中考复习宝典之：将军饮马类经典题型（解析版）

“将军饮马”类题型大全 一．求线段和最值 1（一）两定一动型 例 1： 如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P 是 EF 上 任意一点，则 PA＋PB 的最小值是______m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题，A，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马 型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A 关于 EF 的对称点 A’，根据两 点之间，线段最短，连接 A’B，此时 A’P＋PB 即为 A’B，最短．而要求 A’B， 则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点 A 关于 EF 的对称点 A’，过点 A’作 A’C⊥BN 的延长线于 C．易知 A’M＝ AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在 Rt△A’BC 中，A’B＝15m，即 PA＋PB 的最小值是 15m． 变式： 如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E，F，G 为各边中点，P 为线段 EF 上一 动点，则△BPG 周长的最小值为_________．分析： 考虑到 BG 为定值是 1，则△BPG 的周长最小转化为求 BP＋PG 的最小值，又是两 定一动的将军饮马型，考虑作点 G 关于 EF 的对称点，这里有些同学可能看不出 来到底是哪个点，我们不妨连接 AG，则 AG⊥BC，再连接 EG，根据“直角三角形 斜边中线等于斜边的一半”，可得 AE＝EG，则点 A 就是点 G 关于 EF 的对称 点．最后计算周长时，别忘了加上 BG 的长度． 解答： 连接 AG，易知 PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当 B，P，A 三点共线时，BP＋PG＝ BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG 周长最短为 3. 2 （二）一定两动型 例 2： 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，D 为 BC 中点，AD＝5，P 为 AD 上任意一点，E 为 AC 上任意一点，求 PC＋PE 的最小值．分析： 这里的点 C 是定点，P，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD 是 BC 中线，则 AD 垂直平分 BC，点 C 关于 AD 的对称点是点 B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当 B，P，E 三点共线时，BE 更短．但此时还不是最短， 根据“垂线段最短” 只有当 BE⊥AC 时，BE 最短．求 BE 时，用面积法即可． 解答： 作 BE⊥AC 交于点 E，交 AD 于点 P，易知 AD⊥BC，BD＝3，BC＝6， 则 AD·BC＝BE·AC， 4×6＝BE·5，BE＝4.8 变式： 如图，BD 平分∠ABC，E，F 分别为线段 BC，BD 上的动点，AB＝8，△ABC 的周长 为 20，求 EF＋CF 的最小值________． 分析： 这里的点 C 是定点，F，E 是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定 点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点 C 的对称点 C’必然在 AB 上，但由于 BC 长度未知，BC’长度也未知，则 C’相对的也是不确定点，因此 我们这里可以尝试作动点 E 关于 BD 的对称点． 解答：如图，作点 E 关于 BD 的对称点 E’，连接 E’F，则 EF＋CF＝E’F＋CF，当 E’，F，C 三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点 C 作 CE’’⊥AB 于 E’’，当点 E’ 与点 E’’重合时，E’’C 最短，E’’C 为 AB 边上的高， E’’C＝5. （三）两定两动型 例 3： 如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点 E，F 分别是射线 OA，OB 上的动点， 求 CF＋EF＋DE 的最小值. 分析： 这里的点 C，点 D 是定点，F，E 是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧 可以用“定点定线作对称”来考虑．作点 C 关于 OB 的对称点，点 D 关于 OA 的 对称点． 解答： 作点 C 关于 OB 的对称点 C’，点 D 关于 OA 的对称点 D’，连接 C’D’． CF＋EF ＋DE＝ C’F＋ EF＋ D’E，当 C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝ C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF ＋DE 最小值为 13．变式： （原创题）如图，斯诺克比赛桌面 AB 宽 1.78m，白球 E 距 AD 边 0.22m，距 CD 边 1.4m，有一颗红球 F 紧贴 BC 边，且距离 CD 边 0.1m，若要使白球 E 经过边 AD，DC，两次反弹击中红球 F，求白球 E 运动路线的总长度． 分析： 本题中，点 E 和点 F 是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题 的经验作出，即分别作点 E 关于 AD 边的对称点 E’，作点 F 关于 CD 边的对称点 F’，即可画出白球 E 的运动路线，化归为两定两动将军饮马型． 解答： 作点 E 关于 AD 边的对称点 E’，作点 F 关于 CD 边的对称点 F’，连接 E’F’， 交 AD 于点 G，交 CD 于点 H，则运动路线长为 EG＋GH＋HF 长度之和，即 E’F’ 长，延长 E’E 交 BC 于 N，交 AD 于 M，易知 E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋ 0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则 Rt△E’NF’中，E’F’＝ 2.5m，即白球运动路线的总长度为 2.5m．小结： 以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两 定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两 点之间线段最短”“垂线段最短”的 2 条重要性质，将线段和转化为直角三角 形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解． 当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点 对称． （二）求角度 例 1: P 为∠AOB 内一定点，M，N 分别为射线 OA，OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN ＝80°． （1）∠AOB＝_____° （2）求证：OP 平分∠MPN 分析： 这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将 M，N 的位置找到，再来思考 ∠AOB 的度数，显然作点 P 关于 OA 的对称点 P’，关于 OB 的对称点 P’’，连 接 P’P’’，其与 OA 交点即为 M，OB 交点即为 N，如下图，易知∠DPC 与∠AOB 互补，则求出∠DPC 的度数即可． 解答： （1）法 1： 如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝ 2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°． 再分析：考虑到第二小问要证明 OP 平分∠MPN，我们就连接 OP，则要证∠5＝∠6，显然 很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝ ∠8，问题迎刃而解． 解答： （1）法 2： 易知 OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对 称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50° （2） 由 OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°， OP 平分∠MPN． 变式： 如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在 BC、DE 上分别 找一点 M、N，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为________． 分析： 这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作 A 点关于 BC、DE 的对称点 A′、 A″，连接 A′A″，与 BC、DE 的交点即为△AMN 周长最小时 M、N 的位置． 解答： 如图， ∵∠BAE＝136°， ∴∠MA′A＋∠NA″A＝44° 由对称性知， ∠MAA′＝∠MA′A， ∠NAA″＝∠NA″A， ∠AMN＋∠ANM ＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88° 思考题： 1.（2017·安顺）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，△ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最 小值为_______． 2.（2017·安徽改编）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3．P 为矩形 ABCD 内一 点，若矩形 ABCD 面积为△PAB 面积的 4 倍，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为________．