2018~2019扬州中学高三上学期12月月考数学
一.填空题：
1．函数的最小正周期是 ▲ ．
2．设为虚数单位），则复数的模为 ▲ ．
3．若角的终边经过点,则值为 ▲ ．
4．已知集合则 ▲ ．
5．双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ ．
6. 若函数是奇函数，则为 ▲ ．
7. 已知 ，则的值等于
▲ ．
8. 在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则 ▲ ．
9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是 ▲ ．
10．设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 ▲ ．
11.若函数在定义域内某区间H上是增函数，且在H上是减函数，则称的在H上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为 ▲ ．
12.已知实数,满足，则的最小值为 ▲ ．
13. 如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点M恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ▲ ．
14.已知函数记，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
二.解答题：
15.(本小题满分14分)
已知，.
（1）若，求的值；
（2）设，若，求，的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面分别与交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
17.(本小题满分14分)
如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.
（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？A
P
Q
B
C
18.(本小题满分16分)
已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）若依次成等差数列，求直线的方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数．
（1）若曲线在处的切线过点．
① 求实数的值；
② 设函数，当时，试比较与的大小；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：．
20.(本小题满分16分)
已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的通项公式；
（3）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由．
答案 ：
1． 2．5 3. 4. 5．y=±3/4x. 6.2 7.
8． 9． 10． 11.4 12.6
13. 14.
15.（1）由题意 ，即
（2），∴，由此得
，由，得，又，故，
代入得，而，∴，.
16. 证：（1）因为平面，所以，
又因为，所以平面．
（2）因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面，所以．
17.本题使用二次函数亦可.
18（1），，即，从而，
椭圆的方程为：，：.
（2）设，，又的长成等差数列， ，
设，由解得，
，：.
19.（1）①因为，所以，
由曲线在处的切点为，
所以在处的切线方程为．
因为切线过点，所以．
②，
由．
设（），所以，
所以在为减函数．
因为，所以当时，有，则；当时，有，则；
当时，有，则．
（2）由题意，有两个不等实根，（）．
设，则（），
当时，，所以在上是增函数，不符合题意；
当时，由，得，
列表如下：
0
↗
极大值
↘
由题意， ，解得，所以，
因为，所以．
因为，所以，
所以（）．
令（），
因为，所以在上为减函数，
所以，即，所以，命题得证．
20.解：(1) 因为，所以当时，，
两式相减得 ，即，又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故．
由得 ，
以上个式子相乘得，即 ①，当时，②，
两式相减得 ，即（），
所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，
又，所以，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因此数列的通项公式．
另法：由已知显然，因为，所以，则数列是常数列，所以，即，下同上．
（2）当时，无意义，
设，显然，
则，
即，
显然，所以，
所以存在，使得，，
下面证明不存在，否则，即，
此式右边为的倍数，而不可能是的倍数，故该式不成立．
综上，满足要求的为．
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