 2t t− + ( )23 328 2t− − + 3 2（3）△DEF 为等腰三角形，此时刻 t 的值为 、 或 ． 8 3 5 2 43 100