2019年天津市南开区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算2﹣（﹣3）×4的结果是（ ）
A．10 B．﹣20 C．﹣10 D．14
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）我区围绕培育和践行社会主义核心价值观为主线，扎实推进《天津市文明行为促进条例》宣传贯彻，与《天津日报》联合刊发《文明南开社区读本》文明条例宣传专刊40000份．将“40000”用科学记数法表示为（ ）
A．4×105 B．4×104 C．0.4×105 D．40×103
4．（3分）观察下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（ ）
A． B．
26
C． D．
6．（3分）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（ ）
A．a B．b C．c D．d
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，x1x2＞0，则y1﹣y2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，CB′与AB相交于点D，连接AA′，则∠B′A′A的度数为（ ）
26
A．10° B．15° C．20° D．30°
10．（3分）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．4
11．（3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
12．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②n＝c﹣a；③3a+b＞0；④﹣1＜a＜﹣．其中正确的结论有（ ）
26
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）计算：（﹣3a）2a3＝ ．
14．（3分）化简：（）÷的结果是 ．
15．（3分）已知直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，该直线解析式可以是 ．
16．（3分）如图在圆形靶中，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，且∠BAC＝30°，则射击到靶中阴影部分的概率是 ．
17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
18．（3分）如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D均为格点，线段CD相交于点O．
（Ⅰ）线段CD的长等于 ；
（Ⅱ）请你借助网格，使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST，满足点O为其对角线的交点，并简要说明这个矩形是怎么画的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
26
19．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．在某中学举行的一次知识竞赛活动中，每个班参加竞赛的人数都相同．成绩分别为A、B、C、D四个等级，四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分，现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图．
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为 ；
（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝ ；
（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数；
（Ⅳ）求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数．
26
21．已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，点P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．
（Ⅰ）如图①，点P在线段OA上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小；
（Ⅱ）如图②，点P在OA的延长线上，若∠AQE＝28°，求∠OBQ的大小．
22．在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上，在救助船B的西南方向上，船B在船A正北方向150海里处．
（Ⅰ）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
（Ⅱ）若救助船A，B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75，结果保留整数
23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．“五一”节期间两家商场都让利酬宾，在甲商场按累计购物金额的85%收费；在乙商场累计购物金额超过400元后，超出400元的部分按75%收费，设小红在同一商场累计购物金额为x元，其中x＞400．
26
（Ⅰ）根据题意，填写如表（单位：元）：
累计购物实际花费
500
700
……
x
在甲商场
425
…
在乙商场
625
…
（Ⅱ）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（Ⅲ）“五一”节期间，小红如何选择这两家商场去购物更省钱？
24．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x﹣1上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
25．如图所示，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，4），抛物线y＝+bx+c经过点B，且顶点在直线x＝3上．
（Ⅰ）求抛物线对应的函数关系式；
（Ⅱ）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别是D、C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
26
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接BD．已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O，B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM，PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．
26
2019年天津市南开区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】原式先计算乘法运算，再计算减法运算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣（﹣12）＝2+12＝14，
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：2cos30°＝2×．
故选：B．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将40000用科学记数法表示为：4×104．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
【解答】解：第1个，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确；
第2个，不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
第3个，是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
第4个，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
26
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．【分析】找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：此几何体的主视图有两排，从上往下分别有1，3个正方形；
左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；
俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，关键是掌握三视图所看的位置．
6．【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【解答】解：由图可知：c到原点O的距离最短，
所以在这四个数中，绝对值最小的数是c；
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数．
7．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为，
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．【分析】先根据k＞0、x1＞x2，x1x2＞0，判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小．
【解答】解：∵k＞0．
∴图象分别位于第一、三象限，
26
又∵在每个象限内y随x的增大而减小，x1＞x2，x1x2＞0，
故y1＜y2，
∴y1﹣y2的值为负数．
故选：B．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．
9．【分析】由旋转的性质可得AC＝A'C，∠ACA'＝40°，∠BAC＝∠B'A'C＝90°，由等腰三角形的性质可得∠AA'C＝70°＝∠A'AC，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A'B'C
∴AC＝A'C，∠ACA'＝40°，∠BAC＝∠B'A'C＝90°
∴∠AA'C＝70°＝∠A'AC
∴∠B'A'A＝∠B'A'C﹣∠AA'C＝20°
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10．【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE，代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，
∴△ABC与△ADE是等边三角形，
∵圆的半径为2，
∴AH＝3，BC＝AB＝2，
∴AE＝，AF＝1，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC+3S△ADE＝×2×3+××1×3＝4，
故选：D．
【点评】
26
本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，熟记正多边形与圆的性质是解题的关键．
11．【分析】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
【解答】解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，
此时AD+CD＝2+2＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC'对称的点是A'是解题的关键．
12．【分析】由抛物线与x轴的交于点A（﹣1，0）且对称轴为x＝1，知函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为x＝﹣＝1得b＝﹣2a，将其代入n＝a+b+c可判断②；由开口方向知a＜0，将b＝﹣2a代入3a+b即可判断③；由图象过（﹣1，0）知a﹣b+c＝0，将b＝﹣2a代入可得c＝﹣3a，结合抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）得2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，从而判断④．
【解答】解：∵函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
则函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＞3时，y＜0，故①正确；
26
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＝a﹣2a+c，即n＝c﹣a，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点（﹣1，0），即x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），
∴2＜c＜3，即2＜﹣3a＜3，
解得：﹣1，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．③常数项c决定抛物线与y轴交点．④抛物线与x轴交点个数取决于b2﹣4ac的值是解题的关键
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．
【解答】解：（﹣3a）2a3＝9a2•a3
＝9a5．
故答案为：9a5．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
14．【分析】
26
分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
【解答】解：原式＝
＝×
＝．
【点评】此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算．
15．【分析】根据一次函数y＝kx+b的系数与图象的关系解答．
【解答】解：∵直线y＝kx+1经过第一、二、四象限，
∴k＜0．
∴该直线解析式可以是y＝﹣x+1．
故答案是：y＝﹣x+1（答案不唯一）
【点评】考查了一次函数的性质．k＞0，该函数图象经过第一、三象限；k＜0，该函数图象经过第二、四象限．
16．【分析】先利用圆周角定理证四边形ABCD是矩形，据此可得阴影部分面积＝S扇形AOD+S扇形BOC，设⊙O半径为r，则射击到靶中阴影部分的概率是，从而得出答案．
【解答】解：∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
则S△COD＝S△AOD，S△AOB＝S△BOC，
∴阴影部分面积＝S扇形AOD+S扇形BOC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
设⊙O半径为r，
则射击到靶中阴影部分的概率是＝，
故答案为：．
26
【点评】本题考查了几何概率；本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
18．【分析】（Ⅰ）由勾股定理求解可得．
（Ⅱ）1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
26
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）CD＝＝2．
故答案为：2；
（Ⅱ）如图，
1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
答案为：1、以O为圆心、OA为半径作⊙O；
2、借助网格作AE⊥OA；
3、过点O作RT∥AE，交⊙O于点R、T；
4、延长AB交⊙O于点S，顺次连接A、R、S、T，
则矩形ARST即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握勾股定理、圆周角定理、矩形的判定与性质等知识点．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．【分析】（I）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；
（II）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；
（III）在数轴上表示出来即可；
（IV）根据数轴得出即可．
【解答】解：（I）解不等式①得：x＜3，
26
故答案为：x＜3；
（II）解不等式②得：x≥1，
故答案为：x≥1；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
；
（IV）原不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
20．【分析】（Ⅰ）根据一班的成绩，利用条形统计图的信息解决问题即可．
（Ⅱ）根据百分比之和为100%，计算即可．
（Ⅲ）根据平均数的定义计算即可．
（Ⅳ）根据众数，中位数的定义判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）每个班参加竞赛的学生人数为5+10+2+3＝20（人）；
故答案为20人．
（Ⅱ）二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%，则m＝100﹣25﹣35﹣30＝10；
故答案为10．
（Ⅲ）求一班参加竞赛学生成绩的平均数＝＝88.5．
（Ⅳ）二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为100分，80分．
【点评】本题考查众数，加权平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．【分析】（Ⅰ）连接OQ，根据圆周角定理求出∠BQA，根据切线的性质得到∠OQE＝90°，结合图形计算，得到答案；
（Ⅱ）连接OQ，根据切线的性质得到∠OQE＝90°
26
，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OQ，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
由圆周角定理得，∠BQA＝∠BOA＝45°，
∵QE为⊙O的切线，
∴∠OQE＝90°，
∴∠OQB＝90°﹣∠BQA﹣∠AQE＝17°，
∵OB＝OQ，
∴∠OBQ＝∠OQB＝17°；
（Ⅱ）如图②，连接OQ，
∵QE为⊙O的切线，
∴∠OQE＝90°，
∴∠OQA＝90°﹣∠AQE＝62°，
∵OA＝OQ，
∴∠OAQ＝∠OQA＝62°，
∴∠AOQ＝180°﹣62°×2＝56°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOA＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣56°＝34°，
∴∠OBQ＝（180°﹣34°）÷2＝73°．
26
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．【分析】（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；
（Ⅱ）分别求出PA、PB的长，根据两船航行速度，计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间，即可作出判断．
【解答】解：（Ⅰ）过点P作PE⊥AB于点E，
由题意得，∠BPE＝36.8°，∠EPA＝45°，
设PE为x海里，则AE＝PE＝x海里，
∵AB＝150海里，
∴BE＝（150﹣x）海里，
在Rt△PBE中，，
即：
解得：x≈64，
∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为64海里；
（Ⅱ）在Rt△PBE中，PE＝64海里，∠EPA＝45°，
则AP＝PE＝64≈110.5海里，
A船需要的时间为：110.5÷40≈2.76小时，
在Rt△BAE中，，
26
∴BP＝PE÷cos∠BPE＝64÷0.8＝80海里，
∴B船需要的时间为：80÷30≈2.67小时，
∵2.76＞2.67，
∴B船先到达．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．
23．【分析】（Ⅰ）根据两种购买方案即可求解；
（Ⅱ）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解；
（Ⅲ）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解．
【解答】解：（Ⅰ）700×85%＝595（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是0.85x（元）；
400+（500﹣400）×75%＝475（元），在甲商场购买x元的金额时，实际花费是400+（x﹣400）×75%＝0.75x+100．
故答案是：595；0.85x；475；0.75x+100；
（Ⅱ）根据题意，有0.85x＝0.75x+100，解得x＝1000，
∴当x＝1000时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．
（Ⅲ）由0.85x＜0.75x+100，解得x＜1000．
由0.85x＞0.75x+100，解得x＞1000．
∴当小红累计购物的金额超过1000时，在乙商场购物更省钱；
当小红累计购物的金额不超过1000元时，在甲商场购物更省钱．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出方程或不等式，进行求解．
24．【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；
（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；
（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；
【解答】解：（1）∵CD＝6，
∴点P与点C重合，
26
∴点P坐标为（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，
若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y＝x﹣1上，
∴2a+2＝a﹣1，
解得a＝﹣3，
此时P（﹣3，4）．
若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y＝x﹣1上时，
∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，解得a＝﹣1，此时P（﹣1，0）
②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，
若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y＝x﹣1上，
∴4＝a﹣1，解得a＝5，此时P（5，﹣4），
若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y＝x﹣1上，
∴﹣4＝﹣a﹣1，
解得a＝3，此时P（3，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．
（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．
26
在Rt△PNM′中，∵PM＝PM′＝6，PN＝4，
∴NM′＝＝2，
在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2＝GM′2，
∴22+（2+m）2＝m2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，4）
根据对称性可知，P（，4）也满足条件．
②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．
26
③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG＝∠M′GR，推出M′R＝M′G＝GM，设M′R＝M′G＝GM＝x．
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴R（﹣1，0），
26
在Rt△OGM′中，有x2＝22+（x﹣1）2，解得x＝，
∴P（﹣，3）．
点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．
【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，可求出b，c的值，进而可得出抛物线对应的函数关系式；
（II）由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，结合菱形的性质可得出点D，C的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出：点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上；
（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，由点B的坐标结合抛物线的对称性可得出点B′的坐标，由点B′，D的坐标利用待定系数法可求出直线B′D的函数关系式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，由MN∥BD可得出ON＝t，利用三角形的面积公式结合S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，可得出S关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（I）∵抛物线y＝+bx+c经过点B（0，4），且顶点在直线x＝3上，
∴，解得：，
∴抛物线对应的函数关系式为y＝x2﹣3x+4．
（II）点C不在该抛物线上，点D在该抛物线上，理由如下：
∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5．
∵四边形ABCD是菱形，
∴点D的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，4）．
当x＝2时，y＝x2﹣3x+4＝0，
∴点D在该抛物线上；
26
当x＝5时，y＝x2﹣3x+4＝≠4，
∴点C不在该抛物线上．
（III）过点B作BB′∥x轴，交抛物线于点B′，连接B′D交抛物线对称轴于点P，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，如图2所示．
∵点B的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴点B′的坐标为（6，4）．
设直线B′D的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），
将B′（6，4），D（2，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：，
∴直线B′D的函数关系式为y＝x﹣2．
当x＝3时，y＝x﹣2＝1，
∴点P的坐标为（3，1）．
∵MN∥BD，
∴＝＝，
∴ON＝OM＝t．
∴S△PMN＝S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ，
＝（OM+PQ）•OQ﹣OM•ON﹣PQ•NQ，
＝（t+1）×3﹣•t•t﹣×1×（3﹣t），
＝﹣t2+t，
∴S＝﹣t2+t（0＜t＜4）．
∵S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，﹣＜0，
∴当t＝时，S取得最大值，最大值为，此时点M的坐标为（0，）．
26
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理、菱形的性质、平行线分线段成比例以及三角形的面积，解题的关键是：（I）利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，求出b，c的值；（II）利用菱形的性质，求出点C，D的坐标；（III）利用分割图形求面积法，找出S关于t的函数关系式．
26
微信/支付宝扫码支付