2019中考数学解答题型强化训练及答案八

中考题型训练及答案八 1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的中点． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O 半径为 2，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）直线 DE 与⊙O 相切，理由如下： 如图，连接 OD，OE，AD， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵点 E 是 AC 的中点，∴AE＝DE， ∵AC 是⊙O 的切线，切点为 A，∴∠OAE＝90°， ∵OA＝OD，OE＝OE，∴△OAE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE＝∠OAE＝90°，即 OD⊥ED，∴直线 DE 与⊙O 相切． （2）∵⊙O 半径为 2，∠B＝60°，∠BAC＝90°， ∴AC＝4 ，∠AOD＝2∠B＝120°，∴AE＝ AC＝ ， ∴图中阴影部分的面积＝ ． 2.如图 1，抛物线 y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边），与 y 轴交于点 C．连 接 AC、BC，D 为抛物线上一动点（D 在 B、C 两点之间），OD 交 BC 于 E 点． （1）若△ABC 的面积为 8，求 m 的值；（2）在（1）的条件下，求 的最大值； （3）如图 2，直线 y＝kx+b 与抛物线交于 M、N 两点（M 不与 A 重合，M 在 N 左边），连 MA，作 NH⊥ x 轴于 H，过点 H 作 HP∥MA 交 y 轴于点 P，PH 交 MN 于点 Q，求点 Q 的横坐标． 【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x﹣2m＝（x+m）（x﹣2） 令 y＝0，则（x+m）（x﹣2）＝0，解得 x1＝﹣m，x2＝2 ∴A（﹣m，0）、B（2，0） 令 x＝0，则 y＝﹣2m∴C（0，﹣2m）∴AB＝2+m，OC＝2m ∵S△ABC＝ ×（2+m）×2m＝8，解得 m1＝2，m2＝﹣4 ∵m＞0∴m＝2 （2）如图 1，过点 D 作 DF∥y 轴交 BC 于 F 由（1）可知：m＝2∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4 ∴B（2，0）、C（0，﹣4）∴直线 BC 的解析式为 y＝2x﹣4 设 D（t，t2﹣4），则 F（t，2t﹣4） ∴DF＝2t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+2t，OC＝4 ∵DF∥y 轴∴ ＝ ＝ ＝ 当 t＝1 时，∵ ，∴ ，此时 D（1，﹣3）． （3）设 M（x1，kx1+b）、N（x2，kx2+b）联立 ，整理得 x2+（m﹣2﹣k）x﹣2m﹣b＝0 ∴x1+x2＝2+k﹣m，x1x2＝﹣2m﹣b 设点 Q 的横坐标为 n，则 Q（n，kn+b） ∵MA∥PH 如图 2，过点 M 作 MK⊥x 轴于 K，过点 Q 作 QL⊥x 轴于 L ∵△MKA∽△QLH ∴ ＝ 即 ，整理得 kx1x2+b（x1+x2）+kmn+bm﹣bn＝0 ∴k（﹣2m﹣b）+b（2+k﹣m）+kmn+bm﹣bn＝0 ∴（km﹣b）（n﹣2）＝0 ①当 km﹣b＝0，此时直线为 y＝k（x+m），过点 A（﹣m，0），不符合题意 ②当 n﹣2＝0，此时 n＝2，Q 点的横坐标为 2． 3.如图，已知 P 是正方形 ABCD 边 BC 上一点，BP＝3PC，Q 是 CD 的中点， （1）求证：△ADQ∽△QCP； （2）若 AB＝10，连接 BD 交 AP 于点 M，交 AQ 于点 N，求 BM，QN 的长．【解答】证明：（1）∵正方形 ABCD 中，BP＝3PC，Q 是 CD 的中点 ∴PC＝ ﹣BC，CQ＝DQ＝ CD，且 BC＝CD＝AD ∴PC：DQ＝CQ：AD＝1：2 ∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°∴△PCQ∽△ADQ （2）∵△BMP∽△AMD∴BM：DM＝BP：AD＝3：4 ∵AB＝10，∴BD＝10 ，∴BM＝ 同理 QN＝ 4.如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC＝2，边 BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、QD，并过点 Q 作 QO⊥BD，垂足为 O，连接 OA、OP． （1）请直接写出线段 BC 在平移过程中，四边形 APQD 是什么四边形？ （2）请判断 OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明； （3）在平移变换过程中，设 y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最大 值． 【分析】（1）根据平移的性质，可得 PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，可得 PQ 与 AB 的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得 ∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得 AO 与 OP 的数量关系，根据余角的性质，可得 AO 与 OP 的位置关系；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得 OE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函 数的性质，可得到答案． 【解答】（1）四边形 APQD 为平行四边形； （2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°， ∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ， 在△AOB 和△OPQ 中， ∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ， ∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP； （3）如图，过 O 作 OE⊥BC 于 E． ①如图 1，当 P 点在 B 点右侧时， 则 BQ＝x+2，OE＝ ， ∴y＝ × •x，即 y＝ （x+1）2﹣ ， 又∵0≤x≤2，∴当 x＝2 时，y 有最大值为 2； ②如图 2，当 P 点在 B 点左侧时， 则 BQ＝2﹣x，OE＝ ， ∴y＝ × •x，即 y＝﹣ （x﹣1）2+ ， 又∵0≤x≤2，∴当 x＝1 时，y 有最大值为 ； 综上所述，∴当 x＝2 时，y 有最大值为 2． 5.如图，以 AB 为直径作半圆 O，点 C 是半圆上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于 E，D 为 BE 延长线上一点， 且∠DAE＝∠FAE． （1）求证：AD 为⊙O 切线； （2）若 sin∠BAC＝ ，求 tan∠AFO 的值． 【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4＝∠2，再利用 AB 为直径得到∠2+∠BAE＝90°， 则∠4+∠BAE＝90°，然后根据切线的判定方法得到 AD 为⊙O 切线； （2）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则 sin∠BAC＝ ＝ ，设 BC＝3k，AC＝4k，所以 AB＝5k．连 接 OE 交 OE 于点 G，如图，利用垂径定理得 OE⊥AC，所以 OE∥BC，AG＝CG＝2k，则 OG＝ k，EG＝ k，再证明△EFG∽△BFC，利用相似比得到 ＝ ，于是可计算出 FG＝ CG＝ k，然后根据正切的 定义求解． 【解答】（1）证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3，∠3＝∠4，∴∠4＝∠2， ∵AB 为直径，∴∠AEB＝90°， ∵∠2+∠BAE＝90°∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°， ∴AD⊥AB，∴AD 为⊙O 切线； （2）解：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°， 在 Rt△ABC 中，∵sin∠BAC＝ ＝ ，∴设 BC＝3k，AC＝4k，则 AB＝5k． 连接 OE 交 OE 于点 G，如图， ∵∠1＝∠2，∴ ＝ ，∴OE⊥AC， ∴OE∥BC，AG＝CG＝2k， ∴OG＝ BC＝ k，∴EG＝OE﹣OG＝k， ∵EG∥CB，∴△EFG∽△BFC， ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴FG＝ CG＝ k， 在 Rt△OGF 中，tan∠GFO＝ ＝ ＝3， 即 tan∠AFO＝3． 6.△ABC 中，BC＝12，高 AD＝8，矩形 EFGH 的一边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在 AB、AC 上，AD 与 EF 交于点 M． （1）求证： ； （2）设 EF＝x，EH＝y，写出 y 与 x 之间的函数表达式； （3）设矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出 S 的最大值． 【解答】解：（1）∵四边形 EFGH 是矩形，∴EF∥BC，∵AD 是△ABC 的高，∴AD⊥BC，∴AM⊥EF， ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴ （相似三角形的对应边上高的比等于相似比）； （2）∵四边形 EFGH 是矩形，∴∠FEH＝∠EHG＝90°， ∵AD⊥BC，∴∠HDM＝90°＝∠FEH＝∠EHG， ∴四边形 EMDH 是矩形，∴DM＝EH， ∵EF＝x，EH＝y，AD＝8，∴AM＝AD﹣DM＝AD﹣EH＝8﹣y， 由（1）知， ，∴ ， ∴y＝8﹣ x（0＜x＜12）； （3）由（2）知，y＝8﹣ x， ∴S＝S 矩形 EFGH＝xy＝x（8﹣ x）＝﹣ （x﹣6）2+24， ∵a＝﹣ ＜0，∴当 x＝6 时，Smax＝24． 7.某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售 完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书的数 量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书． （1）第一次购书的进价是多少元？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚 钱，赚多少？ 【解答】解：（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得：+10＝ ． 解得：x＝5． 经检验，x＝5 是原方程的解， 答：第一次购书的进价是 5 元； （2）第一次购书为 1200÷5＝240（本）， 第二次购书为 240+10＝250（本）， 第一次赚钱为 240×（7﹣5）＝480（元）， 第二次赚钱为 200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元）， 所以两次共赚钱 480+40＝520（元）， 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元． 8.如图，AN 是⊙M 的直径，NB∥x 轴，AB 交⊙M 于点 C． （1）若点 A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点 B 的坐标； （2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是⊙M 的切线． 【分析】（1）在 Rt△ABN 中，求出 AN、AB 即可解决问题； （2）连接 MC，NC．只要证明∠MCD＝90°即可； 【解答】解：（1）∵A 的坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN＝4， ∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8， ∴由勾股定理可知：NB＝ ， ∴B（ ，2）． （2）连接 MC，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN＝90°， ∴∠NCB＝90°， 在 Rt△NCB 中，D 为 NB 的中点， ∴CD＝ NB＝ND， ∴∠CND＝∠NCD， ∵MC＝MN， ∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠MNC+∠CND＝90°， ∴∠MCN+∠NCD＝90°， 即 MC⊥CD． ∴直线 CD 是⊙M 的切线． 9.如图，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点 为 D．（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点 M，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和△ANM 周长的 最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q，设点 P 的 坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点 E 的坐标为（x，0），点 F 的坐标为（x，﹣x+1），进而 可得出 PF 的值，由点 C 的坐标可得出点 Q 的坐标，进而可得出 AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出 S△APC＝﹣ x2﹣ x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点 C，N 的坐标可得出点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，则此时△ ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点 M 的坐标，以及利用两点间的距离公式 结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）将 A（1，0），C（﹣2，3）代入 y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得： ， ∴抛物线的函数关系式为 y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线 AC 的函数关系式为 y＝mx+n（m≠0）， 将 A（1，0），C（﹣2，3）代入 y＝mx+n，得： ，解得： ， ∴直线 AC 的函数关系式为 y＝﹣x+1．（2）过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所 示． 设点 P 的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点 E 的坐标为（x，0），点 F 的坐标为（x，﹣ x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1， EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点 C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点 Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝ AQ•PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ． ∵﹣ ＜0， ∴当 x＝﹣ 时，△APC 的面积取最大值，最大值为 ，此时点 P 的坐标为（﹣ ， ）． （3）当 x＝0 时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点 N 的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1． ∵点 C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点 C，N 关于抛物线的对称轴对称． 令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示． ∵点 C，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当 x＝﹣1 时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点 M 的坐标为（﹣1，2）． ∵点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（﹣2，3），点 N 的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3 ，AN＝ ＝ ， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ． ∴在对称轴上存在一点 M（﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 3 + ． 10.如图所示，已知抛物线 y＝ax2（a≠0）与一次函数 y＝kx+b 的图象相交于 A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4） 两点，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点． （1）请直接写出 a，k，b 的值及关于 x 的不等式 ax2＜kx﹣2 的解集； （2）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出△PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标； （3）是否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不 存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法得出 a，k，b 的值，进而得出不等式的解集即可； （2）过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两者交于点 C，连接 PC．根据三角形的面积公式 解答即可； （3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 【解答】解：（1）把 A（﹣1，﹣1），代入 y＝ax2 中，可得：a＝﹣1， 把 A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入 y＝kx+b 中，可得： ， 解得： ， 所以 a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2， 关于 x 的不等式 ax2＜kx﹣2 的解集是 x＜﹣1 或 x＞2， （2）过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两者交于点 C． ∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， ∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3， 设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的纵坐标为﹣m2． 过点 P 作 PD⊥AC 于 D，作 PE⊥BC 于 E．则 D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4）， ∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC ＝ ＝ ＝ ． ∵ ＜0， ，﹣1＜m＜2， ∴当 时，S△APB 的值最大． ∴当 时， ，S△APB＝ ， 即△PAB 面积的最大值为 ，此时点 P 的坐标为（ ， ） （3）存在三组符合条件的点， 当以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形时， ∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 可得坐标如下： ①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式， 解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）； ②P″的横坐标为 3，代入二次函数表达式，解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）； ③P 的横坐标为 1，代入二次函数表达式， 解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）． 故：P 的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1）， Q 的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）． 11.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y＝ 的图象在第 二象限交于点 C，CE⊥x 轴，垂足为点 E，tan∠ABO＝ ，OB＝4，OE＝2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF．如 果 S△BAF＝4S△DFO，求点 D 的坐标． 【分析】（1）由边的关系可得出 BE＝6，通过解直角三角形可得出 CE＝3，结合函数图象即可得出点 C 的 坐标，再根据点 C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数 m，由此即可得 出结论； （2）由点 D 在反比例函数在第四象限的图象上，设出点 D 的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）．通过解直角 三角形求出线段 OA 的长度，再利用三角形的面积公式利用含 n 的代数式表示出 S△BAF，根据点 D 在反比 例函数图形上利用反比例函数系数 k 的几何意义即可得出 S△DFO 的值，结合题意给出的两三角形的面积 间的关系即可得出关于 n 的分式方程，解方程，即可得出 n 值，从而得出点 D 的坐标． 【解答】解：（1）∵OB＝4，OE＝2， ∴BE＝OB+OE＝6．∵CE⊥x 轴， ∴∠CEB＝90°． 在 Rt△BEC 中，∠CEB＝90°，BE＝6，tan∠ABO＝ ， ∴CE＝BE•tan∠ABO＝6× ＝3， 结合函数图象可知点 C 的坐标为（﹣2，3）． ∵点 C 在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴m＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ． （2）∵点 D 在反比例函数 y＝﹣ 第四象限的图象上， ∴设点 D 的坐标为（n，﹣ ）（n＞0）． 在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OB＝4，tan∠ABO＝ ， ∴OA＝OB•tan∠ABO＝4× ＝2． ∵S△BAF＝ AF•OB＝ （OA+OF）•OB＝ （2+ ）×4＝4+ ． ∵点 D 在反比例函数 y＝﹣ 第四象限的图象上， ∴S△DFO＝ ×|﹣6|＝3． ∵S△BAF＝4S△DFO， ∴4+ ＝4×3， 解得：n＝ ， 经验证，n＝ 是分式方程 4+ ＝4×3 的解， ∴点 D 的坐标为（ ，﹣4）．12.如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙O 于点 C，过 点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若 AE＝1，CE＝2，求⊙O 的半径． 【分析】（1）证明：连接 CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到 OC∥FD，再证得 OC⊥CE，即 可证得结论； （2）证明：连接 BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质 即可证得结论． 【解答】（1）证明：连接 CO， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC 平分∠FAB， ∴∠OCA＝∠CAE， ∴OC∥FD， ∵CE⊥DF， ∴OC⊥CE，∴CE 是⊙O 的切线； （2）证明：连接 BC， 在 Rt△ACE 中，AC＝ ＝ ＝ ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA， ∵∠CAE＝∠CAB， ∴△ABC∽△ACE， ∴ ＝ ， ∴ ， ∴AB＝5， ∴AO＝2.5，即⊙O 的半径为 2.5． 13.如图，已知抛物线 y＝ x2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1），点 B（﹣9，10），AC∥x 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求 点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1），表示出 PE＝﹣ m2﹣3m，再用 S 四边形 AECP＝S△AEC+S△APC＝ AC× PE，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出 PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情 况计算即可． 【解答】解：（1）∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ x2+2x+1， （2）∵AC∥x 轴，A（0，1） ∴ x2+2x+1＝1， ∴x1＝﹣6，x2＝0， ∴点 C 的坐标（﹣6，1）， ∵点 A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1， 设点 P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1） ∴PE＝﹣m+1﹣（ m2+2m+1）＝﹣ m2﹣3m，∵AC⊥EP，AC＝6， ∴S 四边形 AECP ＝S△AEC+S△APC ＝ AC×EF+ AC×PF ＝ AC×（EF+PF） ＝ AC×PE ＝ ×6×（﹣ m2﹣3m） ＝﹣m2﹣9m ＝﹣（m+ ）2+ ， ∵﹣6＜m＜0 ∴当 m＝﹣ 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ， 此时点 P（﹣ ，﹣ ）； （3）∵y＝ x2+2x+1＝ （x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3， ∴PF＝CF， ∴∠PCF＝45° 同理可得：∠EAF＝45°， ∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q， 设 Q（t，1）且 AB＝9 ，AC＝6，CP＝3 ∵以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，①当△CPQ∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t＝﹣4 或 t＝﹣8（不符合题意，舍） ∴Q（﹣4，1） ②当△CQP∽△ABC 时， ∴ ， ∴ ， ∴t＝3 或 t＝﹣15（不符合题意，舍） ∴Q（3，1） 14.如图，已知⊙O 的直径 AC 与弦 BD 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上的一点，∠EAB=∠ADB． (1)、求证：AE 是⊙O 的切线； (2)、已知点 B 是 EF 的中点，连接 BC，求证：△EAF∽△CBA． (3)、已知 AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求 AE 的长．15.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点 D．点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运 动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动 到 C 时，两点都停止．设运动时间为 t 秒． （1）①求线段 CD 的长； ②求证：△CBD∽△ABC. （ 2） 设△CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并 求出 S 的最大值． （ 3） 是否存在某一时刻 t，使得△CPQ 为等腰三角形？若存 在，请直接写出满足条件的 t 的值；若不存在，请说 明理由．