高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 1 页共 4 页
万州二中高 2020 级高三第一次月考数学（文科）试题
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓
名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选
择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂
黑。
一、单选题
1．集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC 中，“ ”是“A＜B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有的点（ ）
{ }2 1| 2 0 , | 2A x x x B x x
= + − < = ≤ A B =
10, 2
1( 1,0) ,22
−
1( 2,0) ,12
−
1 ,12
sin sinA B<
2 xy e e= −
sin(2 )5y x
π= − sin 2y x=高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 2 页共 4 页
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从 500 台取暖器中取 50 台进行检验，用随机数表抽
取样本，将 500 台取暖器编号为 001，002，…，500.下图提供了随机数表第 7 行至第 9 行的数据：
82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第 7 行第 4 列开始向右依次读取 3 个数据，则抽出第 4 台取暖器的编号为
A．217 B．206 C．245 D．212
6．函数 f(x)＝exsinx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A． B． C． D．
7．已知函数 是定义在 上的奇函数， ，且 时，
，则 ( )
A．4 B． C． D．
8．中华文化博大精深。我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子 16 岁。
乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位
老人的年龄。根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）
A．71 岁 B．81 岁 C．131 岁 D．141 岁
9．在直角梯形 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．若函数 y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数 F(x)＝1－f(x＋3)的值域是( )
A．[－8，－3] B．[－5，－1] C．[－2，0] D．[1，3]
11．设 ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是定义在 上的函数，且对于任意 ，不等式
恒成立，则整数 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5
π
5
π
10
π
10
π
3π
4
π
3
π
4
π
6
( )f x R 3 3( ) ( )2 2f x f x+ = − 3 ,02x ∈ −
2( ) log ( 3 1)f x x= − + (2020)f =
2log 7 2 2−
ABCD //AB CD 90ABC∠ = 2 2AB BC CD= = cos DAC∠ =
2 5
5
5
5
3 10
10
10
10
1
2
1 1, ln 2 ln3,3
ea e b c π= = − =
a c b> > c a b> > c b a> > a b c> >
( ) 3f x x x= + R ( )0x π∈ ，
( ) ( )sin 1 cos 0f x x f x a− + − ≤ a高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 3 页共 4 页
二、填空题
13．若 ,则 ________.
14．某个含有三个实数的集合既可表示为 ，也可表示为{a，a＋b，1}，则 a2015＋b2015
的值为____．
15．在 中， 在边 上， 平分 ，若 ， ，且 ，则
________， 的面积为_________．
16．已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解 . .
，则 的取值范围是__________.
三、解答题
17．设命题푝：实数푥满足푥2 ―2푎푥 ― 3푎2 < 0(푎 > 0)，命题푞：实数푥满足2 ― 푥
푥 ― 4 ≥ 0．
（I）若푎 = 1，푝 ∧ 푞为真命题，求푥的取值范围；
（II）若¬푝是¬푞的充分不必要条件，求实数푎的取值范围．
18．已知函数푓(푥) = sin2푥 + 3sin푥cos푥.
（Ⅰ）求푓(푥)的最小正周期；
（Ⅱ）若푓(푥)在区间[ ― 휋
3,푚]上的最大值为3
2，求푚的最小值.
19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢
行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通
安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路
口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶员人数 120 105 100 90 85
（1）请利用所给数据求违章人数푦与月份 푥之间的回归直线方程푦 = 푏푥 + 푎；
（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式： 푏 =
푛
푖=1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖=1
푥푖
2 ― 푛
―2
푥
=
푛
푖=1
(푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1
(푥푖 ― 푥)2
,푎 = 푦 ― 푏푥,参考数据：
푛
푖=1
푥푖푦푖 = 1415.
3 4z i= + z
z
=
, ,0bb a
ABC∆ D AB CD ACB∠ 2AC = 1BC = 2 33CD =
AB = ABC∆
1 , 0,( )
ln 1. 0.
x xf x
x x
+ ≤= + >
( ) ( )f x m m= ∈R a b c
( )a b c< < ( )a b c+高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 4 页共 4 页
20．已知函数 的图象经过点 ，曲线在点 处的切线恰好与直线
垂直.
（1）求实数 ， 的值；
（2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
21．已知函数 ，当 时，函数 有极大值 8.
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点
为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 的方程为 .
（1）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（2）若 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值.
23．已知 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ， 恒成立，求 的取值范围.
万州二中高 2020 级高三第一次月考数学（文科）
参考答案
1．C
【解析】
( ) 3 2f x ax bx= + ( )1,4M M
9 0x y+ =
a b
( )f x [ ], 1m m + m
3( ) 4f x ax bx= + + 2x = − ( )f x
( )f x
( ) 0f x mx+ > [1,3] m
xOy l
24 2
25 2
x t
y t
= −
= +
t O
x C 2 5sinρ θ=
l C
(4, 5)P C l ,A B 1 1
PA PB
+
( ) | 2 | | |f x x x= + +
( ) 4f x x− <
x R∀ ∈ 2( )f x m m− m高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 5 页共 4 页
【分析】
先化简集合 A,B，再求 A∩B 得解.
【详解】
由题得 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查不等式的解法和集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于
基础题.
2．C
【解析】
【分析】
先利用大角对大边得到 ，进而利用正弦定理将边边关系得到 ，即证明了必要
性，再同理得到充分性．
【详解】
在三角形中，若 A＜B，则边 a＜b，由正弦定理 ，得 ．若
，则由正弦定理 ，得 a＜b，根据大边对大角，可知 A＜B，即
是 A＜B 的充要条件．故选 C.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基
础题．解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行 与 的转化.
3．B
【解析】
【分析】
根据 可得正确的选项.
1{x | 2 x 1},B {x | x 0}2A x= − < < = ≥ 高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 6 页共 4 页
【详解】
设 ， ，A，C，D 均是错误的，选 B .
【点睛】
本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数
的图像.
4．D
【解析】
【分析】
把系数 2 提取出来，即 即可得结论．
【详解】
，因此要把 图象向右平移 个单位．
故选 D．
【点睛】
本题考查三角函数的图象平移变换．要注意平移变换是 加减平移单位，即 向右平移
个单位得图象的解析式为 而不是 ．
5．B
【解析】
【分析】
从第 7 行第 4 列开始向右依次读取 3 个数据，重复的去掉后可得.
【详解】
由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第 7 行的第 4 列开始向右读取，依次为
217，157，245，217，206，由于 217 重复，所以第 4 台取暖器的编号为 206．选 B.
【点睛】
本题考查随机数表，属于基础题.
6．C
【解析】
( ) 2 xf x e e= − ( ) 20 1 0f e= − >
sin(2 ) sin[2( )]5 10y x x
π π= − = −
sin(2 ) sin[2( )]5 10y x x
π π= − = − sin 2y x=
10
π
x siny xω=
ϕ sin ( )y xω ϕ= − sin( )y xω ϕ= −高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 7 页共 4 页
【分析】
先利用导数求出曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率，再求切线的倾斜角.
【详解】
因为 f′(x)＝exsinx＋excosx
所以 f′(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为 1.
所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
先利用 得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．
【详解】
因为函数 满足 ，所以 ，即函数 是以 为周期的
周期函数，又函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，
所以 ．故选 D．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本
运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据 判定函数 是以
为周期的周期函数，而不是图象关于直线 对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意
以下结论：若函数 满足 或 ，则函数 的图象关于
π
4
3 3( ) ( )2 2f x f x+ = −
( )f x 3 3( ) ( )2 2f x f x+ = − ( 3) ( )f x f x+ = ( )f x 3
( )f x R 3 ,02x ∈ − 2( ) log ( 3 1)f x x= − +
2(2020) (1) ( 1) log 4 2f f f= = − − = − = −
3 3( ) ( )2 2f x f x+ = − ( )f x 3
3
2x =
( )f x ( ) ( )f a x f a x=− + (2 ) ( )f a x f x− = ( )f x高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 8 页共 4 页
直线 对称；若函数 满足 或 ，则函数 是以
为周期的周期函数.
8．D
【解析】
【分析】
通过常识“花甲”是 60 岁，“三七岁月”是 21 年，“古稀”是 70 岁，“一个春秋”是一年便可以计算出
老人的年龄.
【详解】
“花甲”是 60 岁，“三七岁月”是 21 年，“古稀”是 70 岁，“一个春秋”是一年.这位老人的年龄应是
或 .故选 D.
【点睛】
本题是对古代文化常识的考查.解答本题要先理解对联的意思，并且对表示年龄的词语要知道具体
代表多少岁.
9．C
【解析】
【分析】
设 ，计算出 的三条边长，然后利用余弦定理计算出 。
【详解】
如下图所示，不妨设 ，则 ，过点 作 ，垂足为点 ，
易知四边形 是正方形，则 ， ，
在 中， ，同理可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
故选：C。
x a= ( )f x ( ) ( )f x a f x a+ = − (2 ) ( )f a x f x+ = ( )f x
2a
60 2 21 141× + = 70 2 1 141× + =
1BC CD= = ACD∆ cos DAC∠
1BC CD= = 2AB = D DE AB⊥ D
BCDE 1BE CD= = 1AE AB BE∴ = − =
Rt ADE∆ 2 2 2AD AE DE= + = 2 2 5AC AB BC= + =
ACD∆
2 2 2 25 2 1 3 10cos 2 102 5 2
AC AD CDDAC AC AD
+ − + −∠ = = =⋅ × ×高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 9 页共 4 页
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理
来求角，考查计算能力，属于中等题。
10．C
【解析】
【分析】
由函数 的值域与 的值域相同，代入函数 中，容易求得函数 的值域，得
到结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的值域为 ，
故选 C.
【点睛】
该题考查的是有关函数的值域的求解问题，涉及到的知识点有左右平移不改变函数的值域，不等
式的性质，属于简单题目.
11．B
【解析】
【分析】
依据 的单调性即可得出 的大小关系。
【详解】
( )f x ( 3)f x + ( )F x ( )F x
1 ( ) 3f x≤ ≤ 1 ( 3) 3f x≤ + ≤
3 ( 3) 1f x− ≤ − + ≤ −
2 1 ( 3) 0f x− ≤ − + ≤
( )F x [ 2,0]−
lny x= , ,a b c高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 10 页共 4 页
而 ，所以 最小。
又 ， ，
所以 ，即有 ，因此 ，故选 B。
【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性比较大小。
12．A
【解析】
【分析】
利用 的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问题转
化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题。
【详解】
，可知 ，且单调递增，
可以变为 ，
即 ，∴ ，
可知 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，可知 ，
∴ ，∵ ，∴整数 的最小值为 1.故选 A.
【点睛】
本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综
8ln1 ln 2 ln3 3ln 2 2ln3 ln19ln 2 ln3 03 2 3 6 6 6b
−= − = − = = < =
1 1
30, 0ea e c π= > >= b
1 1 1ln ln 2
ea e e
= = <
1
2 1 1ln ln ln2 2c π π= = >
ln lnc a> c a> c a b> >
( ) 3f x x x= +
( ) 3f x x x= + ( ) ( )f x f x− = −
( ) ( )sin 1 cos 0f x x f x a− + − ≤ ( ) ( )sin 1 cosf x x f x a− − −≤
( ) ( )sin 1 cosf x x f a x− −≤ sin 1 cosx x a x− −≤
1 sin cosa x x x+ +≥ ( ) sin cosh x x x x= + ( ) sin cos sin cosh x x x x x x x′ = + − =
2x
π= ( ) 0h x′ = 0 2x
π
∈
， ( ) ( )0h x h x′ > ，
2x
π π ∈ ， ( ) ( )0h x h x′ < ， ( )max 2 2h hx
π π =
=
1 12 2a a
π π+ −， a Z∈ a高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 11 页共 4 页
合运用所学知识的的能力。
13．
【解析】
【分析】
先求 ，再代入求值得解.
【详解】
由题得
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础
题.
14．0
【解析】
【分析】
根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有 a＋b 一定不等式 0，重新写
出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出 a，b 的值，得到结果.
【详解】
解：∵集合既可以表示成{b， ，0}，又可表示成{a，a＋b，1}
∴a＋b 一定等于 0
在后一种表示的集合中有一个元素是 1
只能是 b.
∴b＝1，a＝－1
∴a2015＋b2015＝0.
3 4
5 5
− i
,| |z z
2 2=3 4 ,| | 3 ( 4) 5,z i z− = + − =
3 4 3 4
5 5 5
z i iz
−= = −
3 4
5 5
− i
b
a高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 12 页共 4 页
【点睛】
本题考查集合的元素的三个特性和集合相等.易错点在于忽略集合中元素的互异性.
15．
【解析】
【分析】
设 ，则 ，由角平分线的性质可得 ，由余弦定理可解得 ，可
得 的值，由余弦定理可求 ，结合范围 ，可求 ， ，利
用三角形的面积公式即可求得 ．
【详解】
由题意，如图，设 ，则 ，
由于 ，
所以，由余弦定理可得： ，
即： ，解得： ，
可得： ， ， ．
由于 ，
又 ，
可得： ， ，
可得： ．
故答案为： ， ．
3 3
2
BD x= 2AD x= ACD BCD∠ = ∠ x
AB 1cos 2C = (0, )C π∈
3C
π= 3sin 2C =
ABCS∆
BD x= 2AD x=
ACD BCD∠ = ∠
2 2 2 2 2 2
2 2
AC CD AD CD BC BD
AC CD CD BC
+ − + −=
2 2 2 22 3 2 34 ( ) 4 ( ) 13 3
2 3 2 32 2 2 13 3
x x+ − + −
=
× × × ×
3
3x =
3
3BD = 2 3
3AD = 3AB AD DB= + =
2 2 2 4 1 3 1cos 2 2 2 1 2
AC BC ABC AC BC
+ − + −= = =× ×
(0, )C π∈
3C
π= 3sin 2C =
1 1 3 3sin 2 12 2 2 2ABCS AC BC C∆ = = × × × =
3 3
2高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 13 页共 4 页
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查
了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．
【解析】
【分析】
通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得 m 的取值范围，于是再解出 c
的取值范围可得最后结果.
【详解】
作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是 ，而 ， ，
解得 ，故 ，所以 的取值范围是 .
22, e
− −
0 1m< ≤ 2a b+ = − 0 ln 1 1c< + ≤
1 1ce
< ≤ 22 2c e
− ≤ − < − ( )a b c+ 22, e
− − 高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 14 页共 4 页
【点睛】
本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，
对学生的数形结合思想要求较高.
17．（I）[2，3)；（II）[4
3， +∞)．
【解析】
分析：（1）将问题转化为当푎 = 1时求不等式组的解集的问题．（2）将¬푝是¬푞的充分不必要条
件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决．
详解：（1）当푎 = 1时，
由푥2 ―2푥 ― 3 < 0得 ―1 < 푥 < 3，
由2 ― 푥
푥 ― 4 ≥ 0得2 ≤ 푥 < 4，
∵푝 ∧ 푞为真命题，
∴命题푝,푞均为真命题，
∴{ ―1 < 푥 < 3,
2 ≤ 푥 < 4, 解得2 ≤ 푥 < 3，
∴实数푥的取值范围是[2,3)．
（2）由条件得不等式푥2 ―2푎푥 ― 3푎2 < 0的解集为( ― 푎,3푎)，
∵¬푝是¬푞的充分不必要条件，
∴푞是푝的充分不必要条件，高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 15 页共 4 页
∴[2,4)( ― 푎,3푎)，
∴{ ―푎 < 2,
3푎 ≥ 4, 解得푎 ≥ 4
3，
∴实数푎的取值范围是[4
3, + ∞)．
点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关
系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的
取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现
象．
18．（Ⅰ）π . （Ⅱ）π
3.
【解析】
分析：（1）将푓(푥)化简整理成푓(푥) = 퐴sin(휔푥 + 휑)的形式，利用公式푇 = 2휋
|휔|可求最小正周期；
（2）根据푥 ∈ [ ― 휋
3,푚]，可求2푥 ― 휋
6的范围，结合函数图像的性质，可得参数푚的取值范围.
详解：
（Ⅰ）푓(푥) = 1 ― cos2푥
2 + 3
2 sin2푥 = 3
2 sin2푥 ― 1
2cos2푥 + 1
2 = sin(2푥 ― π
6) + 1
2，
所以푓(푥)的最小正周期为푇 = 2π
2 = π.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知푓(푥) = sin(2푥 ― π
6) + 1
2.
因为푥 ∈ [ ― π
3,푚]，所以2푥 ― π
6 ∈ [ ― 5π
6 ,2푚 ― π
6].
要使得푓(푥)在[ ― π
3,푚]上的最大值为3
2，即sin(2푥 ― π
6)在[ ― π
3,푚]上的最大值为 1.
所以2푚 ― π
6 ≥ π
2，即푚 ≥ π
3.
所以푚的最小值为π
3.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化
简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
19．（1）푦 = ―8.5푥 + 125.5；（2）49.
【解析】高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 16 页共 4 页
【分析】
（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得푏,푎的值，得到回归直线方程；
（2）令푥 = 9，代入回归直线的方程，即可得到该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
【详解】
（1）由表中数据知，푥 = 3,푦 = 100，
∴푏 =
푛
푖=1
푥푖푦푖 ― 푛푥푦
푛
푖=1
푥푖
2 ― 푛푥2
= 1415 ― 1500
55 ― 45 = ―8.5，푎 = 푦 ― 푏푥 = 125.5，
∴所求回归直线方程为푦 = ―8.5푥 + 125.5.
（2）令푥 = 9，则푦 = ―8.5 × 9 + 125.5 = 49人.
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准
确计算，求得푏,푎的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）M 点坐标代入函数解析式，得到关于 的一个等式；曲线在点 处的切线恰好与直线
垂直可知 ,列出关于 的另一个等式，解方程组，求出 的值.
（2）求出 ，令 ，求出函数的单调递增区间，由题意可知 是其子集，
即可求解.
【详解】
（1） 的图象经过点 ,
①,
因为 ，则 ,
由条件 ，即 ②，
由①②解得 .
1, 3a b= = 0m ≥ 3m ≤ −
,a b M
9 0x y+ = (1) 9f ′ = ,a b ,a b
( )f x′ ( ) 0f x′ ≥ [ ], 1m m +
3 2( )f x ax bx= + ( )1,4M
4a b∴ + =
2( ) 3 2f x ax bx′ = + (1) 3 2f a b′ = +
1(1) 19f ′ ⋅ − = − 3 2 9a b+ =
1, 3a b= =高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 17 页共 4 页
（2） ，
令 得 或 ，
函数 在区间 上单调递增，
,
或 ，
或
【点睛】
本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属
于中档题.
21．（I） （II）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导，当 时，导函数为 0，原函数为 8，联立方程解得
（Ⅱ）参数分离，设 ，求在区间 上的最大值得到答案.
【详解】
（I）
∵当 时，函数 有极大值 8
∴ ，解得
∴所以函数 的解析式为 .
（II）∵不等式 在区间 上恒成立
∴ 在区间 上恒成立
3 2 2( ) 3 ( ) 3 6f x x x f x x x′= + = +，
2( ) 3 6 0f x x x′ = + ≥ 0x ≥ 2x −≤
( )f x [ ], 1m m +
[ ], 1 ( , 2] [0, )m m∴ + ⊆ −∞ − +∞
0m∴ ≥ 1 2m + ≤ −
0m∴ ≥ 3m ≤ −
31( ) 3 44f x x x= − + (0, )+∞
2x = − ,a b
21 4( ) 34g x x x
= − + − [1,3]
2'( ) 3f x ax b= +
2x = − ( )f x
'(2) 12 0
( 2) 8 2 4 8
f a b
f a b
= + =
− = − − + =
1
4
3
a
b
=
= −
( )f x 31( ) 3 44f x x x= − +
31( ) 3 4 04f x mx x x mx+ = − + + > [ ]1,3
21 434m x x
> − + − [ ]1,3高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 18 页共 4 页
令 ，
则由
解 得 ，解 得
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减
所以对 ，都有 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查了极值的性质，参数分离，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.
22．（1）直线 ，圆 （2）
【解析】
【分析】
（1）在直线 的参数方程中消去参数 可得出直线 的普通方程，在圆 的极坐标方程两边同时
乘以 ，由 可得出圆 的直角坐标方程；
（2）设 对应参数分别为 ，将直线 的参数方程与圆 的普通方程联立，列出韦达定理，
由 的几何意义得出 ，代入韦达定理可得出结果.
【详解】
（1）直线 ，圆 ；
（2）设 对应参数分别为 ，将直线 的参数方程
代入圆的方程 ，整理得： ，
21 4( ) 3 , [1,3]4g x x xx
= − + − ∈
3 3
2 2 2
1 4 8 ( 8)'( ) 2 2 3
x xg x x x x x
− + − −= − + = =
'( ) 0g x > 1 2x≤ < )'( 0g x < 2 3x< ≤
1 2x≤ < ( )g x 2 3x< ≤ ( )g x
[1,3]x∀ ∈ ( ) (2) 0g x g≤ =
0m > m (0, )+∞
: 4 5 0l x y+ − − = 2 2: ( 5) 5C x y+ − = 4 2
11
l t l C
ρ
2 2 2
sin
x y
y
ρ
ρ θ
= +
= C
,A B 1 2,t t l C
t 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 t t t t
PA PB t t t t t t
+ ++ = + = =
: 4 5 0l x y+ − − = 2 2: ( 5) 5C x y+ − =
,A B 1 2,t t l
24 2
25 2
x t
y t
= −
= +
2 2: ( 5) 5C x y+ − = 2 4 2 11 0t t− + =高 2020 级高三第一次月考文数试题 第 19 页共 4 页
∴ ， ，
∴ .
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程 的几何意义的应用，
解题时充分利用韦达定理法进行求解，考查计算能力，属于中等题。
23．（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出 ，
，再解不等式 得解.
【详解】
解：（1）不等式 可化为
当 时， ， ，所以无解；
当 时， ，所以 ；
当 时， ， ，所以 .
综上，不等式 的解集是 .
（2） ，
若 ， 恒成立，则 ，
解得： .
【点睛】
本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
1 2 4 2 0t t+ = > 1 2 11 0t t⋅ = >
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 4 2
11
t t t t
PA PB t t t t t t
+ ++ = + = = =
t
( 2,2)− 1 2m− ≤ ≤
( ) | 2 | | | | 2 | 2f x x x x x= + + + − =
2 2m m− ≤
( ) 4f x x− < | 2 | | | 4x x x+ + < +
2x −≤ 2 2 4x x− − < + 2x > −
-2 0x< ≤ 2 4x< + -2 0x< ≤
0x > 2 2 4x x+ < + 2x < 0 2x< <
( ) ( 2) 4f x f x x+ − < + ( 2,2)−
( ) | 2 | | | | 2 | 2f x x x x x= + + + − =
x R∀ ∈ 2( )f x m m−
2 2m m− ≤
1 2m− ≤ ≤
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