2019高二下学期期中数学试卷.pdf

1 / 4 江苏省扬州中学 2018－2019 年度第二学期期中考试 高二数学（理科） 一、填空题（每小题 5 分，共计 70 分）。 1. 命题“x∈R，x2＋x＞0”的否定是________________________． 2. 若复数 z 满足：z·(1＋i)＝2，则|z|＝_____________. 3. 若 f (x)＝x3，其导数满足 f (x0)＝3，则 x0 的值为_________． 4. 命题“x2－x－2＝0”是命题“x＝－1”的_____________条件． 5. 投掷两个骰子，向上的点数之和为 12 的概率为_________． 6. 若曲线f (x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为_________． 7. 有 3 名男生 4 名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种 不同的排列方法．（用数字作答） 8. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设 n＝k 成立推导 n＝k＋1 成立时，f (n)＝1＋1 2 ＋1 3＋···＋ 1 2n－1增加的项的个数是______________项．（用 k 表示） 9. 若数列{an}为等差数列，定义 bn＝an+1＋an+2＋an+3 3 ，则数列{bn}也为等差数列。类比 上述性质，若数列{an}为等比数列，定义数列{bn}：bn＝________________，则数 列{bn}也为等比数列． 10. (1＋ax)6 的展开式中二项式系数的最大值为___________．（用数字作答） 11. 若函数 f (x)＝mx2＋lnx－2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的最小值为_________． 12. 若函数 f (x)＝x3＋3x 对任意的 m∈[－2,2]，不等式 f (mx－2)＋f (x)＜0 恒成立，则实 数 x 的取值范围是_______________． 2 / 4 13. 已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，f (1)＝0，且对任意 x＞0 都有 x·f (x)－f (x)＞0 成 立，则不等式 x2·f (x)＞0 的解集是_____________． 14. 设曲线 f (x)＝(ax－1)·ex 在点 A(x0, y1)处的切线为 l1，g(x)＝(1－x)·e−x 在点 B(x0, y2)处 的切线为 l2，若存在 x0∈[0, 3 2]，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围是_________． 二、解答题（共 6 大题，共计 90 分）。 15. （本题满分 14 分） 命题 p：方程 x2＋mx＋1＝0 有实数根； 命题 q：方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实数根． 若命题 p、q 中有且仅有一个真命题，求实数 m 的取值范围． 16. （本题满分 14 分） 已知 n·Cn-3 n ＋A3 n＝4·C3 n＋1（n≥3，n∈N） （1）求 n 的值； （2）求  3 x＋2 x n 展开式中的常数项． 3 / 4 17. （本题满分 15 分） 已知数列{an}满足 a1＝－2 3，an＝－ 1 an－1＋2(n≥2，n∈N*)， （1）求 a2、a3、a4； （2）猜想数列通项公式 an，并用数学归纳法给出证明． 18. （本题满分 15 分） 在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，AB∥CD， ∠ADC＝90º，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．设 Q 为侧棱 PC 上一点，→PQ ＝λ→PC ， （1）若 λ＝1 3，证明：PB⊥DQ； （2）试确定 λ 的值，使得二面角 P－BD－Q 的大小为 45°． 4 / 4 19. （本题满分 16 分） 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共 10 个，其中红球 5 个，白球 3 个，蓝 球 2 个。现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球。重复以上操作， 最多取 3 次，过程中如果取出蓝色球则不再取球。 （1）求最多取两次就结束的概率； （2）求整个过程中恰好取到 2 个白球的概率； （3）求取球次数的分布列和数学期望。 20. （本题满分 16 分） 已知函数 f (x)＝mx－alnx－m，g(x)＝ex ex，其中 m，a 均为实数． （1）求 g(x)的极值； （2）设 m＝1，a＜0，若 对任意的 x1,x2∈[3,4]，且 x1≠x2，有 f (x2)－f (x1) ＜ 1 g(x2)－ 1 g(x1) 恒成立，求实数 a 的最小值； （3）设 a＝2，若 对任意给定的 x0∈(0,e]，在 区间(0,e]上总存在 t1,t2(t1≠t2)，使 得 f (t1) ＝f (t2)＝g(x0)成立，求实数 m 的取值范围． 命题：王喜 审核：戚有建