广西桂林市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年广西桂林市中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．（3 分） 的倒数是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 2．（3 分）若海平面以上 1045 米，记做+1045 米，则海平面以下 155 米，记做（　　） A．﹣1200 米 B．﹣155 米 C．155 米 D．1200 米 3．（3 分）将数 47300000 用科学记数法表示为（　　） A．473×105 B．47.3×106 C．4.73×107 D．4.73×105 4．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． 圆 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 正五边形 5．（3 分）9 的平方根是（　　） A．3 B．±3 C．﹣3 D．9 6．（3 分）如图，一个圆形转盘被平均分成 6 个全等的扇形，任意旋转这个转盘 1 次，则当 转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（3 分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．两个锐角的和是钝角 C．直角三角形都相似2 D．正六边形的内角和为 360° 8．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a8÷a2＝a4 C．a2+a2＝2a2 D．（a+3）2＝a2+9 9．（3 分）如果 a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A．a+c＞b B．a+c＞b﹣c C．ac﹣1＞bc﹣1 D．a（c﹣1）＜b（c﹣1） 10．（3 分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视 图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（　　） A．π B．2π C．3π D．（ +1）π 11．（3 分）将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG 为折痕，若顶点 A，C，D 都落 在点 O 处，且点 B，O，G 在同一条直线上，同时点 E，O，F 在另一条直线上，则 的值 为（　　） A． B． C． D． 12．（3 分）如图，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0）， D（0，3），当过点 B 的直线 l 将四边形 ABCD 分成面积相等的两部分时，直线 l 所表示的 函数表达式为（　　）3 A．y＝ x+ B．y＝ x+ C．y＝x+1 D．y＝ x+ 二、填空题（共 6 小题．每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上） 13．（3 分）计算：|﹣2019|＝　 　． 14．（3 分）某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合 作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况： 组别 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 90 95 90 88 90 92 85 90 这组数据的众数是　 　． 15．（3 分）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0 的根是　 　． 16．（3 分）若 x2+ax+4＝（x﹣2）2，则 a＝　 　． 17．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例 y＝ （k＞0）的图象和△ABC 都在第一象 限内，AB＝AC＝ ，BC∥x 轴，且 BC＝4，点 A 的坐标为（3，5）．若将△ABC 向下平移 m 个单位长度，A，C 两点同时落在反比例函数图象上，则 m 的值为　 　． 18．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ ，AD＝3，点 P 是 AD 边上的一个动点，连接 BP， 作点 A 关于直线 BP 的对称点 A1，连接 A1C，设 A1C 的中点为 Q，当点 P 从点 A 出发，沿边 AD 运动到点 D 时停止运动，点 Q 的运动路径长为　 　． 三.解答题（本大题共 8 题，共 66 分，请将解答过程写在答题卡上） 19．（6 分）计算：（﹣1）2019﹣ +tan60°+（π﹣3.14）0． 20．（6 分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度．我们将小正方形的 顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点均在格点上． （1）将△ABC 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到△A1B1C1，画出4 平移后的△A1B1C1； （2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 A 的坐为（﹣4，3）； （3）在（2）的条件下，直接写出点 A1 的坐标． 21．（8 分）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ﹣ ，其中 x＝2+ ，y＝2． 22．（8 分）某校在以“青春心向觉，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了A 合唱，B 群舞，C 书法，D 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项， 小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计 图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若全校共有 1800 名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？ 23．（8 分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点 E 在 AC 上． （1）求证：AC 平分∠BAD； （2）求证：BE＝DE．5 24．（8 分）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了 50 个 A 类足球和 25 个 B 类足 球共花费 7500 元，已知购买一个 B 类足球比购买一个 A 类足球多花 30 元． （1）求购买一个 A 类足球和一个 B 类足球各需多少元？ （2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过 4800 元的经费再次购买 A 类足球和 B 类足球共 50 个，若单价不变，则本次至少可以购买 多少个 A 类足球？ 25．（10 分）如图，BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，B 为切点，BC 平分∠ABM，弦 CD 交 AB 于点 E，DE＝OE． （1）求证：△ACB 是等腰直角三角形； （2）求证：OA2＝OE•DC： （3）求 tan∠ACD 的值． 26．（12 分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）和 B（l，0），与 y 轴 交于点 C． （1）求抛物线的表达式； （2）作射线 AC，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°交抛物线于另一点 D，在射线 AD 上是 否存在一点 H，使△CHB 的周长最小．若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，点 Q 为抛物线的顶点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P 的 横坐标为 t，过点 P 作 x 轴的垂线 l，垂足为 E，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当﹣2＜t＜1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 分割成左右两部分，设在直线 l 左侧 部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数表达式．67 2019 年广西桂林市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．【解答】解： 的倒数是： ． 故选：A． 2．【解答】解：若海平面以上 1045 米，记做+1045 米，则海平面以下 155 米，记做﹣155 米． 故选：B． 3．【解答】解：将 47300000 用科学记数法表示为 4.73×107， 故选：C． 4．【解答】解：A、是中心对称图形，本选项正确； B、不是中心对称图形，本选项错误； C、不是中心对称图形，本选项错误； D、不是中心对称图形，本选项错误． 故选：A． 5．【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9 的平方根为：±3． 故选：B． 6．【解答】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是 ， 故选：D． 7．【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题； B、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题； C、所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题； D、正六边形的内角和为 720°，故错误，是假命题； 故选：A． 8．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误； B、a8÷a2＝a6，故此选项错误；8 C、a2+a2＝2a2，正确； D、（a+3）2＝a2+6a+9，故此选项错误； 故选：C． 9．【解答】解：∵c＜0， ∴c﹣1＜﹣1， ∵a＞b， ∴a（c﹣1）＜b（c﹣1）， 故选：D． 10．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角 形． ∴正三角形的边长＝ ＝2． ∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2， ∴底面周长为 2π ∴侧面积为 2π×2＝2π，∵底面积为 πr2＝π， ∴全面积是 3π． 故选：C． 11．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG， ∴E，G 分别为 AD，CD 的中点， 设 CD＝2a，AD＝2b，则 AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b， ∵∠C＝90°， ∴Rt△BCG 中，CG2+BC2＝BG2， 即 a2+（2b）2＝（3a）2， ∴b2＝2a2， 即 b＝ a， ∴ ， ∴ 的值为 ， 故选：B． 12．【解答】解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），9 ∴AC＝7，DO＝3， ∴四边形 ABCD 分成面积＝ AC×（|yB|+3）＝ ＝14， 可求 CD 的直线解析式为 y＝﹣x+3， 设过 B 的直线 l 为 y＝kx+b， 将点 B 代入解析式得 y＝kx+2k﹣1， ∴直线 CD 与该直线的交点为（ ， ）， 直线 y＝kx+2k﹣1 与 x 轴的交点为（ ，0）， ∴7＝ ×（3﹣ ）×（ +1）， ∴k＝ 或 k＝0， ∴k＝ ， ∴直线解析式为 y＝ x+ ； 故选：D． 二、填空题（共 6 小题．每小题 3 分，共 18 分，请将答案填在答题卡上） 13．【解答】解：|﹣2019|＝2019， 故答案为：2019． 14．【解答】解：90 出现了 4 次，出现的次数最多，则众数是 90； 故答案为：90 15．【解答】解：x﹣3＝0 或 x﹣2＝0， 所以 x1＝3，x2＝2． 故答案为 x1＝3，x2＝2． 16．【解答】解：∵x2+ax+4＝（x﹣2）2， ∴a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 17．【解答】解：∵AB＝AC＝ ，BC＝4，点 A（3，5）． ∴B（1， ），C（5， ）， 将△ABC 向下平移 m 个单位长度，10 ∴A（3，5﹣m），C（5， ﹣m）， ∵A，C 两点同时落在反比例函数图象上， ∴3（5﹣m）＝5（ ﹣m）， ∴m＝ ； 故答案为 ； 18．【解答】解：如图，连接BA1，取 BC 使得中点 O，连接 OQ，BD． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴tan∠ABD＝ ＝ ， ∴∠ABD＝60°， ∵A1Q＝QC，BO＝OC， ∴OQ＝ BA1＝ AB＝ ， ∴点 Q 的运动轨迹是以 O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为 120°， ∴点 Q 的运动路径长＝ ＝ π． 故答案为 π． 三.解答题（本大题共 8 题，共 66 分，请将解答过程写在答题卡上） 19．【解答】解：原式＝﹣1﹣2 + +1 ＝﹣ ． 20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作；11 （2）如图， （3）点 A1 的坐标为（2，6）． 21．【解答】解：原式＝ • + ＝ + ＝ ， 当 x＝2+ ，y＝2 时， 原式 ＝ ． 22．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是 120÷60%＝200（人）， 扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是 360°× ＝14.4°； （2）C 项目人数为 200﹣（120+52+8）＝20（人）， 补全图形如下： （3）估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有 1800× ＝252（人）．12 23．【解答】解：（1）在△ABC 与△ADC 中， ∴△ABC≌△ADC（SSS） ∴∠BAC＝∠DAC 即 AC 平分∠BAD； （2）由（1）∠BAE＝∠DAE 在△BAE 与△DAE 中，得 ∴△BAE≌△DAE（SAS） ∴BE＝DE 24．【解答】解：（1）设购买一个A 类足球需要 x 元，购买一个 B 类足球需要 y 元， 依题意，得： ， 解得： ． 答：购买一个 A 类足球需要 90 元，购买一个 B 类足球需要 120 元． （2）设购买 m 个 A 类足球，则购买（50﹣m）个 B 类足球， 依题意，得：90m+120（50﹣m）≤4800， 解得：m≥40． 答：本次至少可以购买 40 个 A 类足球． 25．【解答】证明：（1）∵BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线， ∴∠ABM＝90°， ∵BC 平分∠ABM， ∴∠ABC＝ ∠ABM＝45° ∵AB 是直径 ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∴AC＝BC ∴△ACB 是等腰直角三角形； （2）如图，连接 OD，OC13 ∵DE＝EO，DO＝CO ∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD ∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD ∴△EDO∽△ODC ∴ ∴OD2＝DE•DC ∴OA2＝DE•DC＝EO•DC （2）如图，连接 BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交 BD 于点 F， ∵DO＝BO ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO， ∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB， ∴∠ODB＝15°＝∠OBD ∵∠BAF＝∠DBA＝15° ∴AF＝BF，∠AFD＝30° ∵AB 是直径 ∴∠ADB＝90° ∴AF＝2AD，DF＝ AD ∴BD＝DF+BF＝ AD+2AD14 ∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝ ＝ ＝2﹣ 26．【解答】解：（1）抛物线与x 轴交于点 A（﹣2，0）和 B（l，0） ∴交点式为 y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2） ∴抛物线的表示式为 y＝﹣x2﹣x+2 （2）在射线 AD 上存在一点 H，使△CHB 的周长最小． 如图 1，延长 CA 到 C'，使 AC'＝AC，连接 BC'，BC'与 AD 交点即为满足条件的点 H ∵x＝0 时，y＝﹣x2﹣x+2＝2 ∴C（0，2） ∴OA＝OC＝2 ∴∠CAO＝45°，直线 AC 解析式为 y＝x+2 ∵射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°得射线 AD ∴∠CAD＝90° ∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45° ∴直线 AD 解析式为 y＝﹣x﹣2 ∵AC'＝AC，AD⊥CC' ∴C'（﹣4，﹣2），AD 垂直平分 CC' ∴CH＝C'H ∴当 C'、H、B 在同一直线上时，C△CHB＝CH+BH+BC＝C'H+BH+BC＝BC'+BC 最小 设直线 BC'解析式为 y＝kx+a ∴ 解得： ∴直线 BC'：y＝ x﹣ ∵ 解得： ∴点 H 坐标为（﹣ ，﹣ ）15 （3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+ ）2+ ∴抛物线顶点 Q（﹣ ， ） ①当﹣2＜t≤﹣ 时，如图 2，直线 l 与线段 AQ 相交于点 F 设直线 AQ 解析式为 y＝mx+n ∴ 解得： ∴直线 AQ：y＝ x+3 ∵点 P 横坐标为 t，PF⊥x 轴于点 E ∴F（t， t+3） ∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝ t+3 ∴S＝S△AEF＝ AE•EF＝ （t+2）（ t+3）＝ t2+3t+3 ②当﹣ ＜t≤0 时，如图 3，直线 l 与线段 QC 相交于点 G，过点 Q 作 QM⊥x 轴于 M ∴AM＝﹣ ﹣（﹣2）＝ ，QM＝ ∴S△AQM＝ AM•QM＝ 设直线 CQ 解析式为 y＝qx+2 把点 Q 代入：﹣ q+2＝ ，解得：q＝﹣ ∴直线 CQ：y＝﹣ x+2 ∴G（t，﹣ t+2） ∴EM＝t﹣（﹣ ）＝t+ ，GE＝﹣ t+2 ∴S 梯形 MEGQ＝ （QM+GE）•ME＝ （ ﹣ t+2）（t+ ）＝﹣ t2+2t+ ∴S＝S△AQM+S 梯形 MEGQ＝ +（﹣ t2+2t+ ）＝﹣ t2+2t+ ③当 0＜t＜1 时，如图 4，直线 l 与线段 BC 相交于点 N 设直线 BC 解析式为 y＝rx+2 把点 B 代入：r+2＝0，解得：r＝﹣216 ∴直线 BC：y＝﹣2x+2 ∴N（t，﹣2t+2） ∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2 ∴S△BEN＝ BE•NE＝ （1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1 ∵S 梯形 MOCQ＝ （QM+CO）•OM＝ ×（ +2）× ＝ ，S△BOC＝ BO•CO＝ ×1×2＝1 ∴S＝S△AQM+S 梯形 MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝ + +1﹣（t2﹣2t+1）＝t2﹣2t+ 综上所述，S＝17