2018—2019学年第一学期高三期末考试理科数学
命题人：
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合则（ ）
A. B. C. D.
2．已知（）且，则（ ）
A. B. C. D.
3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
4．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
6．等差数列{an}的首项为1，公差不为0. 若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A．－24 B．－3 C．3 D．8
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－ B．－ C. D．2
9．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
10．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
11．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为( )
A．10 B．8 C．5 D．4
12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知， 满足约束条件，则的最大值为__________．
14．已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
15．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则a+ b=__________．
16．学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“ 作品获得一等奖”；
丙说：“ 两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分．
17．(本题满分12分)
已知函数，其中，，x∈R．
（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，，且b=2c，求△ABC的面积．
18. (本题满分12分)
已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．
19. (本题满分12分)
如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC
的余弦值．
20．(本题满分12分)
已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
21．(本题满分12分)
设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果对所有的，都有，求的取值范围.
22．(本题满分10分)
在直线坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．
期末考试高三理科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
B
A
B
A
A
C
B
A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．【答案】2 14．【答案】7 15．【答案】—1 16．【答案】
三、解答题
17．(本题满分12分)
【答案】
解：
（1）=，……3分
解得，k∈Z，
函数y=f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．………………6分
（2）∵f（A）=2，∴，即，
又∵0＜A＜π，∴， ………………8分
∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①
…………10分
b=2c，②由①②得，
∴． ………………12分
18．(本题满分12分)
【答案】
解：(1)由已知得
解得
∴{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1． ………………6分
(2)bn＝＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝×1－＝． ………………12分
19．(本题满分12分)
解：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. ………………6分
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，
故AB⊥PF，又AD∩AB＝A，
可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由(1)及已知可得A，P，B，
C.
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，
则即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，
则即
所以可取m＝(1,0,1)．
则cos〈n，m〉＝＝＝－.
由图知二面角APBC为钝角，
所以二面角APBC的余弦值为－. ………………12分
20．(本题满分12分)
【答案】
解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|
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