2019中考数学解答题型强化训练及答案九

中考专题训练及答案九 1.如图，以点 O 为圆心，AB 长为直径作圆，在⊙O 上取一点 C，延长 AB 至点 D，连接 DC，过点 A 作⊙O 的切线交 DC 的延长线于点 E，且∠DCB＝∠DAC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AD＝6，tan∠DCB＝ 2 3，求 AE 的长． 解： (1)连接 OC，OE，∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，又∵∠DCB＝∠CAD，∠CAD ＝∠ACO，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线　 (2)∵EA 为⊙O 的切线，∴EC＝EA，EA ⊥AD，OE⊥AC，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠OEA＝90°，∴∠ BAC＝∠OEA，∴∠DCB＝∠OEA.∵tan∠DCB＝ 2 3，∴tan∠OEA＝ 푂 퐴 퐴 퐸＝ 2 3，易证 Rt△DCO∽Rt△DAE，∴ 퐶 퐷 퐷 퐴＝ 푂 퐶 퐴 퐸 ＝ 푂 퐷 퐷 퐸＝ 2 3，∴CD＝ 2 3×6＝4，在 Rt△DAE 中，设 AE＝x，∴(x＋4)2＝x2＋62，解得 x＝ 5 2，即 AE 的长为 5 2 2.)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，CF⊥AF，且 CF＝CE. (1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若 sin∠BAC＝2 5，求S △ 퐶퐵퐷 푆 △ 퐴퐵퐶的值． 解：(1)证明：连接 OC，∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE＝CF，∴AC 平分∠BAF，即∠BAF＝2∠BAC，∵∠BOC ＝2∠BAC，∴∠BOC＝∠BAF，∴OC∥AF，∴CF⊥OC，∴CF 是⊙O 的切线　(2)解：∵AB 是⊙O 的直 线，CD⊥AB，∴CE＝ED，BC ︵ ＝BD ︵ ，∴S△CBD＝2S△CEB，∠BAC＝∠BCE，又∠ACB＝∠CEB＝90°，∴△ ABC∽△CBE，∴ S △ CBE S △ ABC＝(CB AB)2＝(sin∠BAC)2＝(2 5)2＝ 4 25，∴ S △ CBD S △ ABC＝ 8 25. 3.如图，已知 FB 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于 B、F）一点.经过点 A 的直线与 FB 的延长线交于点 M，P 为 AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点 C，OE⊥BC 交⊙O 于点 E，连接 AE 交 BC 于点 D 且 PA =PD.（1）求证：AM 是⊙O 的切线； （2）连接 BE，若 ，求 BE 的长； （3）若 ， ，求 AB 的长. 4.如图，抛物线 与 x 轴负半轴交于点 ，与 x 轴正半轴交于点 （OA＜OB）， 与 y 轴交于点 C，此抛物线的对称轴与直线 BC 相交于点 M.且 ， 满足 ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上存在点 P，使得∠APB=∠ABC，利用图①求点 P 的坐标； （3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点 E，连接 EB，在抛物线上是否存在点 Q（不与点 E 重合）， 使得 ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 8ED EA⋅ = 3 5MA = 1sin 4AMF∠ = 2 ( 1)y x mx m= − + + + 1,( 0)A x 2 ,( 0)B x 1x 2x 2 2 1 2 1 27x x x x+ = − QMB EMBS S=△ △ F E B C D A M P O 第 24 题 图① 第 24 题 图② y xOO x y E M B C AA C B M5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，连接 AC，过 上一点 E 作 EG∥AC 交 CD 的延长线于 点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EG＝FG，连接 CE． （1）求证：EG 是⊙O 的切线； （2）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH＝3，CH＝4，求 EM 的值． 【分析】（1）连接 OE，由 FG＝EG 得∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，由 OA＝OE 知∠OAE＝∠OEA，根据 CD ⊥AB 得∠AFH+∠FAH＝90°，从而得出∠GEF+∠AEO＝90°，即可得证； （2）连接 OC，设 OA＝OC＝r，再 Rt△OHC 中利用勾股定理求得 r＝ ，再证△AHC∽△MEO 得 ＝ ，据此求解可得． 【解答】解：（1）如图，连接 OE， ∵FG＝EG，∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH， ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE， ∴EG 是⊙O 的切线；（2）连接 OC，设⊙O 的半径为 r， ∵AH＝3、CH＝4，∴OH＝r﹣3，OC＝r， 则（r﹣3）2+42＝r2，解得：r＝ ， ∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M， ∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：EM＝ ． 6.如图①已知抛物线 y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 的正半 轴交于点 C，连结 BC，二次函数的对称轴与 x 轴的交点 E． （1）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 E 坐标为　 　，点 A 的坐标为　 　； （2）若以 E 为圆心的圆与 y 轴和直线 BC 都相切，试求出抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是 x 的正半轴上一点，过点 Q 作 y 轴的平行线，与直线 BC 交 于点 M，与抛物线交于点 N，连结 CN，将△CMN 沿 CN 翻折，M 的对应点为 M′．在图②中探究：是 否存在点 Q，使得 M′恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据对称轴公式可以求出点 E 坐标，设 y＝0，解方程即可求出点 A 坐标． （2）如图①中，设⊙E 与直线 BC 相切于点 D，连接 DE，则 DE⊥BC，由 tan∠OBC＝ ＝ ，列出 方程即可解决． （3）分两种情形①当 N 在直线 BC 上方，②当 N 在直线 BC 下方，分别列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵对称轴 x＝﹣ ＝ ， ∴点 E 坐标（ ，0）， 令 y＝0，则有 ax2﹣3ax﹣4a＝0， ∴x＝﹣1 或 4， ∴点 A 坐标（﹣1，0）． 故答案分别为（ ，0），（﹣1，0）． （2）如图①中，设⊙E 与直线 BC 相切于点 D，连接 DE，则 DE⊥BC， ∵DE＝OE＝ ，EB＝ ，OC＝﹣4a， ∴DB＝ ＝ ＝2， ∵tan∠OBC＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴a＝﹣ ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣ x2+ x+3． （3）如图②中，由题意∠M′CN＝∠NCB， ∵MN∥OM′， ∴∠M′CN＝∠CNM， ∴MN＝CM， ∵直线 BC 解析式为 y＝﹣ x+3， ∴M（m，﹣ m+3），N（m，﹣ m2+ m+3），作 MF⊥OC 于 F， ∵sin∠BCO＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴CM＝ m， ①当 N 在直线 BC 上方时，﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）＝ m， 解得：m＝ 或 0（舍弃）， ∴Q1（ ，0）． ②当 N 在直线 BC 下方时，（﹣ m+3）﹣（﹣ m2+ m+3）＝ m， 解得 m＝ 或 0（舍弃）， ∴Q2（ ，0）， 综上所述：点 Q 坐标为（ ，0）或（ ，0）． 7.如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D，与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F． （1）试说明 DF 是⊙O 的切线； （2）若 AC＝3AE，求 tanC． 【分析】（1）连接 OD，求出 OD∥AC，求出 DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；（2）由 AC＝3AE 可得 AB＝AC＝3AE，EC＝4AE；连结 BE，由 AB 是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股 定理求出 BE，解直角三角形求出即可． 【解答】解：（1）连接 OD， ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，点 D 在⊙O 上， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）连接 BE，∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°， ∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE， ∴BE＝ ＝2 AE， 在 Rt△BEC 中，tanC＝ ＝ ＝ ． 8.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过 AC 的中点 D，DE⊥BC 于点 E． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若 DE＝2，tanC＝ ，求⊙O 的直径． 【解答】（1）证明：连接 OD．∵D 为 AC 中点，O 为 AB 中点， ∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥BC， ∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE 于点 D，∴DE 为⊙O 的切线； （2）解：连接 DB， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB⊥AC，∴∠CDB＝90° ∵D 为 AC 中点，∴AB＝BC，在 Rt△DEC 中， ∵DE＝2，tanC＝ ，∴EC＝ ， 由勾股定理得：DC＝ ， 在 Rt△DCB 中，BD＝ ， 由勾股定理得：BC＝5，∴AB＝BC＝5， ∴⊙O 的直径为 5． 9.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE 是 BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点的⊙O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线； （2）当 BE＝3，cosC＝ 时，求⊙O 的半径．【分析】（1）连结 OM，易证 OM∥BC，由于 AE 是 BC 边上的高线，从而可知 AM⊥OM，所以 AM 是⊙O 的切线． （2）由于 AB＝AC，从而可知 EC＝BE＝3，由 cosC＝ ＝ ，可知：AC＝ EC＝ ，易证△AOM∽△ ABE，所以 ，再证明 cos∠AOM＝cosC＝ ，所以 AO＝ ，从而可求出 OM＝ 【解答】解：（1）连结 OM． ∵BM 平分∠ABC ∴∠1＝∠2 又 OM＝OB ∴∠2＝∠3 ∴OM∥BC ∵AE 是 BC 边上的高线 ∴AE⊥BC， ∴AM⊥OM ∴AM 是⊙O 的切线 （2）∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E 是 BC 中点∴EC＝BE＝3 ∵cosC＝ ＝ ∴AC＝ EC＝ ∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE ∴△AOM∽△ABE ∴ 又∵∠ABC＝∠C ∴∠AOM＝∠C 在 Rt△AOM 中 cos∠AOM＝cosC＝ ， ∴ ∴AO＝ AB＝ +OB＝ 而 AB＝AC＝ ∴ ＝ ∴OM＝ ∴⊙O 的半径是10.如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶 点为 D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴根据题意，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3． （2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4）， ∴CD＝ ＝ ， BC＝ ＝3 ， BD＝ ＝2 ， ∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴△BCD 是直角三角形；（3）存在． y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1． ①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C， 设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x． 又 P1 点（x，y）在抛物线上， ∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0， 解得 x1＝ ，x2＝ ＜1，应舍去， ∴x＝ ， ∴y＝4﹣x＝ ， 即点 P1 坐标为（ ， ）． ②若以 CD 为一腰， ∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）． ∴符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3）．11.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣ x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（﹣3，0），点 B 的坐标为（4，0），连接 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的 速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连接 PQ． （1）填空：b＝　 　，c＝　 　； （2）在点 P，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点 M 在抛物线上，且△AOM 的面积与△AOC 的面积相等，求出点 M 的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y＝a（x+3）（x﹣4）． 将 a＝﹣ 代入得：y＝﹣ x2+ x+4， ∴b＝ ，c＝4 （2）在点 P、Q 运动过程中，△APQ 不可能是直角三角形． 理由如下：连结 QC． ∵在点 P、Q 运动过程中，∠PAQ、∠PQA 始终为锐角， ∴当△APQ 是直角三角形时，则∠APQ＝90°． 将 x＝0 代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）． ∵AP＝OQ＝t， ∴PC＝5﹣t， ∵在 Rt△AOC 中，依据勾股定理得：AC＝5 在 Rt△COQ 中，依据勾股定理可知：CQ2＝t2+16 在 Rt△CPQ 中依据勾股定理可知：PQ2＝CQ2﹣CP2，在 Rt△APQ 中，AQ2﹣AP2＝PQ2 ∴CQ2﹣CP2＝AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2＝t2+16﹣（5﹣t）2 解得：t＝4.5， ∵由题意可知：0≤t≤4 ∴t＝4.5 不合题意，即△APQ 不可能是直角三角形． （3 ）∵AO 是△AOM 与△AOC 的公共边 ∴点 M 到 AO 的距离等于点 C 到 AO 的距离 即点 M 到 AO 的距离等于 CO 所以 M 的纵坐标为 4 或﹣4 把 y＝4 代入 y＝﹣ x2+ x+4 得 ﹣ x2+ x+4＝4 解得 x1＝0，x2＝1 把 y＝﹣4 代入 y＝﹣ x2+ x+4 得 ﹣ x2+ x+4＝﹣4 解得 x1＝ ，x2＝ M（1，4）或 M（ ，﹣4）或 M（ ，﹣4）12.如图，已知等边△ABC，AB＝12，以 AB 为直径的半圆与 BC 边交于点 D，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F， 过点 F 作 FG⊥AB，垂足为 G，连结 GD． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）求 FG 的长； （3）求 tan∠FGD 的值． 【解答】（1）证明：连结 OD，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°， 而 OD＝OB， ∴△ODB 是等边三角形，∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF 是⊙O 的切线； （2）解：∵OD∥AC，点 O 为 AB 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴BD＝CD＝6． 在 Rt△CDF 中，∠C＝60°， ∴∠CDF＝30°，∴CF＝ CD＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9， 在 Rt△AFG 中，∵∠A＝60°， ∴FG＝AF×sinA＝9× ＝ ； （3）解：过 D 作 DH⊥AB 于 H． ∵FG⊥AB，DH⊥AB， ∴FG∥DH， ∴∠FGD＝∠GDH． 在 Rt△BDH 中，∠B＝60°， ∴∠BDH＝30°， ∴BH＝ BD＝3，DH＝ BH＝3 ． 在 Rt△AFG 中，∵∠AFG＝30°， ∴AG＝ AF＝ ， ∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣ ﹣3＝ ， ∴tan∠GDH＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝ ． 13.已知，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 P 是 AB 延长线上一点，连接 CP． （1）如图 1，若∠PCB＝∠A． ①求证：直线 PC 是⊙O 的切线； ②若 CP＝CA，OA＝2，求 CP 的长； （2）如图 2，若点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，MN•MC＝9，求 BM 的值． 【解答】（1）①证明：如图 1 中， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠PCB＝∠A， ∴∠ACO＝∠PCB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB＝90°， ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即 OC⊥CP， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线．②∵CP＝CA， ∴∠P＝∠A， ∴∠COB＝2∠A＝2∠P， ∵∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵OC＝OA＝2， ∴OP＝2OC＝4， ∴ ． （2）解：如图 2 中，连接 MA． ∵点 M 是弧 AB 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠ACM＝∠BAM， ∵∠AMC＝∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴ ， ∴AM2＝MC•MN， ∵MC•MN＝9， ∴AM＝3，∴BM＝AM＝3． 14.如图，已知抛物线 y＝ax2+ x+4 的对称轴是直线 x＝3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧）与 y 轴交于 C 点． （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存在一点 P，使△PBC 的面积 最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN＝3 时，求 M 点的坐标． 解：（1）∵抛物线 y＝ax2+ x+4 的对称轴是直线 x＝3， ∴﹣ ＝3，解得：a＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x+4． 当 y＝0 时，﹣ x2+ x+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝8， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（8，0）． （2）当 x＝0 时，y＝﹣ x2+ x+4＝4， ∴点 C 的坐标为（0，4）． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b（k≠0）． 将 B（8，0）、C（0，4）代入 y＝kx+b，，解得： ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+4． 假设存在，设点 P 的坐标为（x，﹣ x2+ x+4），过点 P 作 PD∥y 轴，交直线 BC 于点 D，则点 D 的坐标为 （x，﹣ x+4），如图所示． ∴PD＝﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4）＝﹣ x2+2x， ∴S△PBC＝ PD•OB＝ ×8•（﹣ x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0， ∴当 x＝4 时，△PBC 的面积最大，最大面积是 16． ∵0＜x＜8， ∴存在点 P，使△PBC 的面积最大，最大面积是 16． （3）设点 M 的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），则点 N 的坐标为（m，﹣ m+4）， ∴MN＝|﹣ m2+ m+4﹣（﹣ m+4）|＝|﹣ m2+2m|． 又∵MN＝3， ∴|﹣ m2+2m|＝3． 当 0＜m＜8 时，有﹣ m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， ∴点 M 的坐标为（2，6）或（6，4）； 当 m＜0 或 m＞8 时，有﹣ m2+2m+3＝0， 解得：m3＝4﹣2 ，m4＝4+2 ， ∴点 M 的坐标为（4﹣2 ， ﹣1）或（4+2 ，﹣ ﹣1）． 综上所述：M 点的坐标为（4﹣2 ， ﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2 ，﹣ ﹣1）．15. 16.17. 18.