广西玉林市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年广西玉林市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分． 1．（3 分）9 的倒数是（　　） A． B．﹣ C．9 D．﹣9 2．（3 分）下列各数中，是有理数的是（　　） A．π B．1.2 C． D． 3．（3 分）如图，圆柱底面圆半径为 2，高为 2，则圆柱的左视图是（　　） A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．圆 4．（3 分）南宁到玉林城际铁路投资约 278 亿元，将数据 278 亿用科学记数法表示是（　　） A．278×108 B．27.8×109 C．2.78×1010 D．2.78×108 5．（3 分）若 α＝29°45′，则 α 的余角等于（　　） A．60°55′ B．60°15′ C．150°55′ D．150°15′ 6．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．3a+2a＝5a2 B．3a2﹣2a＝a C．（﹣a）3•（﹣a2）＝﹣a5 D．（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2 7．（3 分）菱形不具备的性质是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等 8．（3 分）若一元二次方程 x2﹣x﹣2＝0 的两根为 x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是 （　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣2 9．（3 分）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（　　）2 A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对 10．（3 分）定义新运算：p⊕q＝ ，例如：3⊕5＝ ，3⊕（﹣5）＝ ，则 y＝ 2⊕x（x≠0）的图象是（　　） A． B． C． D． 11．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点 O 是 AB 的三等分点，半 圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（3 分）已知抛物线 C：y＝ （x﹣1）2﹣1，顶点为 D，将 C 沿水平方向向右（或向左） 平移 m 个单位，得到抛物线 C1，顶点为 D1，C 与 C1 相交于点 Q，若∠DQD1＝60°，则 m 等 于（　　） A．±4 B．±2 C．﹣2 或 2 D．﹣4 或 43 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）计算：（﹣6）﹣（+4）＝　 　． 14．（3 分）样本数据﹣2，0，3，4，﹣1 的中位数是　 　． 15．（3 分）我市博览馆有 A，B，C 三个入口和 D，E 两个出口，小明入馆游览，他从 A 口进 E 口出的概率是　 　． 16．（3 分）如图，一次函数 y1＝（k﹣5）x+b 的图象在第一象限与反比例函数 y2＝ 的图 象相交于 A，B 两点，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是 1＜x＜4，则 k＝　 　． 17．（3 分）设 0＜ ＜1，则 m＝ ，则 m 的取值范围是　 　． 18．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处， 并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩 形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边碰撞 次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是　 　． 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．（6 分）计算：| ﹣1|﹣（﹣2）3﹣ +（π﹣cos60°）0． 20．（6 分）解方程： ﹣ ＝1． 21．（6 分）如图，已知等腰△ABC 顶角∠A＝30°． （1）在 AC 上作一点 D，使 AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证 明，最后用黑色墨水笔加墨）； （2）求证：△BCD 是等腰三角形．4 22．（8 分）某校有 20 名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记 为 60 分、70 分、80 分、90 分、100 分，为方便奖励，现统计出 80 分、90 分、100 分的 人数，制成如图不完整的扇形统计图，设 70 分所对扇形圆心角为 α． （1）若从这 20 份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于 80 分的概率是　 　； （2）当 α＝180°时，求成绩是 60 分的人数； （3）设 80 分为唯一众数，求这 20 名同学的平均成绩的最大值． 23．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，以 AB 为直径作⊙O 分别交于 AC，BC 于 点 D，E，过点 E 作⊙O 的切线 EF 交 AC 于点 F，连接 BD． （1）求证：EF 是△CDB 的中位线； （2）求 EF 的长． 24．（9 分）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同 时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是 2.5 万 kg 与 3.6 万 kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． （1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； （2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最 多为 0.32 万 kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售 点的基础上至少再增加多少个销售点？ 25．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中，分别过顶点 B，D 作 BE∥DF 交对角线 AC 所在直线于5 E，F 点，并分别延长 EB，FD 到点 H，G，使 BH＝DG，连接 EG，FH． （1）求证：四边形 EHFG 是平行四边形； （2）已知：AB＝2 ，EB＝4，tan∠GEH＝2 ，求四边形 EHFG 的周长． 26．（12 分）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）． （1）求证：二次函数的图象与 x 轴有两个交点； （2）当二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数时，求 a 的 值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与 x 轴的两个交 点 A，B（A 在 B 的左侧），与 y 轴的交点 C 及其顶点 D 这四点画出二次函数的大致图象， 同时标出 A，B，C，D 的位置）； （3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 P 使∠PCA＝75°？如果存在， 求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．6 2019 年广西玉林市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分． 1．【解答】解：9 的倒数是： ． 故选：A． 2．【解答】解：四个选项中只有 1.2 是有理数． 故选：B． 3．【解答】解：∵圆柱底面圆半径为 2，高为 2， ∴底面直径为 4， ∴圆柱的左视图是一个长为 4，宽为 2 的长方形， 故选：C． 4．【解答】解：278 亿用科学记数法表示应为 2.78×1010， 故选：C． 5．【解答】解：∵α＝29°45′， ∴α 的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′． 故选：B． 6．【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误； B、3a2﹣2a，无法计算，故此选项错误； C、（﹣a）3•（﹣a2）＝a5，故此选项错误； D、（2a3b2﹣4ab4）÷（﹣2ab2）＝2b2﹣a2，正确． 故选：D． 7．【解答】解：A、是轴对称图形，故正确； B、是中心对称图形，故正确； C、对角线互相垂直，故正确； D、对角线不一定相等，故不正确； 故选：D． 8．【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．7 故选：A． 9．【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA， ∵AB∥EF∥DC，AD∥BC ∴△AEG∽△ADC∽CFG∽△CBA 共有 6 个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC ∽△CBA，CFG∽△CBA 故选：C． 10．【解答】解：∵p⊕q＝ ， ∴y＝2⊕x＝ ， 故选：D． 11．【解答】解：如图，设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作 OP⊥BC 垂足为 P 交⊙O 于 F， 此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为 OP﹣OF， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5 ∵∠OPB＝90°， ∴OP∥AC ∵点 O 是 AB 的三等分点， ∴OB＝ ×5＝ ， ＝ ＝ ， ∴OP＝ ， ∵⊙O 与 AC 相切于点 D， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC， ∴ ＝ ＝ ， ∴OD＝1， ∴MN 最小值为 OP﹣OF＝ ﹣1＝ ，8 如图，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值＝ +1＝ ， ∴MN 长的最大值与最小值的和是 6． 故选：B． 12．【解答】解：抛物线CC：y＝ （x﹣1）2﹣1 沿水平方向向右（或向左）平移 m 个单位 得到 y＝ （x﹣m﹣1）2﹣1， ∴D（1，﹣1），D（m+1，﹣1）， ∴Q 点的横坐标为： ， 代入 y＝ （x﹣1）2﹣1 求得 Q（ ， ﹣1）， 若∠DQD1＝60°，则△DQD1 是等腰直角三角形， ∴QD＝DD＝|m|1， 由勾股定理得，（ ﹣1）2+（ ﹣1+1）2＝m2， 解得 m＝±4 ， 故选：A． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．【解答】解：（﹣6）﹣（+4）＝（﹣6）+（﹣4）＝﹣10． 故答案为：﹣10 14．【解答】解：按从小到大的顺序排列是：﹣2，﹣1，0，3，4． 中间的是 1．则中位数是：0． 故答案是：0．9 15．【解答】解：根据题意画树形图： 共有 6 种等情况数，其中“A 口进 D 口出”有一种情况， 从“A 口进 D 口出”的概率为 ； 故答案为： ． 16．【解答】解：由已知得A、B 的横坐标分别为 1，4， 所以有 解得 k＝4， 故答案为 4． 17．【解答】解：m＝ ＝ ， ∵0＜ ＜1， ∴﹣2＜﹣ ＜0， ∴﹣1≤1﹣ ＜1， 即﹣1＜m＜1． 故答案为：﹣1＜m＜1 18．【解答】解：如图 根据图形可以得到：每 6 次反弹为一个循环组依次循环，经过 6 次反弹后动点回到出发 点（6，0），且每次循环它与 AB 边的碰撞有 2 次， ∵2019÷6＝336…3， 当点 P 第 2019 次碰到矩形的边时为第 337 个循环组的第 3 次反弹，点 P 的坐标为（6， 4）10 ∴它与 AB 边的碰撞次数是＝336×2＝672 次 故答案为 672 三、解答题（共 8 小题，满分 66 分） 19．【解答】解：原式＝ ﹣1+8﹣ +1 ＝8． 20．【解答】解： ﹣ ＝ ＝ ＝1， ∴x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+2）， ∴x＝1， 经检验 x＝1 是方程的增根， ∴原方程无解； 21．【解答】（1）解：如图，点D 为所作； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°， ∵DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BCD 是等腰三角形． 22．【解答】解：（1）低于 80 分的征文数量为 20×（1﹣30%﹣20%﹣10%）＝8， 则抽到试卷的分数为低于 80 分的概率是 ＝ ， 故答案为： ． （2）当 α＝180°时，成绩是 70 分的人数为 10 人， 则成绩是 60 分的人数 20﹣10﹣20×（10%+20%+30%）＝2（人）；11 （3）∵80 分的人数为：20×30%＝6（人），且 80 分为成绩的唯一众数， 所以当 70 分的人数为 5 人时，这个班的平均数最大， ∴最大值为：（20×10%×100+20×20%×90+20×30%×80+5×70+3×60）÷20＝78.5 （分）． 23．【解答】（1）证明：连接AE，如图所示： ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴AE⊥BC，BD⊥AC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝3， ∵EF 是⊙O 的切线， ∴OE⊥EF， ∵OA＝OB， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE∥AC， ∴OE⊥BD， ∴BD∥EF， ∵BE＝CE， ∴CF＝DF， ∴EF 是△CDB 的中位线； （2）解：∵∠AEB＝90°， ∴AE＝ ＝ ＝4， ∵△ABC 的面积＝ AC×BD＝ BC×AE， ∴BD＝ ＝ ＝ ， ∵EF 是△CDB 的中位线， ∴EF＝ BD＝ ．12 24．【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6， 解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去）， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 20%； （2）设至少再增加 y 个销售点， 根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%）， 解得：y≥ ， 答：至少再增加 3 个销售点． 25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠CFD＝∠BEA， ∵∠BAC＝∠BEA+∠ABE，∠DCA＝∠CFD+∠CDF， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE 和△CDF 中， ∵ ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∵BH＝DG， ∴BE+BH＝DF+DG， 即 EH＝GF， ∵EH∥GF， ∴四边形 EHFG 是平行四边形； （2）如图，连接 BD，交 EF 于 O，13 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BD⊥AC， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝2 ， ∴OA＝OB＝2， Rt△BOE 中，EB＝4， ∴∠OEB＝30°， ∴EO＝2 ， ∵OD＝OB，∠EOB＝∠DOF， ∵DF∥EB， ∴∠DFC＝∠BEA， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE＝2 ， ∴EF＝4 ， ∴FM＝2 ，EM＝6， 过 F 作 FM⊥EH 于 M，交 EH 的延长线于 M， ∵EG∥FH， ∴∠FHM＝∠GEH， ∵tan∠GEH＝tan∠FHM＝ ＝2 ， ∴ ， ∴HM＝1， ∴EH＝EM﹣HM＝6﹣1＝5，FH＝ ＝ ＝ ， ∴四边形 EHFG 的周长＝2EH+2FH＝2×5+2 ＝10+2 ． 26．【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且 a＜0， ∴抛物线与 x 轴的交点为（﹣2，0）、（﹣ ，0），14 则二次函数的图象与 x 轴有两个交点； （2）∵两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数， ∴a＝﹣1， 则抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标为（﹣2，0）、B 的坐标为（1，0）， ∴抛物线解析式为 y＝（x+2）（﹣x+1） ＝﹣x2﹣x+2 ＝﹣（x+ ）2+ ， 当 x＝0 时，y＝2，即 C（0，2）， 函数图象如图 1 所示： （3）存在这样的点 P， ∵OA＝OC＝2， ∴∠ACO＝45°， 如图 2，当点 P 在直线 AC 上方时，记直线 PC 与 x 轴的交点为 E，15 ∵∠PCA＝75°， ∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°， 则∠OEC＝30°， ∴OE＝ ＝ ＝2 ， 则 E（2 ，0）， 求得直线 CE 解析式为 y＝﹣ x+2， 联立 ， 解得 或 ， ∴P（ ， ）； 如图 3，当点 P 在直线 AC 下方时，记直线 PC 与 x 轴的交点为 F，16 ∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°， ∴∠OCF＝30°， 则 OF＝OCtan∠OCF＝2× ＝ ， ∴F（ ，0）， 求得直线 PC 解析式为 y＝﹣ x+2， 联立 ， 解得： 或 ， ∴P（ ﹣1， ﹣1）， 综上，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ﹣1， ﹣1）．