高二期中数学试卷答案(文科).pdf

试卷第 1 页，总 4 页 江苏省扬州中学 2018-2019 年度第二学期期中考试 高二数学（文科） 注意事项：(1)本卷总分为 160 分，考试时间为 120 分钟； (2)请各位考生将试卷答案填写在答题纸上. 一、填空题（每题 5 分，合计 70 分） 1．已知集合퐴 = { 1 ，3，  푎 }，퐵 = { 4 ， 5 }．若퐴 ∩ 퐵 = { 4 }，则实数푎的值为________. 2．已知复数푧 = 1+3푖 푖 (𝑖是虚数单位)，则z的虚部等于________. 3．命题“∀푥휖푅, |푥| + 푥2 > 0”的否定是___________________. 4．函数푓(푥) = √1 − log2푥的定义域为________. 5．曲线푓(푥) = 푒푥 푥 在点(1,푓(1))处的切线斜率为________. 6. 27 2 3 + (1 4) log2√3 − log8 1 4 =_______． 7．函数푓(푥) = {2푥 − 5, 푥 ≤ 2, 3sin푥, 푥 > 2, 的值域为________． 8．若函数푓(푥) = 푥3 + 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푥휖푅),则“푥0是푓(푥)的极值点”是“푓′(푥0) = 0”的________条件． （注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 9．已知函数푓(푥) = 푔(푥) + 2019 2018 푥2，函数푔(푥)是定义域为푅的奇函数，且푓(1) = 2，则푓(−1)的值为_____. 10．设푃是边长为2的正훥퐴퐵퐶内的一点，푃点到三边的距离分别为ℎ1、ℎ2、ℎ3，则ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 = √3；类 比到空间，设푃是棱长为2的空间正四面体퐴퐵퐶퐷内的一点，则푃点到四个面的距离之和ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ℎ4=______. 11．已知函数푓(푥)的周期为 4，且当푥 ∈ (0,4]时，푓(푥) = { 푐표푠 휋푥 2 , 0 < 푥 ≤ 2, log2 (푥 − 3 2) , 2 < 푥 ≤ 4. 则푓 (푓 (− 1 2))的值为__. 12．已知푓(푥) = 푥3 − 푥2푓′(1) − 1，则푓′(−1) = ________. 13．已知函数푓(푥) = −(푥 − 1)2 + 1，若方程3(푓(푥))2 − 푓(푥) + 푚 = 0在(0, √2 2 + 1)内有两个不同的解，则 实数 m 的取值范围为________. 14．若正实数푎, 푏满足푎 + 푏 = 1，则函数푓(푥) = 푎푥2 + (3 + 1 푏)푥 − 푎的零点的最大值为________. 试卷第 2 页，总 4 页 二、解答题(合计 90 分) 15．（本题 14 分）已知复数 z＝b𝑖 (b∈R)，푧−2 1+푖 是纯虚数，𝑖是虚数单位． (1)求复数 z；(2)若复数(m＋z)2 所表示的点在第二象限，求实数 m 的取值范围． 16．（本题 14 分）已知命题푝：对任意푥 ∈ 푅，不等式2푥 + |2푥 − 2| > 푎2 − 푎恒成立；命题푞：关于푥的方 程푥2 + 2푎푥 + 1 = 0有两个不相等的实数根.若“(¬푝) ∨ 푞”为真命题，“(¬푝) ∧ 푞”为假命题，求实数푎的取值 范围. 17. （本题 15 分） 某市为了加快经济发展，2019 年计划投入专项奖金加强旅游景点基础设施改造.据调查，改造后预计该市 在一个月内（以 30 天计），旅游人数푓(푥)(万人)与日期푥(日)的函数关系近似满足： 푓(푥) = 3 − 1 20 푥，人均消费푔(푥)(元)与日期푥(日)的函数关系近似满足：푔(푥) = 60 − |푥 − 20|. （1）求该市旅游日收入푝(푥)(万元)与日期푥（1 ≤ 푥 ≤ 30，푥 ∈ 푁+）的函数关系式； （2）求该市旅游日收入푝(푥)的最大值. 试卷第 3 页，总 4 页 18．（ 本题 15 分）已知函数푓(푥) = 푒푥 + 푎푒−푥，푎 ∈ 푅． (1)若푓(푥)是푅上的偶函数，求푎的值．(2)判断푔(푥) = 푙푛(푒푥 + 1) − 1 2 푥的奇偶性，并证明． 19．（本题 16 分）已知푥 = 1是函数푔(푥) = 푎푥2 − 2푎푥 + 1的零点，푓(푥) = 푔(푥) 푥 ， (1)求实数푎的值；(2)若不等式푓(ln푥) − 푘ln푥 ≥ 0在푥 ∈ [푒, 푒2]上恒成立，求实数푘的取值范围； (3)若方程푓(|2푥 − 1|) + 푘( 3 |2푥−1|) − 3푘 = 0有三个不同的实数解，求实数푘的取值范围． 试卷第 4 页，总 4 页 20．（本题 16 分）已知函数푓(푥) = 푚ln푥 − 1 2 푥2 + 1(푚 ∈ 푅). （1）若푦 = 푓(푥)在(1, 푓(1))处的切线方程为푦 = 푥 + 푛 2 (푛 ∈ 푅)，求푚, 푛的值； （2）若푚为区间[1,4]上的任意实数，且对任意푥1, 푥2 ∈ (0,1]，总有|푓(푥1) − 푓(푥2)| ≤ 푡| 1 푥1 − 1 푥2 |成立， 求实数푡的最小值. 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 1 页，总 4 页 江苏省扬州中学 2018-2019 年度第二学期期中考试 高二数学（文科）参考答案 一、填空题 1．4 2．-1 3．∃푥0 ∈ 푅, |푥| + 푥2 ≤ 0 4．(0,2] 5．0 6．10 7．(−5,3] 8．充分不必要 9． 1 1009 10.2√6 3 11．0 12．5 13．(−2,− 1 4) ∪ (0, 1 12) 【详解】当푥 ∈ (0, √2 2 + 1)时，푓(푥)图像如下：∴ 푓(푥) ∈ (0,1] 设푓(푥) = 푡，则푚 = −3푡2 + 푡, 푡 ∈ (0,1] 当푡 ∈ (1 2 , 1)时，若方程有两个不同解，只需푦 = 푚与푔(푡) = −3푡2 + 푡图像只有一个交点 ⇒ 푚 ∈ (−2, − 1 4) 当푡 = 1时，若方程有两个不同解，需푦 = 푚与푔(푡) = −3푡2 + 푡图像有两个交点，不合题意 当푡 ∈ (0, 1 2]时，若方程有两个不同解，需푦 = 푚与푔(푡) = −3푡2 + 푡图像有两个交点 ⇒ 푚 ∈ (0, 1 12) 综上所述：푚 ∈ (−2, − 1 4) ∪ (0, 1 12)，本题正确结果：(−2, − 1 4) ∪ (0, 1 12) 14．√85−9 2 【详解】因为正实数푎, 푏满足푎 + 푏 = 1，则函数푓(푥) = 푎푥2 + (3 + 1 푏)푥 − 푎的零点 푥2 = −(3+1 푏)+√(3+1 푏)2+4푎2 2푎 = −(3+1 푏 2푎 ) + √(3+1 푏 2푎 )2 + 1 ，令푡 = 3+1 푏 2푎 所以零点的最大值就相当于求−푡 + √푡2 + 1的最大值 令푓(푡) = −푡 + √푡2 + 1，푓′(푡) = −1 + 1 2 ⋅ 1 √푡2+1 = 1−2√푡2+1 2√푡2+1 < 0 所以函数푓(푡) = −푡 + √푡2 + 1是单调递减的， 当 t 取最小值时，f(t)取最大值，又因为푡 = 3+1 푏 2푎 ，a+b=1 所以푡 = 3+ 1 1−푎 2푎 = 4−3푎 2푎−2푎2 (0 < 푎 < 1) 令푓(푎) = 4−3푎 2푎−2푎2 ，푓′(푎) = −3(2푎−2푎2)−(4−3푎)(2−4푎) (2푎−2푎2)2 = −6푎2+16푎−8 (2푎−2푎2)2 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 2 页，总 4 页 令푓′(푎) > 0 ，解得2 3 < 푎 < 1，此时푓(푎)递增, 푓′(푎) < 0 ，解得0 < 푎 < 2 3 ，此时푓(푎)递减， 푓(푎)min = 푓(2 3) = 4−3×2 3 2×2 3−2×4 9 = 9 2 = 푡, 所以此时푓(푡)max = 푓(9 2) = − 9 2 + √(9 2)2 + 1 = √85−9 2 ，故答案为√85−9 2 . 二、解答题 15．【详解】（1）∵z＝bi（b∈R）， ∴푧−2 1+푖 = 푏푖−2 1+푖 = (푏푖−2)(1−푖) (1+푖)(1−푖) = (푏−2)+(푏+2)푖 2 = 푏−2 2 + 푏+2 2 𝑖．又∵푧−2 1+푖 是纯虚数，∴푏−2 2 = 0，∴b＝2，即 z＝2i． （2）∵z＝2i，m∈R，∴（m+z）2＝（m+2i）2＝m2+4mi+4i2＝（m2﹣4）+4mi， 又∵复数所表示的点在第二象限，∴{푚2 − 4 < 0 4푚 > 0 ， 解得 0 1 ， ∵푦 = 2푥+1 − 2是增函数，∴푓(푥)有最小值 2， 若命题푝为真命题，则푎2 − 푎 < 2，−1 < 푎 < 2. 若命题푞为真命题，则훥 = 4푎2 − 4 > 0，푎 < −1或푎 > 1. ∵(¬푝) ∨ 푞为真命题，(¬푝) ∧ 푞为假命题，∴¬푝与푞一真一假. 若푝真，则푞真，此时1 < 푎 < 2； 若푝假，则푞假，此时{푎 ≤ −1 或푎 ≥ 2 −1 ≤ 푎 ≤ 1 ，即푎 = −1.故푎的取值范围是{−1} ∪ (1,2). 17. 【详解】（1）当1 ≤ 푥＜20（푥 ∈ 푁+）时， 푝(푥) = 푓(푥) ⋅ 푔(푥) = (3 − 1 20 푥)(60 − |푥 − 20|) = − 1 20 푥2 + 푥 + 120， 同理，当20 ≤ 푥 ≤ 30（푥 ∈ 푁+）时，푝(푥) = 1 20 푥2 − 7푥 + 240， 所以，푝(푥)的函数关系式是푝(푥) = { − 1 20 푥2 + 푥 + 120,  (1 ≤ 푥＜20, 푥 ∈ 푁+) 1 20 푥2 − 7푥 + 240,  (20 ≤ 푥 ≤ 30,푥 ∈ 푁+) ； （2）由（1）可知： 当1 ≤ 푥＜20, 푥 ∈ 푁+时，푝(푥) = − 1 20 (푥 − 10)2 + 125,  푝(푥)푚푎푥 = 푝(10) = 125， 当20 ≤ 푥 ≤ 30,푥 ∈ 푁+时，푝(푥) = 1 20 (푥 − 70)2 − 5，푝(푥)푚푎푥 = 푝(20) = 120， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 3 页，总 4 页 所以，当푥 = 10时，푝(푥)的最大值是 125 万元． 18.【详解】(1) ∵ 푓(푥)是 R 上的偶函数.∴ 푓(−푥) = 푓(푥)， ∴ 푒−푥 + 푎푒푥 = 푒푥 + 푎푒−푥，∴ (푎 − 1)(푒푥 − 푒−푥) = 0，∴ 푎 = 1. (2)푔(푥)是偶函数.证明如下： 푔(푥)的定义域为 R， 且푔(−푥) = 푙푛(푒−푥 + 1) + 1 2 푥 = 푙푛 (1+푒푥 푒푥 ) + 1 2 푥 = 푙푛(푒푥 + 1) − 1 2 푥 = 푔(푥), ∴ 푔(푥)是偶函数． 19．【详解】(1) ∵ 푥 = 1是函数푔(푥) = 푎푥2 − 2푎푥 + 1的零点， ∴ 푔(1) = 푎 − 2푎 + 1 = 1 − 푎 = 0，得푎 = 1. (2)푔(푥) = 푥2 − 2푥 + 1，푓(푥) = 푔(푥) 푥 = 푥 − 2 + 1 푥 ， 则不等式푓(ln푥) − 푘ln푥 ≥ 0在푥 ∈ [푒, 푒2]上恒成立， 等价为ln푥 + 1 ln푥 − 2 ≥ 푘ln푥，∵ 1 ≤ ln푥 ≤ 2， ∴同时除以ln푥，得1 + ( 1 ln푥)2 − 2 ( 1 ln푥) ≥ 푘，令푡 = 1 ln푥 ，则푘 ≤ 푡2 − 2푡 + 1， ∵ 푥 ∈ [푒, 푒2]，∴ 푡 ∈ [1 2 , 2]，故ℎ(푡)的最小值为 0，则푡 ≤ 0，即实数 k 的取值范围(−∞, 0]. (3)原方程等价为|2푥 − 1| + 1+3푘 |2푘−1| − 2 − 3푘 = 0， ∵ 푥 ≠ 0，∴两边同乘以|2푥 − 1|得|2푥 − 1|2 − (2 + 3푘)|2푥 − 1| + 1 + 3푘 = 0， 此方程有三个不同的实数解，令푢 = |2푥 − 1|，则푢 > 0， 则푢2 − (2 + 3푘)푢 + 1 + 3푘 = 0，得푢 = 1或푢 = 1 + 3푘， 当푢 = 1时，|2푥 − 1| = 1，得푥 = 1， 当|2푥 − 1| = 1 + 3푘，要使方程푓(|2푥 − 1|) + 푘 3 |2푥−1| − 3푘 = 0有三个不同的实数解， 则必须有|2푥 − 1| = 1 + 3푘有两个解，则0 < 1 + 3푘 < 1，得− 1 3 < 푘 < 0． 20． 【详解】（1）∵푓′(푥) = 푚 푥 − 푥 ∴푓′(1) = 푚 − 1 = 1，即푚 = 2, 푓(1) = − 1 2 + 1 = 1 + 푛 2 ，解得푛 = −1. （2）依题意푚 푥 ≥ 1∴푓′(푥) ≥ 0，故푓(푥)在(0,1]上单调递增，不妨设1 ≥ 푥1 ≥ 푥2 > 0， 则푓(푥1) ≥ 푓(푥2)且 1 푥1 ≤ 1 푥2 ，原不等式即为푓(푥1) + 푡 푥1 ≤ 푓(푥2) + 푡 푥2 . 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 答案第 4 页，总 4 页 令푔(푥) = 푓(푥) + 푡 푥 ，依题意，应满足푔(푥)在(0,1]上单调递减， 即푔′(푥) = 푚 푥 − 푥 − 푡 푥2 ≤ 0在(0,1]上恒成立. 即푡 ≥ 푚푥 − 푥3在(0,1]上恒成立，令ℎ(푥) = 푚푥 − 푥3，则ℎ′(푥) = 푚 − 3푥2 （i）若푚 ≥ 3，ℎ′(푥) ≥ 0，此时ℎ(푥)在(0,1]上单调递增，故此时ℎ(푥)最大值 = ℎ(1) = 푚 − 1 （ii）若1 ≤ 푚 < 3，푥 ∈ (0,√푚 3 )时，ℎ′(푥) > 0，ℎ(푥)单调递增； 푥 ∈ (√푚 3 , 1)时，ℎ′(푥) < 0，ℎ(푥)单调递减； 故此时ℎ(푥)max = ℎ(√푚 3 ) = 2푚 3 √푚 3 ∴ℎ(푥)最大值 = { 2푚 3 √푚 3 , 1 ≤ 푚 < 3 푚 − 1,3 ≤ 푚 ≤ 4 ， 故对于任意푚 ∈ [1,4]，满足题设条件的푡最小值为 3.