2019～2020 年度河南省高三入学摸底考试
数学(理科)
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 A∩B＝
A.( ，1] B.[－2，－ ) C.[－2， ) D.[－2， ]
2.设复数 z1 在复平面内对应的点为(x，y)，z＝(1＋2i)z1，若复数 z 的实部为 1，则
A.x＋2y＝1 B.2x－y＝1 C.2x＋y＝1 D.x－2y＝1
3.已知 ，则 a、b、c 的大小关系为
A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b
4.函数 的部分图象大致为
5.如图，四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段 AE 的中点，设向量
＝a， ＝b，则 ＝
A. B. C. D.
)}21ln({},02{ 2 xyxBxxxA −==≤−+=
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2 4
2log , log , 0.63a b cπ －＝ ＝ ＝
( ) 1x xf x e e x
－＝ － －
BC
BA CF
1 3
4 2a b－ ＋ 3 3
4 2a b＋ 3 5
4 4a b－ ＋ 1 5
4 4a b＋6.执行右边的程序框图，如果输入的 n＝6，那么输出的 S＝
A.167 B.168 C.104 D.105
7.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝1，AA1＝ ，点 O 为长方形 ABCD 对角线
的交点，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AD1 与 OE 所成的角为
A.30° B.45° C.60° D.90°
8.十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、
卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物
各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢
马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率
是
A. B. C. D.
9.若函数 的图象上存在与直线 x＋3y－4＝0 垂直的切线，则实数 a 的取值范
围是
A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.[ ，＋∞) D.( ，＋∞)
10.从 A 地到 B 地有三条路线：1 号路线，2 号路线，3 号路线。小王想自驾从 A 地到 B 地，
因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说：“2 号路线不堵车，3 号路线不堵车，”司机乙
说：“1 号路线不堵车，2 号路线不堵车，”司机丙说：“1 号路线堵车，2 号路线不堵车。”如果
2
3
88
3
44
1
20
9
44
( ) lnf x ax x= −
10
3
10
3三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是
A.1 号路线 B.2 号路线 C.3 号路线 D.2 号路线或 3 号路线
11.已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 作直线 l 交抛物线于 M、N 两点，则
的最小值为
A.2 B.1 C.5 D.
12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 ， ，用[x]表示不超过 x 的最
大整数，设 ＝[an]，数列{bn}的前 2n 项和为 T2n，则使 T2n>2000 成立的最小正整数 n 是
A.5 B.6 C.7 D.8
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡中的横线上。
13.已知函数 ，将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到 的
图象，则函数 y＝f(x)＋g(x)的最小正周期是 ▲ ，最大值是 ▲ 。(本题第一空 2 分，
第二空 3 分)
14.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和，且 ，则 ▲ 。
15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大。假设李
某智商较高，他独自一人解决项目 M 的概率为 P1＝0.9；同时，有 n 个水平相同的人也在研究
项目 M，他们各自独立地解决项目 M 的概率都是 0.5。现在李某单独研究项目 M，且这 n 个
人组成的团队也同时研究项目 M，且这 n 个人研究项目 M 的结果相互独立。设这个 n 人团队
解决项目 M 的概率为 P2，若 P2 P1，则 n 的最小值是 ▲ 。
16.已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 是双曲线右支上的一
点，若直线 AF2 与直线 平行且△AF1F2 的周长为 9a，则双曲线的离心率为 ▲ 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
2 16y x=
2 50
5
NF
MF
−
5
2
1 2 2a a+ ＝ 1
2
3n na S= +＋
nb
2( ) 2cosf x x= ( )f x 4
π
( )g x
7 12a a= − 9
5 4
S
S a
＝＋
≥
2 2
2 2 1x y
a b
－ ＝
by xa
＝－已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(a＋b)2＝c2＋ab。
(1)求角 C；
(2)若 c＝4，求当△ABC 的面积最大时 a，b 的长，并求出最大面积。
18.(12 分)
如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，且 AD＝CD＝2AB＝4，PA
＝PD＝PC＝3。
(1)若 O 为 AC 的中点，证明：PO⊥平面 ABCD；
(2)求二面角 D－BC－P 的余弦值。
19.(12 分)
设椭圆 C： (a>b>0)的左、右顶点分别为 A1、A2，上顶点为 B，右焦点为 F，已知
直线 BF 的倾斜角为 120°， 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 P 为椭圆 C 上不同于 A1，A2 的一点，O 为坐标原点，线段 OA2 的垂直平分线交 A2P 于 M
点，过 M 且垂直于 A2M 的直线交 y 轴于 Q 点，若 FP⊥FQ，求直线 A2P 的方程.
20.(12 分)
2019 超长“三伏”来袭，虽然大部分人都了解“伏天”不宜吃生冷食物，但随着气温的不断攀升，
仍然无法阻挡冷饮品销量的暴增。现在，某知名冷饮品销售公司通过随机抽样的方式，得到
其 100 家加盟超市 3 天内进货总价的统计结果如下表所示：
2 2
2 2 1x y
a b
＋ ＝
2A F 1=(1)由频数分布表大致可以认为，被抽查超市 3 天内进货总价 W～N(μ，202)，μ 近似为这 100
家超市 3 天内进货总价的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用正态分布，
求 P(76 − −
微信/支付宝扫码支付