高三数学试卷(文科)
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若集合 ，则
A. B.
C. D.
2.若 ，则
A.－1 B.1 C.－3 D.3
3. 的大小关系为
A. B.
C. D.
4.若曲线 关于点 对称，则
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.如图，AB 是圆 O 的一条直径，C、D 是半圆弧的两个三等分点，则
2{ 0 6}, { 2 0}A x x B x x x= < < = + − > A B =
{ 1 6}x x< < { 2, 0}x x x< − >或
{ 2 6}x x< < { 2, 1}x x x< − >或
2
1
iz i
−= + z z+ =
0.5 0.4
0.50.4 ,0.5 ,log 0.4
0.5 0.4
0.50.4 0.5 log 0.4< < 0.4 0.5
0.50.5 0.4 log 0.4< <
0.5 0.4
0.5log 0.4 0.4 0.5< < 0.4 0.5
0.5log 0.4 0.5 0.4< <
sin(4 )(0 2 )y x ϕ ϕ π= + < < ( ,0)12
π ϕ =
2
3
π 5
3
π
3
π 4
3
π 5
6
π 11
6
π
6
π 7
6
π
AB =A. B. C. D.
6.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄
金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是
一个顶角为 36°的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金
三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中， 。根据这
些信息，可得 sin234°＝
A. B. C. D.
7.A、B、C 三人同时参加一场活动，活动前 A、B、C 三人都把手机存放在了 A 的包里，活动
结束后 B、C 两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，
则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是
A. B. C. D.
8.如图，图 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为 1)，图中直线与圆弧相切
于一个小正方形的顶点，若圆 C 经过点 A (2，15)，则圆 C 的半径为
A. B.8 C. D.10
AC AD− 2 2AC AD− AD AC− 2 2AD AC−
5 1
2
BC
AC
−=
1 2 5
4
− 3 5
8
+= 5 1
4
+− 4 5
8
+−
1
2
1
3
2
3
1
6
7 2 8 29.为了配平化学方程式 ，某人设计了一个如图所示的程序框
图，则输出的 a、b、c、d 满足的一个关系式为
A.a＋b－c－d＝2 B. a＋b－c－d＝3
C. a＋b－c－d＝4 D. a＋b－c－d＝5
10.设 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边。已知 ，c＝2，且 asinA＝2bcosAcosC
＋2ccosAcosB，则 a＝
A.1 B.2 C. D.
11.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G 分别为 AA1、BC、C1D1 的中点，现有下面三个
结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线 A1G 与 C1F 所成角为 60°；③AC∥平面 EFG。其
中所有正确结论的编号是
A.① B.②③ C.①② D.①③
12.已知函数 ，则 的零点个数为
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.若函数 ，则 ▲
2 2 2 3 2aFeS bO cFe O dSO+ +点燃
＝＝
5b =
5
2 5
3( ) 9 , ( ) ( ( ) 10)f x x x g x f f x= − = − ( )g x
2 2, 1( )
2 1, 1
x xf x
x x
+ ≤= − >
( (0))f f =14.假设一个人的日薪按这样的方式增长，第一天发 3 元，第二天发 6 元，第三天发 12 元……
从第二天起每天发的工资是前一天的 2 倍，则连续十四天后此人日薪总和 ▲ (填“大
于”“等于”或“小于”)4.8 万元。
15.在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥AC，AB⊥平面 PAD，底面 ABCD 为正方形，且 CD＋PD＝
3，若四棱锥 P－ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的最小值为 ▲
16.已知 P 是离心率为 2 的双曲线 右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为
▲ ，P 到直线 y＝(m－1)x 的距离与 P 到点 F(－2，0)的距离之和的最小值为 ▲ (本
题第一空 2 分，第二空 3 分)
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
在公差为 d 的等差数列{an}中，a1d＝6，a N，d N，且 a1>d。
(1)求{an}的通项公式；
(2)若 a1、a4、a13 成等比数列，求数列 的前 n 项和 Sn。
18.(12 分)
在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病。某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，
调查了 50 位中老年人每周运动的总时长(单位：小时)，将教据分成[0，4)，[4，8)，[8，14)，
[14，16)，[16，20)，[20，24]6 组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图。
2
2 1( 0)yx mm
− = >
∈ ∈
1
1
n na a +
图中纵轴的数字表示对应区间的人数，现规定：每周运动的总时长少于 14 小时为运动较少，
每周运动的总时长不少于 14 小时为运动较多。
(1)根据题意，完成下面的 2×2 列联表。
(2)能否有 99.9％的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？
附： (n＝a＋b＋c＋d)
P(K2 k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
l9.(12 分)
如图，在五面体 ABCDFE 中，侧面 ABCD 是正方形，△ABE 是等腰直角三角形，点 O 是正
方形 ABCD 对角线的交点，EA＝EB，AD＝2EF＝6 且 EF∥AD。
(1)证明：OF//平面 ABE；
(2)若侧面 ABCD 与底面 ABE 垂直，求五面体 ABCDFE 的体积。
20.(12 分)
已知函数 。
(1)求 的单调区间；
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
≥
2( ) ( 0)x xf x e e ax a−= + + >
( )f x(2)若 对 恒成立，求 a 的取值范围。
21.(12 分)
已知椭圆 C： (a>b>0)的长轴长为 ，焦距为 2，抛物线 M：y2＝2px(p>0)的准
线经过 C 的左焦点 F。
(1)求 C 与 M 的方程；
(2)直线 l 经过 C 的上顶点且 l 与 M 交于 P、Q 两点，直线 FP、PQ 与 M 分别交于点 D(异于点
P)，E(异于点 Q)，证明：直线 DE 的斜率为定值。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 M 的 极 坐 标 方 程 为 ，
。
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)已知 β 为锐角，直线 l：θ＝β 与曲线 C 的交点为 A(异于极点)，l 与曲线 M 的交点
为 B，若 ，求 l 的直角坐标方程。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知 a、b、c 为正数，且满足 a＋b＋c＝3。
(1)证明： ；
(2)证明： 。
3 654 ( ) 8a f x a− < < + [ , ]x a a∈ −
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 2
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
2 sin 2 32ρ θ =
(0 )2
πθ< <
( )Rρ ∈
16 2OA OB⋅ =
3ab bc ac+ + ≤
9 4 12ab bc ac abc+ + ≥
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