2019年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．（3分）据央视网报道，2019年1～4月份我国社会物流总额为88.9万亿元人民币，“88.9万亿”用科学记数法表示为（ ）
A．8.89×1013 B．8.89×1012 C．88.9×1012 D．8.89×1011
3．（3分）如图，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点．已知坡角为20°，山高BC＝2千米．用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0） D．a（a+1）＝a2+1
6．（3分）为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．频数直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图
7．（3分）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
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A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
8．（3分）计算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的结果是（ ）
A．1+ B．1+2 C． D．1+4
9．（3分）解不答式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（ ）
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
11．（3分）甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．
施工时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
累计完成施工量/米
35
70
105
140
160
215
270
325
380
下列说法错误的是（ ）
A．甲队每天修路20米
B．乙队第一天修路15米
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C．乙队技术改进后每天修路35米
D．前七天甲，乙两队修路长度相等
12．（3分）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（ ）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）
13．（3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．
14．（3分）分解因式：2x2﹣2x+＝ ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝ ．
16．（3分）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是 ．
17．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝ °．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠
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0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．（7分）列方程解应用题：
小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
20．（8分）在一个箱内装入只有标号不同的三颗小球，标号分别为1，2，3．每次随机取出一颗小球，记下标号作为得分，再将小球放回箱内．小明现已取球三次，得分分别为1分，3分，2分，小明又从箱内取球两次，若五次得分的平均数不小于2.2分，请用画树状图或列表的方法，求发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率．
21．（8分）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
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22．（9分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
23．（10分）在画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y甲
……
6
3
2
3
6
……
乙写错了常数项，列表如下：
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y乙
……
﹣2
﹣1
2
7
14
……
通过上述信息，解决以下问题：
（1）求原二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当x 时，y的值随x的值增大而增大；
（3）若关于x的方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE
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，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．
（1）求证：CE＝EF；
（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求△BEF面积的最大值．
25．（12分）（1）方法选择
如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．
小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…
小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…
请你选择一种方法证明．
（2）类比探究
【探究1】
如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．
【探究2】
如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
（3）拓展猜想
如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是 ．
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2019年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1．【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：B．
2．【解答】解：法一：88.9万亿＝88.9×104×108＝88.9×1012
用科学记数法表示：88.9×1012＝8.89×1013
法二：科学记数法表示为：88.9万亿＝889 000 000 000 0＝8.89×1013
故选：A．
3．【解答】解：在△ABC中，sinA＝sin20°＝，
∴AB＝＝，
∴按键顺序为：2÷sin20＝
故选：A．
4．【解答】解：从上面看，得到的视图是：，
故选：C．
5．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；
B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；
D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：D．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
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∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
8．【解答】解：原式＝1+＝1+．
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故选：D．
9．【解答】解：解不等式①得：x≤﹣1，
解不等式②得：x＜5，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：D．
10．【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，
∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；
故选：A．
11．【解答】解：由题意可得，
甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；
乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；
乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；
前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；
故选：D．
12．【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥BC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
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∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）
13．【解答】解：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠1＝23°，
∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝∠AGB＝68°；
故答案为：68．
14．【解答】解：原式＝2（x2﹣x+）
＝2（x﹣）2．
故答案为：2（x﹣）2．
15．【解答】解：如图，延长BC、AD相交于点F，
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∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝∠FCE＝90°，
∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，
∴△EBC≌△EFC（ASA），
∴BC＝CF，
∵AB∥DC，
∴AD＝DF，
∴DC＝．
故答案为：3．
16．【解答】解：3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
17．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：
则DE＝CF，
∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CF＝AF＝BF＝AB，
∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∵AB∥CD，
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∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝105°；
故答案为：105°．
18．【解答】解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，
解得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
三、解答题（本大题共7小题，共66分）
19．【解答】解：设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：
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﹣4＝，
解得：x＝50，
经检验得：x＝50是原方程的根，故3x＝150，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
20．【解答】解：树状图如下：
共有9种等可能的结果数，
由于五次得分的平均数不小于2.2分，
∴五次的总得分不小于11分，
∴后2次的得分不小于5分，
而在这9种结果中，得出不小于5分的有3种结果，
∴发生“五次取球得分的平均数不小于2.2分”情况的概率为＝．
21．【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
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22．【解答】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，
∴AB＝＝1米，
∴AH＝0.8米，
∵AF＝FC＝2米，
∴BF＝1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，
∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，
∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，
∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
23．【解答】解：（1）由甲同学的错误可知c＝3，
由乙同学提供的数据选x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2，
有，
∴，
∴y＝﹣3x2+2x+3；
（2）y＝﹣3x2+2x+3的对称轴为直线x＝，
∴抛物线开口向下，
∴当x≤时，y的值随x的值增大而增大；
故答案为≤；
（3）方程ax2+bx+c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，
即﹣3x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根，
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∴△＝4+12（3﹣k）＞0，
∴k＜；
24．【解答】（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，
∴MN⊥AD，MN⊥BC，
∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，
∴∠AEM＝∠NFE，
∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，
∴BN＝EN＝AM，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴AE＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE＝EF；
（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝10，
∴0≤x≤5，
由题意得：BE＝2x，
∴BN＝EN＝x，
由（1）知：△AEM≌△EFN，
∴ME＝FN，
∵AB＝MN＝10，
∴ME＝FN＝10﹣x，
∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，
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∴y＝＝＝﹣2x2+5x（0≤x≤5）；
（3）解：y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，y有最大值是；即△BEF面积的最大值是．
25．【解答】解：（1）方法选择：∵AB＝BC＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
如图①，在BD上截取DEMAD，连接AM，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴AM＝AD，
∵∠ABM＝∠ACD，
∵∠AMB＝∠ADC＝120°，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD；
（2）类比探究：如图②，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝AD，∠AMD＝45°，
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∴DM＝AD，
∴∠AMB＝∠ADC＝135°，
∵∠ABM＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACD（AAS），
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD；
【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴MD＝2AD，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，
∴△ABM∽△ACD，
∴＝，
∴BM＝CD，
∴BD＝BM+DM＝CD+2AD；
故答案为：BD＝CD+2AD；
（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；
理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
过A作AM⊥AD交BD于M，
∴∠MAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAC，
∴△ABM∽△ACD，
∴＝，
∴BM＝CD，
∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，
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∴△ADM∽△ACB，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD＝BM+DM＝CD+AD．
故答案为：BD＝CD+AD
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