2019年天津市红桥区中考数学一模试卷
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算4+（﹣3）的结果等于（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣1 D．1
2．sin30°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．天津西站在2019年春运的首日运输旅客达42000人次，将42000用科学记数法表示应为（ ）
A．42×103 B．4.2×104 C．4.2×103 D．0.42×105
5．如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
9．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3
21
的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
10．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
11．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，P为AB上的一个动点，若AB＝2．则PE+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），点C（4，y1），点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a；③若x2＞4，则y2＞y1；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为1和．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算x7÷x3的结果等于 ．
21
14．计算的结果等于 ．
15．一个不透明的袋子中装有8个球，其中3个红球，5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现在从袋子中随机提出一个球，则它是黑球的概率是 ．
16．若一条直线经过点（0，2），则这条直线的解析式可以是 （写出一个即可）
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝ ．
18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上，P为BC与网格线的交点，连接AP．
（Ⅰ）BC的长等于 ；
（Ⅱ）Q为边BC上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AQ，使∠PAQ＝45°，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某足球队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据足球运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息解答下列问题：
21
（Ⅰ）本次接受调查的足球队员人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组足球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．
（Ⅰ）如图①，若∠BDH＝65°，求∠ABH的大小；
（Ⅱ）如图②，若C为弧BD的中点，求∠ABH的大小．
22．（10分）如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量的∠ABD＝37°，∠ACD＝45°，BC＝50cm，求竹竿AB和AC的长（结果精确到0.1cm）．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41．
21
23．（10分）某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为x（x为非负整数）
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
一次购买（本）
10
20
30
40
…
甲文具店付款金额（元）
20
60
…
乙文具店付款金额（元）
24
66
…
（Ⅱ）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求BB′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）记K为AB的中点，S为△KO′B′的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
21
25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
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2019年天津市红桥区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】运用有理数的加减，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出．
【解答】解：4+（﹣3）＝4﹣3＝1
故选：D．
【点评】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进行运算．
2．【分析】根据特殊角的三角函数值来解本题．
【解答】解：sin30°＝．
故选：D．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
3．【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：42000＝4.2×104，
故选：B．
21
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看所得到的图形为B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
6．【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴的值在6和7之间；
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数，利用夹逼法进行无理数的估算是解题的关键．
7．【分析】可用两种方式解决本题：①将选项中的x与y的值分别代入题干中两个方程验证；②直接解方程组选出答案．此处选用第二种方法．
【解答】解：
①+②得：4x＝8
解得x＝2
将x＝2代入①可解得：y＝4
∴原方程组的解为：
故选：B．
【点评】本题考察二元一次方程组的解法，因此要对二元一次方程组的解法非常熟悉．
8．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故选：A．
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【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
9．【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．
【解答】解：∵k＝﹣6，
∴双曲线在二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，
∴A（﹣1，y1）分布在第二象限，B（1，y2），C（3，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
10．【分析】首先根据折叠可得AD＝BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．
【解答】解：根据折叠可得：AD＝BD，
∵△ADC的周长为17cm，AC＝5cm，
∴AD+DC＝17﹣5＝12（cm），
∵AD＝BD，
∴BD+CD＝12cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11．【分析】作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，则，得到PE+PC的最小值＝EQ，过E作EF⊥BC于F，根据矩形的性质得到EF＝1B＝2，BF＝AE＝AD＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，
则此时，PE+PC的值最小，PE+PC的最小值＝EQ，
过E作EF⊥BC于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴EF＝1B＝2，BF＝AE＝AD＝1，
∴QF＝3，
21
∴EQ＝＝＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据两点之间线段最短得到AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
12．【分析】①由图象知对称轴x＝1；
②﹣1≤x2≤4时，当x＝1时有最小值，x＝4时有最大值；
③当x2＞4时，y随x的增大而增大；
④cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0即可；
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3），
①∵对称轴是x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值﹣4a；
故①正确；
②当﹣1≤x2≤4时，结合图象，有最小值﹣4a，
当x＝4时有最大值5a，
∴﹣4a≤y2≤5a，
故②正确；
③当x2＞4时，y随x的增大而增大，
∴y2＞y1，
故③正确；
④由函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
∴a（3x2+2x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1或x＝，
21
故④不正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象的性质，解一元二次方程．根据题中信息将二次函数解析式进行变形，并且数形结合解题是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：x7÷x3＝x4．
故答案为：x4．
【点评】本题考查了整式的除法，注意同底数幂的除法法则，即底数不变，指数相减是解决此题的关键．
14．【分析】利用平方差公式求解．
【解答】解：原式＝7﹣4＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中共有8个球，有5个黑球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
16．【分析】设经过点（0，2）的直线解析式为y＝kx+2，只要k≠0即可．
【解答】解：∵直线经过点（0，2），
∴设y＝kx+2，
只要k≠0即可．
故答案为y＝x+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查一次函数解析式．能够根据条件设出一次函数解析式是解题的关键．
21
17．【分析】根据旋转的性质，EC＝BC＝4，DC＝AC＝6，∠ACD＝∠ACB＝90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE＝AC﹣EC＝2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．
【解答】解：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC＝BC＝4，DC＝AC＝6，∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF＝CD＝AC＝3
EG＝EC＝BC＝2
∵AC＝6，EC＝BC＝4
∴AE＝2
∴AG＝4
根据勾股定理，AF＝5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
18．【分析】（Ⅰ）每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可以求出BC的长；
（Ⅱ）使∠PAQ＝45°，根据勾股定理，需要构造一个等腰直角三角形；
【解答】解：（Ⅰ）在网格中，每个小正方形的边长为1，可以构建出直角三角形BDC
∵DB＝4，DC＝6，∠BDC＝90°
∴BC＝
故答案为：
21
（Ⅱ）点Q的位置：AO与BC的交点
找到的方法：
根据题目的要求，每个小正方形的边长为1，可以构建出2个直角三角形AEP和直角三角形PFH，连接FC，
通过求出三角形的各边长，从而证明出△AEP∽△PFH
从而知道：∠EAP+∠EPA＝∠EPA+∠FPH＝90°，∴∠APH＝90°
所以PH与FC交于点O，然后连接AO，AO与BC的交点是点Q
【点评】这题主要考查勾股定理的应用，构建直角三角形的能力，分析如何构建直角三角形的能力；
该题比较难是第2问，第1问主要是在网格中构建直角三角形就可以求出BC； 而第2问，还是利用构建直角三角形来，利用三角形相似的性质，推出∠APH＝90°，再利用等腰直角三角形的性质就可以画出∠PAQ是45°
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程）
19．【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上分别表示出每个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得：x≤3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
21
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣1≤x≤3，
故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
20．【分析】（1）根据频数÷所占百分比＝样本容量，求出本次接受调查的足球队员人数；用100%减去其它岁数所占的百分比，即可求出m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：（1）本次接受调查的足球队员人数为：9÷18%＝50（人），
m%＝100%﹣18%﹣10%﹣20%﹣28%＝24%，
则m＝24；
故答案为：50，24．
（2）这组足球运动员年龄数据的平均数年龄是：（13×9+14×12+15×14+16×10+17×5）÷40＝14.8（岁），
15岁出现了14次，次数最多，所以众数为15岁；
按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，则中位数为15岁．
【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
21．【分析】（Ⅰ）如图，连接OD．构建平行线OD∥BH；然后根据平行线的性质以及等腰三角形的性质，求得∠ABH＝2∠DBH，便可得解；
（Ⅱ）连接OD，OC，CD，得∠COD＝2∠DBH，再由切线的性质得∠HDC＝∠COD，从而得∠HDC＝∠DBH，再由直角三角形两锐角互余性质求得∠DBH，便可得解．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OD．
21
∵O为圆心，EF切⊙O于点D，
∴OD⊥EF．
又BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB＝∠DBH，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠DBH＝∠OBD，
∵∠DBH＝90°﹣∠BDH＝90°﹣65°＝25°，
∴∠ABH＝2∠DBH＝50°；
（Ⅱ）连接OD，OC，CD，如图2，
则∠DBH＝∠COD，
∵O为圆心，EF切⊙O于点D，
∴OD⊥EF，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝90°﹣∠COD，
∴∠ODC＝90°﹣∠DBH，
21
∵∠ODC＝90°﹣∠HDC，
∴∠HDC＝∠DBH，
∵C为的中点，
∴∠DBH＝∠BDC，
∴∠DBH＝∠BDC＝∠HDC，
∵∠DBH+∠BDC+∠HDC＝90°，
∴∠DBH＝30°，
由（1）知，∠ABH＝2∠DBH＝60°．
【点评】本题考查了切线的性质．本题运用切线的性质来进行计算，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造平行线来解决有关问题．
22．【分析】直接利用锐角三角函数关系分别得出AD，AB，AC的长即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：AD＝DC＝x，
故tan37°＝＝＝0.75，
解得：x＝150，
故AD＝CD＝150，
则AC＝150≈212.1（cm），
则BD＝200cm，
故sin37°＝＝＝0.60，
解得：AB＝250.0，
答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为212.1cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
23．【分析】（Ⅰ）根据题意可以将表格中的数据补充完整；
（Ⅱ）根据题意可以直接写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）根据题意和y1，y2关于x的函数关系式，可以解答本题．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
当购买20本时，甲文具店需要付款：2×20＝40（元），乙文具店需要付款：2.4×20＝48（元），
当购买40本时，甲文具店需要付款：2×40＝80（元），乙文具店需要付款：2.4×20+1.8×（40﹣20）＝84（元），
21
故答案为：40，80；48，84；
（Ⅱ）由题意可得，
y1＝2x；
y1＝；
（Ⅲ）令2x＝2.4×20+1.8（x﹣20），
解得，x＝60，
∴当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少，
当x＝60时，两家文具店花费一样多，
当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24．【分析】（I）根据勾股定理得AB＝5，由旋转性质可得∠BAB'＝90°，A′B＝AB＝5．继而得出BB′＝5；
（II）作O′D⊥x轴，由旋转的性质可得：∠O′AO＝120°，O′A＝OA＝4，在Rt△O′AD中，由∠O′AD＝60°得AD、O′D的长，继而得出答案；
（III）如图中，当点O′在AB上时，△KB′O′的面积最小，当点O′在BA的延长线上时，△KB′O′的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【解答】解：（I）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5．
根据题意△ABO绕点A顺时针旋转，得△AB′O′，
由旋转的性质可得：∠BAB'＝90°，A′B＝AB＝5，
∴BB′＝5．
（II）如图②，过O'作O'D⊥x轴于D，则∠O′DA＝90°．
由旋转的性质可得：∠O′AO＝120°，O′A＝OA＝4，
在Rt△O′AD中，由∠O′AD＝60°，∠AO′D＝30°．
∴AD＝O′A＝2．
由勾股定理O′D＝＝2，
∴OD＝OA+OD＝4+2＝6．
21
∴点O′的坐标为（6，2）；
（III）如图所示，当点O′在AB上时，△KB′O′的面积最小，最小面积S＝＝×3×（4﹣2.5）＝，
当点O′在BA的延长线上时，△KB′O′的面积最大，最大面积S＝×KO′×BO′＝＝，
综上所述，≤S≤．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查旋转的性质及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
21
25．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
【解答】解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4．
（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），S△ABC＝AB•OC＝12．
设P点坐标为（x，0），则PB＝2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴，即，
化简得：S△PBE＝（2﹣x）2．
S△PCE＝S△PCB﹣S△PBE＝PB•OC﹣S△PBE＝×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
＝x2﹣x+
＝﹣（x+1）2+3
∴当x＝﹣1时，S△PCE的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当DM＝DO时，如答图①所示．
DO＝DM＝DA＝2，
∴∠OAC＝∠AMD＝45°，
21
∴∠ADM＝90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
（II）当MD＝MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN＝ON＝1，AN＝AD+DN＝3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD＝OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4＝，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD＝OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
【点评】
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本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．
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