四川省遂宁市2019届高三第三次诊断性考数学（文）试题（解析版）Word版含解析.doc

四川省遂宁市2019届高三第三次诊断性考数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={1，2，3}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z的模是（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. 4‎ 3. 已知函数，则f（f（-3））的值为（　　）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 4. 若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0，1），则a=（　　）‎ A. 1 B. C. 2 D. 5. ‎“x＜1”是“log2x＜0”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知角α在第二象限，若，则tan2α=（　　）‎ A. B. C. D. 7. ‎《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈，那么该刍甍的体积为（　　）‎ A. 5立方丈 B. 20立方丈 C. 40立方丈 D. 80立方丈 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b，则过定点（4，2）的直线l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（　　）‎ A. B. C. ‎ D. ‎ 1. 已知点P的坐标（x，y）满足，则的最大值（　　）‎ A. 2 B. C. D. 8‎ 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，，sinC=2sinB，则△ABC的周长为（　　）‎ A. B. C. D. 3. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=PA=4，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（　　）‎ A. B. C. D. 4. 设函数有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 设两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影．已知平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为______．‎ 6. 曲线在点（4，2）处的切线的斜率为______．‎ 1. 将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．‎ 2. 已知函数，函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立，则实数k的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 3. 已知函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N*）的首项a1，且数列{an}的公差d=1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn． ‎ 4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是邻边相等的矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点． （1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）； （2）证明：PB⊥ED； （3）求三棱锥A-PBE的体积． ‎ ‎ ‎ 5. ‎2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”． 如表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 线下销售额 ‎90‎ ‎170‎ ‎210‎ ‎280‎ ‎340‎ 为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人． （1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率； （2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关． 附：，其中n=a+b+c+d 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ 1. 已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C：的离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积． ‎ 2. 已知函数f（x）=axlnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1． （1）求 f（x）在x∈[m，n]（0＜m＜n）上的最小值； （2）若存在使关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0成立，求k的取值范围． ‎ 1. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，又在直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（t为参数）． （1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程； （2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，若，求此时点P的直角坐标． ‎ 2. 已知函数． （1）解不等式f（x）； （2）若正数a，b，c，满足a+2b+4c=f（）+2，求的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解：∵集合A={1，2，3}， B={x||x|≤1}={x|-1≤x≤1}， ∴A∩B={1}． 故选：C． 分别求出集合A，B，由此能求出A∩B． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ 解：∵（1+i）z=3+i， ∴z=， 则|z|=． 故选：B． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3.【答案】A 【解析】‎ 解：根据题意，函数， f（-3）=lg（32+1）=lg10=1， 则f（f（-3））=f（1）=1+-3=0， 故选：A． 根据题意，由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3））=f（1），由解析式计算可得答案． 本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．‎ ‎4.【答案】D 【解析】‎ 解：抛物线y=ax2的标准方程为x2=y， ∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1）， ∴=1， ‎ ‎∴a=． 故选：D． 先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值． 本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解：由log2x＜0得0＜x＜1， 则“x＜1”是“log2x＜0”的必要不充分条件， 故选：B． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ 解：∵角α在第二象限，若， ∴cosα=-=-，tanα==-， ∴tan2α==-． 故选：C． 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎7.【答案】C 【解析】‎ 解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，如图： 直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6，底边上的高为2， 消去的三棱锥的高为2， ∴几何体的体积V=6×2×8-2×××6×2×2=40． 故选：C． 几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算． 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．‎ ‎8.【答案】A 【解析】‎ 解：模拟程序的运行，可得 k=1，S=1 S=1， 不满足条件S＞6，执行循环体，k=2，S=2， 不满足条件S＞6，执行循环体，k=3，S=6， 不满足条件S＞6，执行循环体，k=4，S=15， 满足条件S＞6，退出循环，输出k的值为4， 由题意，b=4， 由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB|的中点，由勾股定理得，|AB|=2=4． 故选：A． 模拟程序的运行，可得输出的k的值为4，可求b=4，由题意过圆内定点P（4，2）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解． 本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线恒过定点是关键，属于中档题．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解：由点P的坐标（x，y）满足，作出可行域如图，A（0，2） z═的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率， ∵kDA==2， ∴z=的最大值是：2． 故选：A． 由约束条件作出可行域，由z=的几何意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-1，0）连线的斜率，求出DO的斜率得答案． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎10.【答案】C ‎ ‎【解析】‎ 解：在△ABC中，∵sinC=2sinB， ∴由正弦定理可得：c=2b， 又∵a=3，， ∴由余弦定理可得：9=b2+c2-bc=b2+（2b）2-b•2b，解得：b=， ∴c=2， ∴△ABC的周长为a+b+c=3++2=3+3． 故选：C． 由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc，联立解得b，c的值，即可得解△ABC的周长． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解： 如图，由题意，ABCD为等腰梯形， 作AE⊥BC，DF⊥BC与E，F， 则BE=CF=1， 可得AE=， 取BC中点M，连接AM， 易得AM=2， 故M到A，B，C，D距离相等， 为球小圆的圆心， 取PA中点N， 则ANOM为矩形， 在等腰直角三角形AMO中， 得球半径OA=2， 故球O的体积为：=， 故选：B． 利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N ‎，在矩形ANOM中，求得半径OA，得解． 此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．‎ ‎12.【答案】D 【解析】‎ 解：函数的定义域为（0，+∞）， 由函数有三个零点， 得=ax，有三个根， 则必有a＞0，即=ax， 则=a2，有三个根， 设h（x）==， 则当x≥时，h′（x）===，由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜，得≤x＜，此时为增函数， 由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞，得x＞，此时为减函数，此时x=取得极大值，极大值为h（）===， 当x→+∞，f（x）→0，h（）=0， 当0＜x＜时，h（x）=-，则h′（x）=-=-=-（）=， 当0＜x＜时，lnx＜-1，则2+3lnx＜2-3=-1＜0， 即此时h′（x）＜0，且h（）=0， 作出函数h（x）的图象如图： 要使=a2，有三个根， 即h（x）=，与y=a2，有三个不同的交点， ‎ 则满足0＜a2＜， 即0＜a＜，即实数a的取值范围是（0，）． 故选：D． 由题意知a＞0，x＞0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎13.【答案】1 【解析】‎ 解：两个非零平面向量与的夹角为θ，则将（）叫做向量在向量方向上的投影． 平面向量，=（1，0），则向量在向量方向上的投影为：==1． 故答案为：1． 利用平面向量的数量积转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影是求法，考查计算能力．‎ ‎14.【答案】 【解析】‎ 解：曲线的导数为y′=， 可得曲线在点（4，2）处的切线的斜率：k=， 故答案为：． 运用函数的导数运算法则，可得曲线的导数，再由导数的几何意义，代入x=4，即可得到所求斜率． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎15.【答案】 【解析】‎ 解：将函数f（x）=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度，可得y=2cos（2x+2t+）的图象， ‎ 再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+=kπ+，求得t=+，k∈Z， 则t的最小值为， 故答案为：． 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出t的最小值． 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎16.【答案】（） 【解析】‎ 解：令，则有y=h（x）在[-m，m上为奇函数．∴h（x）max+h（x）min=0． ∴． 又∵函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，∴a=1． ∴，∴y=f（x）在x∈[0，2]上为增加的． 又∵对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立， ∴f（2-2k）＜2k，即（2-2k）2＜2k，解得． 故答案为：（）． 可用奇函数的几何性质，先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围． 本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答不等式恒成立问题．‎ ‎17.【答案】（本小题满分12分） 解：（1）因为…………（1分） 所以，由题意有…………（3分） 由于x∈（0，1），所以{an}是以为首项，1为公差的等差数列       …………（4分） 所以…………（6分）‎ ‎ （2）=…………（7分） …①…………（8分）…②…………（9分） 则①-②得：， 所以…………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N*）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式． （2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可． 本题考查数列求和，数列与函数相结合，考查发现问题解决问题的能力．‎ ‎18.【答案】（本小题满分12分） 解：（1）直线PA与EB是异面直线                                     …………（2分） （2）证明：∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC． 同理可证PD⊥BC…………（3分） ∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点，∴DE⊥PC． ∵底面ABCD是邻边相等的矩形，即四边形ABCD为正方形． ∴BC⊥DC，又PD⊥BC，PD∩DC=D， ∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC…………（5分） ∴BC⊥DE，又DE⊥PC，且PC∩BC=C， ∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC ∴PB⊥ED…………（7分） （3）因为E为PC中点，所以…………（8分） 又PD⊥底面ABCD，而底面ABCD是邻边相等的矩形， 即底面ABCD是正方形                                       …………（9分）‎ ‎ 故…………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）真假判断直线PA与EB是异面直线； （2证明PD⊥DC．PD⊥BC，说明BC⊥DC，又PD⊥BC，推出BC⊥平面PDC，得到BC⊥DE，又DE⊥PC，证明DE⊥平面PBC，即可证明PB⊥ED． （3）通过转化求解即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎19.【答案】解：（1）分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“a，b，c，d，e” 从以上5年中任选2年，其基本事件为： （a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c）（b，d）（b，e）（c，d）（c，e）（e，f）；…………（4分） 其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（c，e）（e，f）；…………（5分） 故所求的概率为；…………（6分） （2）根据题意，整理数据得如下2×2列联表；‎ 年轻市民 老年市民 合计 支持 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 很支持 ‎25‎ ‎30‎ ‎55‎ 合计 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ 计算K2=≈1.455＜2.072， 所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关． 【解析】‎ ‎ （1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （2）根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．‎ ‎20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离，∴a2=2，…………（2分） 离心率，故c=1，b=1，…………（4分） ∴椭圆C的标准方程为；…………（5分）‎ ‎ （2）由题意，抛物线D焦点为，故其方程为．…………（7分） 联立方程组，解得x=1或x=-2（舍去），∴．……（8分） 设抛物线在点处的切线为， 联立方程组，整理得， 由△=0，解之得， ∴所求的切线方程为． 即是．…………（10分） 令x=0，得； 令y=0，得x=-1．…………（11分） 故所求三角形的面积为．…………（12分） 【解析】‎ ‎ （1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求； （2）由抛物线D焦点，可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程，求得Q的坐标，写出抛物线在点处的切线为，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案． 本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎21.【答案】解（1）f'（x）=a（lnx+1），根据题意得，计算得出： ‎…………（2分） 故f'（x）=lnx+1，当f'（x）＞0，即时，f（x）递增， 当f'（x）＜0，即时，f（x）递减，…………（3分） ①当时，函数f（x）在[m，n]上单调递减， 此时f（x）最小值为f（n）=nlnn； ②当时，函数f（x）在上递减， 在上递增，此时f（x）最小值为； ③当时，函数f（x）在[m，n]上递增， 此时f（x）最小值为f（m）=mlnm…………（6分） （2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立 等价于不等式在有解            …………（7分） 设，，…………（8分） 当h'（x）＞0即时，h（x）递增， 当h'（x）＜0，即1＜x＜e时，h（x）递减                     …………（9分） 又，，∵…………（10分）∴…………（12分） 【解析】‎ ‎ 根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1，b=0； （1）先用导数的符号求出f（x）在{0，+∞）上的单调性，再对n进行讨论可得f（x）在[m，n]上的单调性，根据单调性求得最小值； ‎ ‎（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在成立等价于不等式在有解，再构造函数求得最小值即可． 本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题．‎ ‎22.【答案】解：（1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为； 因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．                                ……………………（4分） （2）由题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），可设点P的直角坐标为， 因为曲线C2是直线，又 ∴|PQ|即为点P到直线x+y-6=0的距离              ……………………（6分） 易得点P到直线x+y-6=0的距离为，……………………（7分） 所以，所以，此时点P的直角坐标为．……………………（10分） 【解析】‎ ‎ （1）由得，即ρ2+2（ρcosθ）2=3，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得，故曲线C1的直角坐标方程为；因为曲线C2的参数方程为（t为参数）．消去参数t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0． （2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ ‎23.【答案】解：（1）因为，所以f（x）=|x-2|-|x-1|， ①当x≤1时，f（x）=2-x-（1-x）=1，由，解得x≤1； ②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x，由，即， 解得，又1＜x＜2，所以； ③当x≥2时，f（x）=-1不满足，此时不等式无解． 综上，不等式的解集为． （2）由题意得， 所以=． 当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 【解析】‎ ‎ （1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集， （2）由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出． 本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．‎