人教版八年级下册第十七章勾股定理单元练习题（含答案）.doc

第十七章 勾股定理 一、选择题 ‎ ‎1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为(　　)‎ A． 1.5米 B． 2米 C． 2.5米 D． 1米 ‎2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于(　　)‎ A． 86‎ B． 64‎ C． 54‎ D． 48‎ ‎3.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC＝8 cm，AC＝17 cm，AB＝5 cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为(　　)‎ A． 5 m B． 4 m C． 3 m D． 2 m ‎4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A 处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于(　　)‎ A．‎ B． 2＋1‎ C．‎ D． 5‎ ‎5.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为(　　)‎ A． 40 cm B． 60 cm C． 80 cm D． 100 cm ‎6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为(　　)‎ A． 6‎ B． 4.5‎ C． 4.8‎ D． 8‎ ‎7.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′(　　)‎ A． 小于1 m B． 大于1 m C． 等于1 m D． 小于或等于1 m ‎8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(　　)‎ A． 5 m B． 12 m C． 13 m D． 18 m 二、填空题 ‎ ‎9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．‎ ‎10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．‎ ‎11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角三角形．(填“是”或“不是”)‎ ‎12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．‎ ‎13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．‎ ‎14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面积为__________．‎ ‎15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.‎ ‎16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)，当x＝__________，△BPQ是直角三角形．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．‎ ‎18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？‎ ‎19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．‎ 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．‎ ‎20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和3米．‎ ‎(1)求公益广告牌的高度AB；‎ ‎(2)求∠BDC的度数．‎ ‎21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．‎ 中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：‎ 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”‎ 任务：‎ ‎(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；‎ ‎(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．‎ 答案解析 ‎1.【答案】A ‎【解析】设水深为h米，则红莲的高(h＋1)米，且水平距离为2米，‎ 则(h＋1)2＝22＋h2，‎ 解得h＝1.5.‎ 故选A.‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】如图1，S1＝AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，‎ ‎∵BC2＝AB2－AC2，‎ ‎∴S2－S1＝S3，‎ 如图2，S4＝S5＋S6，‎ ‎∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.‎ 故选C.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，‎ ‎∴OA＝＝＝15(m)，‎ ‎∴OB＝OA＋AB＝20 m，‎ 在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，‎ ‎∴OD＝＝＝10(m)，‎ ‎∴CD＝OD－OC＝2 m，‎ 故选D.‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】如图所示，‎ 由图可知，AB＝＝.‎ 故选A.‎ ‎5.【答案】D ‎【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．‎ 在直角△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，‎ ‎∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝＝100 cm.‎ ‎∴最短路线长为100 cm.‎ 故选D.‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】∵62＋82＝102，‎ ‎∴这个三角形是直角三角形，‎ ‎∴最长边上的高为6×8÷10＝4.8.‎ 故选C.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，‎ 由勾股定理，得AB＝，‎ 由题意可知AB＝A′B′＝，‎ 又OA′＝3，根据勾股定理得OB′＝，‎ ‎∴BB′＝7－＜1.‎ 故选A.‎ ‎8.【答案】D ‎【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，‎ 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．‎ 根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，‎ 所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.‎ 故选D.‎ ‎9.【答案】6‎ ‎【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，‎ ‎∴另一直角边长为＝4.‎ 该直角三角形的面积S＝×3×4＝6.‎ ‎10.【答案】480‎ ‎【解析】设三边的长是5x,12x,13x，‎ 则5x＋12x＋13x＝120，‎ 解得x＝4，‎ 则三边长是20,48,52.‎ ‎∵202＋482＝522，‎ ‎∴三角形是直角三角形，‎ ‎∴三角形的面积是×20×48＝480.‎ ‎11.【答案】是 ‎【解析】由分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得 BC2＋AC2＝AB2，‎ 则△ABC是直角三角形．‎ ‎12.【答案】96‎ ‎【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，‎ ‎∴AC＝＝＝10，‎ 在△ABC中，‎ ‎∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形；‎ ‎∴图形面积为 S△ABC－S△ACD＝×10×24－×6×8＝96.‎ ‎13.【答案】5　5n ‎【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，‎ 新正方形A1B1C1D1的面积是5，‎ 从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25＝52，…‎ 正方形AnBnCnDn的面积为5n.‎ ‎14.【答案】84＋96‎ ‎【解析】连接BD，‎ ‎∵AB⊥AD，‎ ‎∴∠A＝90°，‎ ‎∴BD＝24，‎ ‎∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，‎ ‎∴△CBD为直角三角形，‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ‎＝×8×8＋×24×7‎ ‎＝96＋84.‎ ‎15.【答案】12‎ ‎【解析】∵△ABC直角三角形，‎ ‎∴BC2＋AC2＝AB2，‎ ‎∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，‎ ‎∴S3＝S1＋S2＝12.‎ ‎16.【答案】2或 ‎【解析】根据题意，得BP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝(8－2t) cm，‎ 若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，‎ ‎①当∠BPQ＝90°时，‎ Q在A点，CQ＝CA＝4 cm，‎ ‎4÷2＝2(s)；‎ ‎②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，‎ ‎∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴BQ＝BP，‎ 即8－2t＝t，‎ 解得t＝，‎ 故当t＝2或秒时，△BPQ是直角三角形．‎ ‎17.【答案】解　连接AC，则在Rt△ADC中，‎ AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，‎ ‎∴AC＝15，‎ 在△ABC中，AB2＝1521，‎ AC2＋BC2＝152＋362＝1521，‎ ‎∴AB2＝AC2＋BC2，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.‎ 答：这块地的面积是216平方米．‎ ‎【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．‎ ‎18.【答案】解　BM＝8×2＝16海里，‎ BP＝15×2＝30海里，‎ 在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，‎ BM2＋BP2＝PM2，‎ ‎∴∠MBP＝90°，‎ ‎180°－90°－60°＝30°，‎ 故乙船沿南偏东30°方向航行．‎ ‎【解析】先根据路程＝速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP＝90°，进一步即可求解．‎ ‎19.【答案】解　如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，‎ 设BD＝x，则CD＝14－x，‎ 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，‎ 故152－x2＝132－(14－x)2，‎ 解之得x＝9.‎ ‎∴AD＝12.‎ ‎∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.‎ ‎【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．‎ ‎20.【答案】解　(1)在直角三角形ADC中，‎ AC＝＝＝4(m)，‎ 在直角三角形BDC中，‎ BC＝＝＝3(m)，‎ 故AB＝AC－BC＝1(米)，‎ 答：公益广告牌的高度AB的长度为1 m；‎ ‎(2)∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3 m，‎ ‎∴△DBC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BDC＝45°.‎ ‎【解析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；‎ ‎(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．‎ ‎21.【答案】解　(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；‎ 故答案是勾股；‎ ‎(2)如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，‎ 另一条直角边长5×3＝15(尺)，‎ 因此葛藤长为＝25(尺)．‎ 答：问题中葛藤的最短长度是25尺．‎ ‎【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；‎ ‎(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．‎