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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件、互斥，那么．
·如果事件、相互独立，那么．
·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．是虚数单位，则的值为_____________．
10．是展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为_____________．
13．设，则的最小值为_____________．
14．在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16．（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图，平面，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
18．（本小题满分13分）
设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
19．（本小题满分14分）
设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
20．（本小题满分14分）
设函数为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
9． 10． 11． 12． 13． 14．
三．解答题
15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．
（Ⅰ）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，从而，
，故
．
16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故，从而．
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
3
随机变量的数学期望．
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为，则，且．由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由（Ⅰ）知
．
17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．
（Ⅰ）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得
，又因为直线平面，所以平面．
（Ⅱ）解：依题意，．
设为平面的法向量，则即不妨令，
可得．因此有．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，则即
不妨令，可得．
由题意，有，解得．经检验，符合题意．
所以，线段的长为．
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．
19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）解：．
所以，数列的通项公式为．
（ii）解：
．
20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：由已知，有．因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增．
所以，的单调递增区间为的单调递减区间为．
（Ⅱ）证明：记．依题意及（Ⅰ），有，从而．当时，，故
．
因此，在区间上单调递减，进而．
所以，当时，．
（Ⅲ）证明：依题意，，即．记，则，且．
由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，当时，，所以在上为减函数，因此．又由（Ⅱ）知，
，故
．
所以，．
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