宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年秋 9 月联考
高三（文科）数学
(全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集 ，则集合 的真子集共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2. 复数 2i
1＋i＝( )
A．1－i B．－1－I C．1＋i D．－1＋i
3. 设 θ∈R，则“|θ－π
12| 0 ϕ π< <
( )12f
π =16.过点 A(6,1)作直线与双曲线 x2-4y2=16 相交于两点 B,C,且 A 为线段 BC 的中点,
则直线的方程（表示为一般式）为 .
三、解答题
17.设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, 是奇函数,且
,求
（1） 和 的解析式.
（2） 的值
18.已知函数 f(x)＝4tanx sin(π
2 －x)cos(x－π
3 )－ 3.
（1）求 f(x)的定义域与最小正周期；
（2）讨论 f(x)在区间[－π
4 ，π
4 ]上的单调性．
19.海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区
( )f x ( )g x x R∈ 1x ≠ ± ( )f x ( )g x
1( ) ( ) 1f x g x x
+ = −
( )f x ( )g x进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商
品中共抽取 6 件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
（1）求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；
（2）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品
来自相同地区的概率．
20.已知动点 M 到定点 F1(－2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 2.
（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）设 N(0,2)，过点 P(－1，－2)作直线 l，交曲线 C 于不同于 N 的两点 A，B，
直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2，求 k1＋k2 的值．21．已知函数 f(x)＝a
x＋bln x，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝
x.
（1）求函数f(x)的单调区间及极值；
（2）若∀x≥1，f(x)≤kx 恒成立，求 k 的取值范围．
选考题（考生从 22、23 题任选一题作答，若多答，则只按第 1 题得分）
22. 已知直线 l 的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点,
极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程是 ,
（ 为参数）.
（1）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长;
（2）从极点作曲线 C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.
23、已知 .若函数 的最小值为 2.
（1）求 的值;
（2）证明:
宜昌市部分示范高中教学协作体 2019 年秋 9 月联考
πsin( ) 03
ρ θ − =
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α
0, 0, 0a b c> > > ( )f x x a x b c= + + − +
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +高三（文科）数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 2.C 3. A 4. B 5．D 6.D 7.C 8. B 9. C 10.C
11. D 12．A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
分。
13. 3 或 5
14.
15.7.3
16.3x-2y-16=0
三、解答题
17.解析：(1)∵ 是偶函数, 是奇函数，∴ ，且
而 ,得 ,
即 ，
∴ ， 。
(2) ∵ ∴原式=0
18.解析：(1)f(x)＝4tan xsin(π
2－x)cos(x－π
3)－ 3
＝4sin x(1
2cos x＋ 3
2 sin x)－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
2
2
( )f x ( )g x ( ) ( )f x f x− = ( ) ( )g x g x− = −
1( ) ( ) 1f x g x x
+ = −
1( ) ( ) 1f x g x x
− + − = − −
1 1( ) ( ) 1 1f x g x x x
− = = −− − +
2
1( ) 1f x x
= − 2( ) 1
xg x x
= −＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin(2x－π
3).
∴定义域Error!，最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2)－π
4
≤x≤π
4
，－5π
6
≤2x－π
3
≤π
6
，设 t＝2x－π
3
，
因为 y＝sin t 在 t∈[－5π
6 ，－π
2]时单调递减，在 t∈[－π
2，π
6]时单调递增．
由－5π
6
≤2x－π
3
≤－π
2
，解得－π
4
≤x≤－ π
12
，由－π
2
≤2x－π
3
≤π
6
，解得－ π
12
≤x≤π
4
，
所以函数 f(x)在[－ π
12，π
4]上单调递增，在[－π
4，－ π
12)上单调递减．
19.解析：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
6
50＋150＋100
＝ 1
50
，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×1
50
＝
1，150× 1
50
＝3，100× 1
50
＝2.
所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1，3，2.
(2)设 6 件来自 A，B，C 三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，
C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共
15 个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”，
则事件 D 包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共 4
个．
所以 P(D)＝ 4
15
，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4
15
.
20.解析：(1)由椭圆的定义，可知点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点，4 2为长轴长的椭圆．
由 c＝2，a＝2 2，得 b＝2.
故动点 M 的轨迹 C 的方程为x2
8
＋y2
4
＝1.
(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋2＝k(x＋1)，
由Error!得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则 k>0 或 k > ( )f x x a x b c= + + − +
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
( )f x x a x b c= + + − +
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