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凌源市二高中2018-2019学年度上学期期末考试
高三数学试卷（理科）
考试时间：120分钟 试题分数：150分
参考公式：球的体积公式：，其中为半径.
卷Ⅰ
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，则等于
A． B． C． D．
2.已知若为实数，则实数的值为
A．2 B． C． D．
3.已知向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
4.已知，则等于
A． B． C． D．
5. 的展开式中的常数项为
A．32 B．64 C． D．
6. “”是“直线与直线平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 由直线及曲线围成的封闭图形的面积为
A．1 B．3 C．6 D．9
8. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图
都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
9. 若执行右面的程序框图，则输出的值是
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 从抛物线图象上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则的面积为
A．10 B．20 C．40 D．80
11. 实数满足条件，则的最小值为
A． B． C．0 D．1
12. 已知函数的图象关于点对称，且当时，成立（其中是的导函数），若
，则的大小关系是
A． B． C． D．
卷Ⅱ
二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13．等差数列的前项和为，且，则公差等于___________.
14．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该渐近线与圆相交所得的弦长为___________.
15．定义运算：，例如：，，则函数的
最大值为____________.
16．设是等比数列，公比，为的前项和.记，
设为数列的最大项，则___________.
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
已知分别为三个内角所对的边长，且
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
18．（本小题满分12分）
为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”
冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：
到班级宣传
整理、打包衣物
总计
20人
30人
50人
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，侧面底面，且，，，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，经过椭圆：的一个焦点的直线
与相交于两点，为的中点，且斜率是．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线分别与椭圆和圆：相切于点，求的最大值．
21．（本小题满分12分）
设函数.
(Ⅰ)若，求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，函数，若存在，
使得成立，求的取值范围.
请考生在22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（Ⅰ）写出直线的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，，，且．
（I）求证：；
（II）求证：．
高三数学试卷（理科）参考答案
一．选择题
1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．B
二．填空题
13． 14． 15．4 16．
三．解答题
17．解：（Ⅰ）由正弦定理，得
又，
可得…………(6分)
（Ⅱ）若，则，得
，
… (12分)
18. 解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有人，
参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有人，……2分
故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是………4分
（Ⅱ）女生志愿者人数
则
……………9分
∴的分布列为 ……………10分
0
1
2
∴的数学期望为 ……………12分
19. （Ⅰ）证明：侧面底面，且，，
所以，，，如图，以点为坐标原点，分别以直线，
，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ………………………………2分
设，是的中点，则有，，，
，，，于是，，，
因为，，所以，，且，
因此平面 …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量为
，设平面的法向量为
，，，
则
所以
不妨设，则，
于是， …………………………………………………10分
由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角的余弦值为．……………12分
20. 解：（1）设，，则
，，，，
由此可得，，
又由题意知，的右焦点是，故，
因此，，所以椭圆的方程是；…………（6分）
（2）设分别为直线与椭圆和圆的切点，，
直线的方程为：，代入得
，
判别式，得①，
，
直线与相切，所以，
即，再由①得，，
，
因为，当时取等号，所以，
因此当时，的最大值是1．…………（12分）
21. 解：(Ⅰ)函数的定义域为，，
令，得.( ………（2分）
①当，即时，函数在上单调递增，在
上单调递减；………（3分）
②当，即时，函数在上单调递增；………（4分）
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减；………（5分）
（Ⅱ）当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为………（6分）
因为函数在上单调递增， 所以的最小值为，…（7分）
所以在上恒成立. ………（8分）
要存在，使得成立，只需要，
即，解得………（11分）
又，所以的取值范围是………（12分）
22. 解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程
再将代入，得……………………………5分
（Ⅱ）联立直线与曲线的极坐标方程
因为，所以可解得或，
因此与交点的极坐标分别为，．……………………………10分
23. 证明：（I）∵，，，
∴，
∵，∴，
∴，即； …………5分
（II）∵，，，
∴，即，
∵，∴． …………10分
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