第4章 平行四边形
4.1 多边形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．已知一个多边形有两条对角线，那么这个多边形是( A )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶5，则∠C等于( C )
A．60° B．100° C．120° D．150°
3．在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为( D )
A．70° B．80° C．120° D．130°
4．在四边形的内角中，直角最多可以有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
6．2017·宜昌如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( B )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
7．已知∠1＝48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2＝( D )
A．48° B．132°
C．42° D．48°或132°
8．一副三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为__80°__．
9．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
【答案】 ∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE∥BC交AB于点E.请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由．
解：(1)证明：∵∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，
且∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴2∠B＋2∠C＝360°，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴AB∥CD.
(2)△ADE 是正三角形．理由如下：
由∠ADC＋∠A＝180°和∠ADC－∠A＝60°，
得∠A＝60°.∴∠B＝∠A＝60°.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠A＝60°，
即△ADE 是正三角形．
B 更上一层楼 能力提升
11．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则相邻的外角之比为( D )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶1∶3∶4
C．3∶4∶2∶1 D．4∶3∶2∶1
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有( D )
A．∠ADE＝20°
B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠ADC
D．∠ADE＝∠ADC
13．如图所示，在四边形ABCD中，O点在AD上，且OB平分∠ABC，OC平分∠BCD.若∠BOC＝120°，则∠A＋∠D的大小是__240°__．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
解：∠1＝∠2，
理由：∵∠A＝∠C＝90°，根据四边形的内角和，
得∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠2＝∠ADC，
∴∠EBC＋∠2＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°.
∵FG⊥BE，∴∠FGB＝90°，
∴∠1＋∠EBC＝90°，∴∠1＝∠2.
C 开拓新思路 拓展创新
15．在四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O.
(1)若点O在四边形ABCD的内部：
①如图1，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝__125°__；
②如图2，试探索∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
(2)如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系．
解：(1)①∵AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°.
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠OAD＝70°，∠ODA＝55°，
∴∠DOE＝∠OAD＋∠ODA＝125°；
故答案为125.
②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.
理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC.
∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，
∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.
(2)∠B＋∠C＝2∠DOE，
理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，
∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，
∴∠BAD＋∠ADC＝2(∠EAD＋∠ADO)，
∴360°－∠B－∠C＝2(180°－∠DOE)，
∴∠B＋∠C＝2∠DOE.
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