第1章《有理数》单元测试卷(2)含答案解析

新人教版七年级上册《第 1 章 有理数》年单元测试卷 一、选择题（共 10 小题） 1．在﹣ ，0， ，﹣1 这四个数中，最小的数是( ) A．﹣ B．0 C． D．﹣1 2．有理数﹣2 的相反数是( ) A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 3．2015 的相反数是( ) A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015 4．﹣ 的相反数是( ) A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 5．6 的绝对值是( ) A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 6．下列说法正确的是( ) A．一个数的绝对值一定比 0 大 B．一个数的相反数一定比它本身小 C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最小的正整数是 1 7．某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是( ) A．﹣10℃ B．10℃ C．14℃ D．﹣14℃ 8．下列说法错误的是( ) A．﹣2 的相反数是 2 B．3 的倒数是 C．（﹣3）﹣（﹣5）=2 D．﹣11，0，4 这三个数中最小的数是 0 9．如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数﹣ 表示的点最接近的是( )A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 10．若|a﹣1|=a﹣1，则 a 的取值范围是( ) A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 二、填空题 11．有一种原子的直径约为 0.00000053 米，用科学记数法表示为__________． 12．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第 7 个数是__________，第 n 个数 是__________（n 为正整数）． 13．﹣3 的倒数是__________，﹣3 的绝对值是__________． 14．数轴上到原点的距离等于 4 的数是__________． 15．|a|=4，b2=4，且|a+b|=a+b，那么 a﹣b 的值是__________． 16．在数轴上点 P 到原点的距离为 5，点 P 表示的数是  __________． 17．绝对值不大于 2 的所有整数为__________． 18．把下列各数分别填在相应的集合内： ﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9 分数集：__________． 负数集：__________． 有理数集：__________． 三、计算题 19．计算﹣ + ×（23﹣1）×（﹣5）×（﹣ ） 20．已知 3m+7 与﹣10 互为相反数，求 m 的值． 21．计算 （1）11﹣18﹣12+19 （2）（﹣5）×（﹣7）+20÷（﹣4） （3）（ + ﹣ ）×（﹣36）（4）2 ×（﹣ ）﹣12÷ （5）3+12÷22×（﹣3）﹣5 （6）﹣12+2014×（﹣ ）3×0﹣（﹣3） 四、解答题 22．某股民在上周星期五买进某种股票 1000 股，每股 10 元，星期六，星期天股市不交易， 下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 每股涨 跌 +0.3 +0.1 ﹣0.2 ﹣0.5 +0.2 （1）本周星期五收盘时，每股是多少元？ （2）已知买进股票时需付买入成交额 1.5‰的手续费，卖出股票时需付卖出成交额 1.5‰的 手续费和卖出成交额 1‰的交易费，如果在本周五收盘时将全部股票一次性地卖出，那么该 股民的收益情况如何？ 23．定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算．比如： 2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5． 若 3⊕x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图示的数轴上表示出来． 24．在求 1+2+22+23+24+25+26 的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个 加数的 2 倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以 2，得： 2S=2+22+23+24+25+26+27 ②；②﹣①得 2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即 1+2+22+23+24+25+26=27﹣1． （1）求 1+3+32+33+34+35+36 的值； （2）求 1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0 且 a≠1）的值． 25．观察下列各式： 13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2； 13+23+33=6，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2； ∴13+23+33+43+53=（__________）2=__________． 根据以上规律填空： （1）13+23+33+…+n3=（__________）2=[__________]2． （2）猜想：113+123+133+143+153=__________．新人教版七年级上册《第 1 章 有理数》2015 年单元测试 卷 一、选择题（共 10 小题） 1．在﹣ ，0， ，﹣1 这四个数中，最小的数是( ) A．﹣ B．0 C． D．﹣1 【考点】有理数大小比较． 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负 数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：根据有理数大小比较的法则，可得 ﹣1＜﹣ ， 所以在﹣ ，0， ，﹣1 这四个数中，最小的数是﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值 反而小． 2．有理数﹣2 的相反数是( ) A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解答】解：根据相反数的定义，﹣2 的相反数是 2． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0 的相反数是 0． 3．2015 的相反数是( ) A． B．﹣ C．2015 D．﹣2015 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：2015 的相反数是：﹣2015， 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．4．﹣ 的相反数是( ) A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【解答】解：﹣ 的相反数是 ． 故选 C． 【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 5．6 的绝对值是( ) A．6 B．﹣6 C． D．﹣ 【考点】绝对值． 【分析】根据绝对值的定义求解． 【解答】解：6 是正数，绝对值是它本身 6． 故选：A． 【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的 绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 6．下列说法正确的是( ) A．一个数的绝对值一定比 0 大 B．一个数的相反数一定比它本身小 C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．最小的正整数是 1 【考点】绝对值；有理数；相反数． 【分析】分别利用绝对值以及有理数和相反数的定义分析得出即可． 【解答】解：A、一个数的绝对值一定比 0 大，有可能等于 0，故此选项错误； B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误； C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0 的绝对值也等于其本身，故此选项错误； D、最小的正整数是 1，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关 键． 7．某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是( ) A．﹣10℃ B．10℃ C．14℃ D．﹣14℃ 【考点】有理数的减法． 【专题】应用题． 【分析】用最高气温减去最低气温，然后根据有理数的减法运算法则减去一个数等于加上这 个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：12℃﹣2℃=10℃． 故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关 键． 8．下列说法错误的是( ) A．﹣2 的相反数是 2 B．3 的倒数是 C．（﹣3）﹣（﹣5）=2 D．﹣11，0，4 这三个数中最小的数是 0 【考点】相反数；倒数；有理数大小比较；有理数的减法． 【分析】根据相反数的概念、倒数的概念、有理数的减法法则和有理数的大小比较进行判断 即可． 【解答】解：﹣2 的相反数是 2，A 正确； 3 的倒数是 ，B 正确； （﹣3）﹣（﹣5）=﹣3+5=2，C 正确； ﹣11，0，4 这三个数中最小的数是﹣11，D 错误， 故选：D． 【点评】本题考查的是相反数的概念、倒数的概念、有理数的减法法则和有理数的大小比较， 掌握有关的概念和法则是解题的关键． 9．如图，数轴上的 A、B、C、D 四点中，与数﹣ 表示的点最接近的是( ) A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【考点】实数与数轴；估算无理数的大小． 【分析】先估算出 ≈1.732，所以﹣ ≈﹣1.732，根据点 A、B、C、D 表示的数分别为 ﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答． 【解答】解：∵ ≈1.732， ∴﹣ ≈﹣1.732， ∵点 A、B、C、D 表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2， ∴与数﹣ 表示的点最接近的是点 B． 故选：B． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关 键． 10．若|a﹣1|=a﹣1，则 a 的取值范围是( ) A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 【考点】绝对值． 【分析】根据|a|=a 时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则 a﹣1≥0，即可求得 a 的取值范围． 【解答】解：因为|a﹣1|=a﹣1，则 a﹣1≥0， 解得：a≥1， 故选 A【点评】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0． 二、填空题 11．有一种原子的直径约为 0.00000053 米，用科学记数法表示为 5.3×10﹣7． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【专题】应用题． 【分析】较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10﹣n，在本题中 a 应为 5.3，10 的指数为 ﹣7． 【解答】解：0.000 000 53=5.3×10﹣7． 故答案为：5.3×10﹣7． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 12．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第 7 个数是 8，第 n 个数是 （n 为正整数）． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】规律型． 【分析】观察数据可得：偶数项为 0；奇数项为（n+1）；故其中第 7 个数是（7+1）=8；第 n 个数是 （n+1）． 【解答】解：第 7 个数是（7+1）=8； 第 n 个数是 （n+1）． 【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意， 找到规律，并进行推导得出答案． 13．﹣3 的倒数是﹣ ，﹣3 的绝对值是 3． 【考点】倒数；绝对值． 【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据负数的绝对值是它的相 反数，可得答案． 【解答】解：﹣3 的倒数是﹣ ，﹣3 的绝对值是 3， 故答案为： ，3． 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 14．数轴上到原点的距离等于 4 的数是±4． 【考点】数轴． 【分析】根据从原点向左数 4 个单位长度得﹣4，向右数 4 个单位长度得 4，得到答案． 【解答】解：与原点距离为 4 的点为：|4|， ∴这个数为±4． 故答案为：±4． 【点评】本题考查的是数轴的知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要正确 理解绝对值的概念． 15．|a|=4，b2=4，且|a+b|=a+b，那么 a﹣b 的值是 0 或 4 或﹣4． 【考点】有理数的混合运算；绝对值． 【分析】根据绝对值的性质求出 a 的值，根据平方根求出 b 的值，再根据|a+b|=a+b 可知， a+b≥0，然后确定出 a、b 的值，再代入进行计算即可． 【解答】解：∵|a|=4， ∴a=2 或﹣2， ∵b2=4， ∴b=2 或﹣2， ∵|a+b|=a+b， ∴a+b≥0， ∴a=2 时，b=2，或 a=2 时，b=﹣2，或 a=﹣2 时，b=2， ∴a﹣b=2﹣2=0，或 a﹣b=2﹣（﹣2）=4，或 a﹣b=（﹣2）﹣2=﹣4， 综上所述，a﹣b 的值是 0 或 4 或﹣4． 故答案为：0 或 4 或﹣4． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，绝对值的性质，平方根的概念，根据题意求出 a、 b 的值是解题的关键． 16．在数轴上点 P 到原点的距离为 5，点 P 表示的数是  ±5． 【考点】数轴． 【专题】推理填空题． 【分析】根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答． 【解答】解：∵在数轴上点 P 到原点的距离为 5，即|x|=5， ∴x=±5． 故答案为：±5． 【点评】本题考查的是数轴上各数到原点距离的定义，即数轴上各点到原点的距离等于各点 所表示的数绝对值． 17．绝对值不大于 2 的所有整数为 0，±1，±2． 【考点】绝对值． 【专题】计算题． 【分析】找出绝对值不大于 2 的所有整数即可． 【解答】解：绝对值不大于 2 的所有整数为 0，±1，±2． 故答案为：0，±1，±2． 【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 18．把下列各数分别填在相应的集合内：﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9 分数集：5%、﹣2.3、 、3.1415926、﹣ 、 ． 负数集：﹣11、﹣2.3、﹣ 、﹣9． 有理数集：﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9． 【考点】有理数． 【分析】按照有理数的分类填写： 有理数 ． 【解答】解：分数集：5%、﹣2.3、 、3.1415926、﹣ 、 ； 负数集：﹣11、﹣2.3、﹣ 、﹣9； 有理数集：﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9； 故答案为：5%、﹣2.3、 、3.1415926、﹣ 、 ；﹣11、﹣2.3、﹣ 、﹣9；﹣11、5%、 ﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9． 【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非 负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数． 三、计算题 19．计算﹣ + ×（23﹣1）×（﹣5）×（﹣ ） 【考点】有理数的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】根据运算顺序先算括号中的乘方运算，23 表示三个 2 的乘积，计算后再根据负因 式的个数为 2 个，得到积为正数，约分后，最后利用异号两数相加的法则即可得到最后结 果． 【解答】解：原式=﹣ + ×（8﹣1）×（﹣5）×（﹣ ） =﹣ + ×7×（﹣5）×（﹣ ） =﹣ +4 = ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序：先乘方，再 乘除，最后算加减，有括号先算括号中的，同级运算从左到右依次进行，然后按照运算法则 运算，有时可以利用运算律来简化运算． 20．已知 3m+7 与﹣10 互为相反数，求 m 的值． 【考点】相反数． 【分析】根据互为相反数的和为零，可得关于 m 的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由 3m+7 与﹣10 互为相反数，得 3m+7+（﹣10）=0． 解得 m=1， m 的值为 1． 【点评】本题考查了相反数，利用互为相反数的和为零得出关于 m 的方程是解题关键． 21．计算 （1）11﹣18﹣12+19 （2）（﹣5）×（﹣7）+20÷（﹣4） （3）（ + ﹣ ）×（﹣36） （4）2 ×（﹣ ）﹣12÷ （5）3+12÷22×（﹣3）﹣5 （6）﹣12+2014×（﹣ ）3×0﹣（﹣3） 【考点】有理数的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）原式结合后，相加即可得到结果； （2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果； （5）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果； （6）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=11+19﹣18﹣12=30﹣30=0； （2）原式=35﹣80=﹣45； （3）原式=﹣4﹣6+9=﹣1； （4）原式=﹣ × ﹣12× =﹣ ﹣18=﹣19 ； （5）原式=3+12× ×（﹣3）﹣5=3﹣9﹣5=﹣11； （6）原式=﹣1+0+3=2． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题22．某股民在上周星期五买进某种股票 1000 股，每股 10 元，星期六，星期天股市不交易， 下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期 一 二 三 四 五 每股涨 跌 +0.3 +0.1 ﹣0.2 ﹣0.5 +0.2 （1）本周星期五收盘时，每股是多少元？ （2）已知买进股票时需付买入成交额 1.5‰的手续费，卖出股票时需付卖出成交额 1.5‰的 手续费和卖出成交额 1‰的交易费，如果在本周五收盘时将全部股票一次性地卖出，那么该 股民的收益情况如何？ 【考点】正数和负数． 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据卖出股票金额减去买入股票金额，减去成交额费用，减去手续费，可得收益情 况． 【解答】解：（1）10+0.3+0.1﹣0.2﹣0.5+0.2=9.9（元）． 答：本周星期五收盘时，每股是 9.9 元， （2）1000×9.9﹣1000×10﹣1000×10×1.5‰﹣1000×9.9×1.5‰﹣1000×9.9×1‰ =9900﹣15﹣14.85﹣9.9﹣10000 =﹣139.75（元）． 答：该股民的收益情况是亏了 139.75 元． 【点评】本题考查了正数和负数，利用了炒股知识：卖出股票金额减去买入股票金额，减去 成交额费用，减去手续费． 23．定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算．比如： 2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1=﹣5． 若 3⊕x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图示的数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】新定义． 【分析】首先根据运算的定义，根据3⊕x 的值小于 13，即可列出关于 x 的不等式，解方程 即可求解． 【解答】解：∵3⊕x＜13， ∴3（3﹣x）+1＜13， 9﹣3x+1＜13， 解得：x＞﹣1． ． 【点评】本题考查了不等式的性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．24．在求 1+2+22+23+24+25+26 的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个 加数的 2 倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以 2，得： 2S=2+22+23+24+25+26+27 ②；②﹣①得 2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即 1+2+22+23+24+25+26=27﹣1． （1）求 1+3+32+33+34+35+36 的值； （2）求 1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0 且 a≠1）的值． 【考点】整式的混合运算． 【专题】换元法． 【分析】（1）将 1+3+32+33+34+35+36 乘 3，减去 1+3+32+33+34+35+36，把它们的结果除以 3﹣1=2 即可求解； （2）将 1+a+a2+a3+…+a2013 乘 a，减去 1+a+a2+a3+…+a2013，把它们的结果除以 a﹣1 即可求 解． 【解答】解：（1）1+3+32+33+34+35+36 =[（1+3+32+33+34+35+36）×3﹣（1+3+32+33+34+35+36）]÷（3﹣1） =[（3+32+33+34+35+36+37）﹣（1+3+32+33+34+35+36）]÷2 =（37﹣1）÷2 =2187÷2 =1093.5； （2）1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0 且 a≠1） ═[（1+a+a2+a3+…+a2013）×a﹣（1+a+a2+a3+…+a2013）]÷（a﹣1） =[（a+a2+a3+…+a2013+a2014）﹣（1+a+a2+a3+…+a2013）]÷（a﹣1） =（a2014﹣1）÷（a﹣1） = ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和 方法是解题的关键． 25．观察下列各式： 13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2； 13+23+33=6，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2； ∴13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225． 根据以上规律填空： （1）13+23+33+…+n3=（1+2+…+n）2=[ ]2． （2）猜想：113+123+133+143+153=11375． 【考点】整式的混合运算． 【专题】规律型． 【分析】观察题中的一系列等式发现，从1 开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整 数和的平方，根据此规律填空， （1）根据上述规律填空，然后把 1+2+…+n 变为 个（n+1）相乘，即可化简；（2）对所求的式子前面加上 1 到 10 的立方和，然后根据上述规律分别求出 1 到 15 的立方 和与 1 到 10 的立方和，求出的两数相减即可求出值． 【解答】解：由题意可知：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225 （1）∵1+2+…+n=（1+n）+[2+（n﹣1）]+…+[ +（n﹣ +1）]= ， ∴13+23+33+…+n3=（1+2+…+n）2=[ ]2； （2）113+123+133+143+153=13+23+33+…+153﹣（13+23+33+…+103） =（1+2+…+15）2﹣（1+2+…+10）2 =1202﹣552=11375． 故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n； ；11375． 【点评】此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得 解题途径．考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能 力．