2017-2018学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．将分式中的x、y扩大为原来的3倍，则分式的值为（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的9倍 D．减小为原来的
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
4．已知：直线AB和AB外一点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F．
（4）作直线CF，直线CF就是所求的垂线．
这个作图是（ ）
A．平分已知角
B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线
D．过直线外一点作此直线的垂线
5．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则（ ）
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定
7．给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，
∴AM＝AN（ ）
∵BM＝BN，
∴点B在直线l上（ ）
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN（ ）
这与条件CM≠CN矛盾．
以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ）
A．②①① B．②①② C．①②② D．①②①
8．如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是（ ）
A．OA＝OB B．E是AC的中点
C．△AOE≌△BOD D．AE＝BD
9．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0）
10．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是 cm．
12．当x 时，分式的值为零．
13．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝4，则PD＝ ．
14．化简：÷（﹣1）•a＝ ．
15．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2；正确的有 （填序号）
三、解答题（共75分）
16．（14分）（1）解不等式组，并在数轴上表示出解集：
①
②
（2）分解因式：
①x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
②﹣12x3+12x2y﹣3xy2．
17．（11分）（1）计算：（）2÷（﹣）×
（2）先化简，再求值：（ +）÷，其中a＝2﹣．
18．（6分）作图题：如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点D都在小方格的顶点上，请按要求作图．
（1）平移△ABC，使点A平移到点D，得到△DEF；
（2）请写出第（1）小题平移的过程．
19．（6分）分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，∠BAD＝∠ACF＝∠CBE，求∠DEC的度数．
21．（8分）如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
22．（10分）数学活动问题情境：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，连接CE′，BD′．探究CE′与BD′的数量关系；
探究发展：
（1）图1中，猜想CE′与BD′的数量关系，并证明；
（2）如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E“，其他条件不变，（1）中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转60°得到△AD′E′，连接CE′，BD′，请你仔细观察，提出一个你最关系的数学问题（例如：CE′与BD′相等吗？）．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2时，求CD、AD的长．
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？请直接写出t的值．
2017-2018学年山西省晋中市灵石县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．将分式中的x、y扩大为原来的3倍，则分式的值为（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．扩大为原来的9倍 D．减小为原来的
【分析】x，y都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y分别代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【解答】解：用3x和3y分别代替式子中的x和y得：＝＝3×，
则分式的值扩大为原来的3倍．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）
A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
【分析】根据因式分解的意义求解即可．
【解答】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、是整式的乘法，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键．
4．已知：直线AB和AB外一点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F．
（4）作直线CF，直线CF就是所求的垂线．
这个作图是（ ）
A．平分已知角
B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线
D．过直线外一点作此直线的垂线
【分析】利用基本作图（过一点作直线的垂线）进行判断．
【解答】解：利用作法得CF⊥AB，
所以这个作图为过直线外一点作此直线的垂线．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
5．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、，不是最简分式，错误；
B、，不是最简分式，错误；
C、不能化简，是最简分式，正确；
D、，不是最简分式，错误；
故选：C．
【点评】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
6．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则（ ）
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定
【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论．
【解答】解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同，
∴两只蚂蚁同时到达．
故选：C．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键．
7．给出以下两个定理：
①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．
∵点A在直线l上，
∴AM＝AN（ ）
∵BM＝BN，
∴点B在直线l上（ ）
∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．
这是因为如果点C在直线l上，那么CM＝CN（ ）
这与条件CM≠CN矛盾．
以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ）
A．②①① B．②①② C．①②② D．①②①
【分析】本题是一道阅读理解题，考查对线段的垂直平分线的性质与判定的区分，解答时一定要认真阅读文字，正确写出理由．
【解答】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；
第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；
应用了垂直平分线的性质，填①．
应所以填①②①，
故选：D．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质及判定；前提是在线段垂直平分线上，应使用性质；最后得到线段垂直平分线，应使用判定，分清这点是正确解答本题的关键．
8．如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，若AD＝BE，DC＝EC，则无法得出的结论是（ ）
A．OA＝OB B．E是AC的中点
C．△AOE≌△BOD D．AE＝BD
【分析】根据题意和全等三角形的全等及其性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ACD和Rt△BCE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AC＝BC，∠A＝∠B，
∴AE＝BD，故选项D正确，
在△AOE和△BOD中，
，
∴△AOE≌△BOD（AAS），故选项C正确，
∴OA＝OB，故选项A正确，
点E不一定是AC的中点，故选项B错误，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质与判定解答．
9．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（2，0）
【分析】利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相点P（0，1）即为旋转中心．
【解答】解：作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相交于点P（0，1），如图，
所以△DEF是由△ABC绕着点P逆时针旋转90°得到的．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心．
10．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．A点处 B．D点处
C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处
【分析】连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
【解答】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是 （a+4） cm．
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：∵一个正方形的面积是（a2+8a+16）＝（a+4）2cm2，
∴此正方形的边长是：a+4．
故答案为：a+4．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
12．当x ＝﹣3 时，分式的值为零．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得：|x|﹣3＝0，x﹣3≠0，
解得：x＝﹣3．
故答案为：＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，注意掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，若∠AOB＝60°，OC＝4，则PD＝ 2 ．
【分析】在△OCP中，由题中所给的条件可求出OP的长，根据直角三角形的性质可知，在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故PD＝OP．
【解答】解：∵∠AOB＝60°，点P是∠AOB的角平分线上一点，
∴∠POD＝∠POC＝30°，
又∵PC∥OA，
∴∠PCB＝∠AOB＝60°，∴∠POC＝30°，
∵∠PCO＝180°﹣∠60°＝120°，
∴∠POC＝∠OPC＝30°，
∴△OCP为等腰三角形，
∵OC＝4，∠PCE＝60°，
∴PC＝4，CE＝2，PE＝＝2，
可求OP＝4，
又∵PD＝OP，
∴PD＝2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查角平分线和等腰三角形的判定及计算技巧．借助于角平分线和等腰三角形求解角的度数和边长从而求得最后结果．
14．化简：÷（﹣1）•a＝ ﹣a﹣1 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝••a＝﹣（a+1）＝﹣a﹣1，
故答案为：﹣a﹣1
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2；正确的有 ①③④ （填序号）
【分析】①根据旋转的性质可得出∠BAE＝∠CAF，由∠BAC＝90°、∠DAE＝45°可得出∠CAD+∠CAF＝45°，即可判断①；
②根据旋转的性质可得出△BAE≌△CAF，不能推出△BAE≌△CAD，即可判断②；
③根据∠DAE＝∠DAF＝45°，根据角平分线定义即可判断③；
④根据全等三角形的判定求出△AED≌△AFD，推出DE＝DF，求出∠DCF＝90°，根据勾股定理推出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
①由旋转，可知：∠CAF＝∠BAE，
∵∠BAD＝90°，∠DAE＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝45°，
∴∠CAF+∠BAE＝∠DAF＝45°，故①正确；
②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；
③∵∠EAD＝∠DAF＝45°，
∴AD平分∠EAF，故③正确；
④由旋转可知：AE＝AF，∠ACF＝∠B＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2，
即BE2+DC2＝DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE＝DF，
∴BE2+DC2＝DE2，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、相似三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形以及旋转的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16．（14分）（1）解不等式组，并在数轴上表示出解集：
①
②
（2）分解因式：
①x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
②﹣12x3+12x2y﹣3xy2．
【分析】（1）①②根据解不等式，可得每个不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的公共部分，可得答案．
（2）①根据提公因式法，可分解因式；
②首先提取公因式﹣3x，再利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（1）①，
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x＜4，
在数轴上表示如图
，
故不等式组的解集是x＜﹣1．
②，
解不等式①，得x≥﹣1，
解不等式②，得x＜2，
在数轴上表示如图
故不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
（2）①x（x﹣y）﹣y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）；
②﹣12x3+12x2y﹣3xy2
＝﹣3x（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣3x（2x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．同时考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集．
17．（11分）（1）计算：（）2÷（﹣）×
（2）先化简，再求值：（ +）÷，其中a＝2﹣．
【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则求出即可；
（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可．
【解答】解：（1）原式＝•（﹣）×
＝﹣；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝2﹣时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（6分）作图题：如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点D都在小方格的顶点上，请按要求作图．
（1）平移△ABC，使点A平移到点D，得到△DEF；
（2）请写出第（1）小题平移的过程．
【分析】（1）根据平移变换的性质可得；
（2）由平移前后对应点的位置即可得．
【解答】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）由图知，需将△ABC 向右平移6个单位，向下平移2个单位．
【点评】本题主要考查平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质．
19．（6分）分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y
，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．
（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．
【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了因式分解的方法和应用，要熟练掌握，注意分组分解法的应用．
20．（8分）如图，△ABC为等边三角形，∠BAD＝∠ACF＝∠CBE，求∠DEC的度数．
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAD＝∠ACF＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠ABC﹣∠CBE＝∠ACB﹣∠ACF，
∴∠CAF＝∠ABE＝∠BCE，
∴△ACF≌△CBE≌△BAD（ASA），
∴AF＝BD＝CE，AD＝BE＝CF，
∴AD﹣AF＝BE﹣BD＝CF﹣CE，
∴DF＝DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，
∵点C、点F、点E三点共线，
∴∠DEC＝120°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
21．（8分）如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【分析】首先根据勾股定理逆定理得出∠ABC＝90°，然后再判断AD∥NM，可得∠NBA＝∠BAD＝30°，再根据平角定义可得∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，进而得到答案．
【解答】解：∵AB＝60，BC＝80，AC＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA＝∠BAD＝30°，
∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
22．（10分）数学活动问题情境：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，连接CE′，BD′．探究CE′与BD′的数量关系；
探究发展：
（1）图1中，猜想CE′与BD′的数量关系，并证明；
（2）如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E“，其他条件不变，（1）中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转60°得到△AD′E′，连接CE′，BD′，请你仔细观察，提出一个你最关系的数学问题（例如：CE′与BD′相等吗？）．
【分析】（1）如图1中，结论：CE′＝BD′．只要证明△D′AB≌△E′AC即可；
（2）结论不变，证明方法类似；
（3）结论：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四边形AD′DE是菱形．（答案不唯一）
【解答】解：（1）如图1中，结论：CE′＝BD′．
理由：∵AB＝AC，AD＝DB，AE＝EC，
∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，
∴∠D′AB＝∠E′AC，
在△D′AB和△′AC中，
，
∴△D′AB≌△E′AC，
∴BD′＝CE′．
（2）如图2中，结论不变．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，AD′＝AE′，∠D′AE′＝∠BAC＝90°，
∴∠D′AB＝∠E′AC，
在△D′AB和△′AC中，
，
∴△D′AB≌△E′AC，
∴BD′＝CE′．
（3）如图3中，结论：①△D′AB≌△E′AC，②△D′DB≌△DEC，③∠BD′D＝∠CDE，④四边形AD′DE是菱形．（答案不唯一）
理由：∵△ADE，△AD′D，△ABC都是等边三角形，
∴D′A＝AD，∥D′AB＝∠DAC＝60°，AB＝AC，
∴△D′AB≌△DAC．
由DD′＝DE，∠D′DB＝∠DEC＝120°．BD＝EC，
可得△D′DB≌△DEC，
∴∠BD′D＝∠CDE，
∵AD′＝DD′＝DE＝AE，
∴四边形AD′DE是菱形．
【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2时，求CD、AD的长．
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形，若不能，请说明理由，若能，请求出t的值；
（3）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？请直接写出t的值．
【分析】（1）根据CD＝速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD＝AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解；
（3）分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF，再由（2）的结论解答．
【解答】解：（1）t＝2时，CD＝2×2＝4，
∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC＝＝＝25，
AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，
即×25•BD＝×20×15，
解得BD＝12，
所以CD＝＝＝9，
t＝9÷2＝4.5（秒）；
②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，
t＝25÷2＝12.5（秒），
综上所述，t＝4.5或12.5秒；
（3）①CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE＝BE，
CD＝AD＝AC＝×25＝12.5，
t＝12.5÷2＝6.25；
②CD＝BC时，CD＝15，t＝15÷2＝7.5；
③BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
则CF＝9，
CD＝2CF＝9×2＝18，
t＝18÷2＝9，
综上所述，t＝6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（2）（3）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
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