四川成都外国语学校2019-2020高二上学期入学考试数学文科（带答案）.docx

高二数学文科入学 1 / 6 成都外国语学校高 2021 届高二入学考试数学文科 一、选择题，共 12 题，每题 5 分共 60 分 1、直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的范围是(　　) A.[0，π) B.[0， π 4 ]∪[3 4π，π) C.[0， π 4 ] D.[0， π 4 ]∪[π 2 ，π) 2、tanα = 3,则sin훼 + 푐표푠훼 푠푖푛훼 ― 푐표푠훼= A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 3、若 sin( π 6 －α)= 1 3，则 cos( 2π 3 ＋2α)= （ ） A． 1 3 B．－ 1 3 C． 7 9 D．- 7 9 4、设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. 若 ∥ ， ⊥ 且 ⊥ ，则 ⊥ B. 若 ⊥ ， ⊥ 且 ⊥ ，则 ⊥ C. 若 ⊥ ， ∥ 且 ⊥ ，则 ∥ D. 若 ， 且 ∥ ，则 ∥ 5、若푎 > 푏 > 0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.푎 + 1 푏 > 푏 + 1 푎 B. 푏 푎 > 푏 + 1 푎 + 1 C. 푎 ― 1 푏 > 푏 ― 1 푎 D. 2푎 + 푏 푎 + 2푏 > 푎 푏 6、若 a∈{－2，0，1， 3 4}，则方程푥2 + y2 +푎푥 + 2푎푦 + 2푎2 +푎 ― 1 = 0表示的圆的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知几何体三视图如右图所示，图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 3，则该几何 体表面积为 （ ） A．6π B．4π C．5π D. 2 2π 8、已知数列{a푛}是公差 d ≠ 0的等差数列，其前 n 项的和是푆푛，若a3，a4，a8成等比数 列，则 A. a1d > 0,푑푆4 > 0 B. a1d < 0,푑푆4 < 0 C. a1d > 0,푑푆4 < 0 D. a1d < 0,푑푆4 > 0 9、已知P,A,B,C是球 O 的球面上四点，PA ⊥ 面 ABC,PA = 2BC = 6,∠BAC = 900，则该球的半径为（ ） A. 3 5 B. 6 5 C. 3 3 D. 3 5 2 m n α β m α n β α β m n m α n β m n α β α β m n n β m α α⊂m β⊂n m n α β高二数学文科入学 2 / 6 10、在△ABC,中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且面积为 S，若 bcosC+ccosB=asinA,S=1 4 (b2 + a2 ― c2),则角 B 等 于（ ） A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 11、已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 ，底面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 （ ） A. π 3 B. π 6 C.π 2 D. π 4 12、正数 满足 ，若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题，每题 5 分，共 20 分 13. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________________ 14、设等差数列{an}，{bn}的 前 n 项和分别是 Sn 和 Tn ，若 푆푛 푇푛 = 푛 + 1 푛 ,则 푎2 푏2 = _________ 15、已知实数x，y满足： - 1 < 푥 + 푦 < 4, 2 < 푥 ― 푦 < 3 ，则3 x + 2y的取值范围是________. 16、已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则푐 b + (2푏 푎 ) 2 的取值范围为 __________． 三、解答题 （17 题 10 分，其余各题 12 分） 17 、 （ 10 分 ） 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 的面积为 ，当 的值最小时，求 的周长． 18、（12 分）.已知f(x) = 2푥2 +푏푥 + 푐，不等式f(x) < 0的解集是(0,5). (1)求f(x)的解析式； (2)若对于任意的x ∈ [－1,1]，不等式f(x) +t ≤ 2恒成立，求 t 的取值范围. 2 3 ,a b 1 9 1a b + = 2 4 18a b x x m+ ≥ − + + − x m [3, )+∞ ( ,3]−∞ ( ,6]−∞ [6, )+∞ ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2A B= ABC△ A B C a b c 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C+ = + B ABC△ 3 3 4 a c+ ABC△高二数学文科入学 3 / 6 19、（12 分）如图，四边形 是直角梯形， ， ， ， ， 又 ， ， ，直线 与直线 所成的角为 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 20、（12 分）过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点. (1)当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程. 21、在 中， ，且 边上的中线长为 ， (1)证明角 B,A,C 成等差数列 (2)求 的面积. 22、（12 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n(n＋1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足푏푛 = 2(3푛 + 1),푛 ∈ 푁∗, 푘푛＝ anbn 4 (n∈N*)，求数列{푘푛}的前 n 项和 Tn. (3) 푐n = 3n + （ - 1）n―1 ∙ 휆 ⋅ 2n, (n 为正整数)，问是否存在非零整数휆，使得对任意正整数 n,都有푐푛+1 > 푐푛?若存在，求휆的值，若不存在，说明理由。 成都外国语学校高 2021 届高二入学考试数学答案 一、选择题 1-5 BADBA 6-10 BCBDC 11-12 AD 二、填空题 13. (x－1)2＋(y－1)2＝214、4 315、.(－3 2，23 2 )16、[3,4) ECBF 90ECB∠ = ° / /EF BC 2EF = 4BC = 2AC = 120ACB∠ = ° AB EC⊥ AF EC 60° EAC ⊥ ABC E FAC− ABC△ sin 6 2 b ca B π + + =   BC 13 2 3AB = ABC△ F E C A B高二数学文科入学 4 / 6 三、解答题 17、（1）B = π 3 (2)a=c，即三角形为等边三角形时 a+c 最小，此时周长为3 3 18、解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式 f(x)0)，因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4 a＋1 b＝1. (1)4 a＋1 b＝1≥2 4 a·1 b＝ 4 ab ，所以 ab≥16，当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立， 所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，此时直线 l 的方程为x 8＋y 2＝1，即 x＋4y－8＝0. (2)因为4 a＋1 b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·(4 a＋1 b )＝5＋a b＋4b a ≥5＋2 a b·4b a ＝9，当且仅当 a＝6，b ＝3 时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线 l 的方程为x 6＋y 3＝1，即 x＋2y－6＝0. 21、(1)由正弦定理边角互换可得 ， 所以 . 因为 所以 ， 即 ， 即 ，整理得 . 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ，所以 . 因为 ，所以 ，即 。 (2)设 的中点为 ，根据向量的平行四边形法则可知 所以（퐴퐵 + 퐴퐶）2 = 4퐴퐷2,即퐴퐵2 + 퐴퐶2 +2|퐴퐵| ∙ |퐴퐶|cosA = 4퐴퐷2 因为 ， ，所以 ，解得 （负值舍去）. 所以 。 NR AC⊥ R AC NR AC FN ⊥  ⊥  ⇒ AC ⊥ FNR ⇒ AC FR⊥ FRN∠ F AC B− − Rt CRN∆ 3RN = Rt FRN∆ 2 2 3tan 33 FRN∠ = = sin sinsin sin 6 2 B CA B π + + =   3 1 sin sinsin sin cos2 2 2 B CA B B   ++ =    ( )sin sin sin cos cos sinC A B A B A B= + = + 3 1 sin sin cos cos sinsin sin cos2 2 2 B A B A BA B B æ ö + +ç ÷+ =ç ÷è ø 3sin sin sin cos sin sin cos cos sinA B A B B A B A B+ = + + 3sin sin sin cos sinA B B A B= + ( )sin 3sin cos 1 0B A A− − = ( )0,B π∈ sin 0B ≠ 3sin cos 1 0A A- - = 3sin cos 2sin 16A A A π − = − =   1sin 6 2A π − =   ( )0,A π∈ 6 6A π π− = 3A π= BC D 2AB AC AD+ =   3AB c= = 3A π= 2 23 3 13b b+ + = 1b = 1 3 3sin2 4ABCS bc A= = 高二数学文科入学 6 / 6 22、【解析】：(1) 当 n＝1 时，a1＝S1＝2； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知 a1＝2 满足该式，∴数列{an}的通项公 式为 an＝2n. k푛 = 푎푛 ∙ 푏푛 4 = 푛 ⋅ (3푛 + 1) = 푛 ⋅ 3푛 + 푛 ∴ 푇푛 = 푘1 + 푘2 + 푘3 + ⋯ + 푘푛 = (1 × 3 + 2 × 32 + 3 × 33 + ⋯ + 푛 × 3푛) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛) 令퐻n = 1 × 3 + 2 × 32 +3 × 33 +⋯ + 푛 × 3푛 则3퐻n = 1 × 32 + 2 × 33 +3 × 34 + ⋯ + 푛 × 3푛+1 ∴ -2퐻n = 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3푛 - 푛 × 3푛+1 = 3(1 ― 3푛) 1 ― 3 ― 푛 × 3푛+1 ∴ 퐻n = (2푛 ― 1) ⋅ 3푛+1 + 3 4 ∴ 푇푛 = (2푛 ― 1) ⋅ 3푛+1 + 3 4 + 푛(푛 + 1) 2 （3）푐푛 = 3n + （ - 1）n―1 ∙ 휆 ⋅ 2n,若存在휆 ≠ 0，满足푐푛+1 > 푐푛恒成立 即3n+1 + （ - 1）n ∙ 휆 ⋅ 2n+1 > 3n + （ - 1）n―1 ∙ 휆 ⋅ 2n,即（3 2） 푛―1 > ( ― 1)푛―1 ⋅ 휆恒成立 当 n 为奇数时（3 2） 푛―1 > 휆⟹휆 < 1 当 n 为偶数时（3 2） 푛―1 > - 휆⟹휆 > ― 3 2 ∴ - 3 2< 휆 < 1,故휆 = - 1