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蚌埠市 ２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试
数 学（理工类）
（试卷分值：１５０分 考试时间：１２０分钟）
注意事项：
１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
１已知 ｉ为虚数单位，复数 ｚ满足（１＋２ｉ）ｚ＝－２＋ｉ，则｜ｚ｜＝
Ａ槡５
５ 槡Ｂ１ Ｃ ５ Ｄ５
２已知集合 Ａ＝ ｘ｜ｙ＝ｌｏｇ２（ｘ－１{ }），Ｂ＝ ｘ｜（ｘ＋１）（ｘ－２）≤{ }０，则 Ａ∩Ｂ＝
Ａ（０，２］ Ｂ（０，１） Ｃ（１，２］ Ｄ［２，＋∞）
３已知 ０＜ａ＜ｂ＜１，则在 ａａ，ａｂ，ｂａ，ｂｂ中，最大的是
Ａａａ Ｂａｂ Ｃｂａ Ｄｂｂ
４用模型 ｙ＝ｃｅｋｘ拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ｚ＝ｌｎｙ，其变换后得到线性回归方程
ｚ＝０３ｘ＋２，则 ｃ＝
Ａｅ２ Ｂｅ４ Ｃ２ Ｄ４
５已知 ｍ，ｎ∈Ｒ，则“ｍ
ｎ－１＞０”是“ｍ－ｎ＞０”的
Ａ既不充分也不必要条件
Ｂ充分不必要条件
Ｃ必要不充分条件
Ｄ充要条件
６执行如程序框图所示的程序，若输入的 ｘ的值
为 ２，则输出的 ｘ的值为
Ａ３ Ｂ５
Ｃ７ Ｄ９
７若 直 线 ｌ∶ ｙ＝ｋｘ－２ｋ＋１将 不 等 式 组
ｘ－２≤０
ｙ－１≤０
ｘ＋２ｙ－２≥{ ０
表示平面区域的面积分为 １：２
两部分，则实数 ｋ的值为
Ａ１或 １
４ Ｂ１
４或 ３
４
Ｃ１
３或 ２
３ Ｄ１
４或 １
３
）页４共（页１第卷试）理（学数级年三高市埠蚌８定积分２
－２
（ ４－ｘ槡 ２ －ｓｉｎｘ＋ｘ３）ｄｘ的值是
Ａπ Ｂ２π Ｃ２π＋２ｃｏｓ２ Ｄπ＋２ｃｏｓ２
９已知三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ的所有顶点都在球 Ｏ的球面上，ＰＡ⊥平面 ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝２，∠ＢＡＣ＝
１２０°，若三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ的体积为 槡２３
３ ，则球 Ｏ的表面积为
Ａ１６π Ｂ２０π Ｃ２８π Ｄ３２π
１０已知椭圆 Ｃ∶ｘ２
ａ２ ＋ｙ２
ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的焦距为 槡２３，椭圆 Ｃ与圆（ｘ 槡＋ ３）２＋ｙ２＝１６交于 Ｍ，
Ｎ两点，且｜ＭＮ｜＝４，则椭圆 Ｃ的方程为
Ａｘ２
１５＋ｙ２
１２＝１ Ｂｘ２
１２＋ｙ２
９＝１ Ｃｘ２
６＋ｙ２
３＝１ Ｄｘ２
９＋ｙ２
６＝１
１１已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，ｘ∈ ０，π( )６ ，若ｘ１≠ｘ２，使得 ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２），则实数 ａ的取值
范围是
Ａ０，槡３( )２ Ｂ（０，槡３） Ｃ槡３
３，槡( )３ Ｄ０，槡３( )３
１２已知棱长为 １的正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，点 Ｐ是四边形 ＢＢ１Ｄ１Ｄ内（含边界）任意一点，
Ｑ是 Ｂ１Ｃ１中点，有下列四个结论：
①ＡＣ⊥ＢＰ ＝０；②当 Ｐ点为 Ｂ１Ｄ１中点时，二面角 Ｐ－ＡＤ－Ｃ的余弦值 １
２；③ＡＱ与 ＢＣ所成
角的正切值为 槡２２；④当 ＣＱ⊥ＡＰ时，点 Ｐ的轨迹长为 ３
２
其中所有正确的结论序号是
Ａ①②③ Ｂ①③④ Ｃ②③④ Ｄ①②④
二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分。
１３已知平面向量ａ＝（－３，４）与 Ａ（１，ｍ），Ｂ（２，１），且ａ∥ＡＢ，则实数 ｍ的值为
１４已知定义在Ｒ上的奇函数 ｆ（ｘ），对任意 ｘ都满足 ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（４－ｘ），且当 ｘ∈［０，３］，
ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋１），则 ｆ（２０１９）＝
１５蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉
农庄、淮河闸水利风景区都是 ４Ａ风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园
等也都是不错的景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上 ９个景点中选择 ６个景点游
玩，每个景点用半天（上午、下午各游玩一个景点），且至少选择 ４个 ４Ａ风景区，则小明这
三天的游玩有 种不同的安排方式 （用数字表示）
１６已知 ｆ（ｘ）＝
ｘ２ ｘ≤０
ｅｘ－２ ｘ{ ＞０
，若方程 ｆ（ｘ）＝ｍ（ｍ∈Ｒ）恰有两个实根 ｘ１，ｘ２，则 ｘ１ ＋ｘ２ 的最
大值是
）页４共（页２第卷试）理（学数级年三高市埠蚌三、解答题：共 ７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１７（１０分）
在△ＡＢＣ中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝４
５，且 Ａ＜Ｂ，ｔａｎＢ＝４
３．
（１）求 ｔａｎＡ；
（２）若 ｂ＝２，求△ＡＢＣ的周长
１８（１２分）
设数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ，满足 Ｓｎ－２Ｓｎ－１＝ｎ （ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ），且 ａ１＝１
（１）求证：数列｛ａｎ＋１｝是等比数列；
（２）若 ｂｎ＝ｌｏｇ２（ａｎ＋１）ａｎ＋１，求数列｛ｂｎ｝的前 ｎ项和 Ｔｎ
１９（１２分）
如图所示，在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ，ＰＢ＝ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝２ＡＤ＝２，Ｅ
为线段 ＰＢ的中点
第 １９题图
（１）证明：ＡＥ∥平面 ＰＤＣ；
（２）求直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角的正弦值
）页４共（页３第卷试）理（学数级年三高市埠蚌２０（１２分）
某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：２小时内（含 ２小时），每辆每次收费 ５
元；超过 ２小时不超过 ５小时，每增加一小时收费增加 ３元，不足一小时的按一小时计费；
超过 ５小时至 ２４小时内（含 ２４小时）收费 １５元封顶。超过 ２４小时，按前述标准重新计
费 为了调查该停车场一天的收费情况，现统计 １０００辆车的停留时间（假设每辆车一天
内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：
Ｔ（小时） （０，２］ （２，３］ （３，４］ （４，５］ （５，２４］
频数（车次） ６００ １２０ ８０ １００ １００
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概
率。
（１）Ｘ表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求 Ｘ的概率分布列及期望 Ｅ（Ｘ）；
（２）现随机抽取该停车场内停放的 ３辆车，ξ表示 ３辆车中停车费用少于 Ｅ（Ｘ）的车辆数，
求 Ｐ（ξ≥２）的概率
２１（１２分）
已知点 Ａ，Ｂ是抛物线 Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上关于 ｘ轴对称的两点，点 Ｅ是抛物线 Ｃ的准线
与 ｘ轴的交点
（１）若△ＥＡＢ是面积为 ４的直角三角形，求抛物线 Ｃ的方程；
（２）若直线 ＢＥ与抛物线 Ｃ交于另一点 Ｄ，证明：直线 ＡＤ过定点
２２（１２分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ
ｘ ，ｇ（ｘ）＝ａｅｘ－ａ－１，且 ｙ＝ｘ－１是曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）的切线
（１）求实数 ａ的值以及切点坐标；
（２）求证：ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ）
）页４共（页４第卷试）理（学数级年三高市埠蚌蚌埠市 ２０２０届高三年级第一次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答 案 Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ
二、填空题：
１３７
３ １４２ １５４６０８０ １６２ｌｎ２
三、解答题：
１７（１０分）
解：（１）∵ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝４
５，０＜Ａ＜Ｂ＜π，所以 －π＜Ａ－Ｂ＜０，
∴ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝－３
５，ｔａｎ（Ａ－Ｂ）＝－３
４ ２分………………………………………………
∴ｔａｎＡ＝ｔａｎ［（Ａ－Ｂ）＋Ｂ］＝ｔａｎ（Ａ－Ｂ）＋ｔａｎＢ
１－ｔａｎ（Ａ－Ｂ）ｔａｎＢ＝
－３
４＋４
３
１－（－３
４）· ４
３
＝７
２４ ５分……………
（２）由（１）得 ｓｉｎＡ＝７
２５，ｓｉｎＢ＝４
５，且 ０＜Ａ＜Ｂ＜π
２，
∴ｃｏｓＡ＝２４
２５，ｃｏｓＢ＝３
５ ７分…………………………………………………………………
ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ＝７
２５· ３
５＋２４
２５· ４
５＝１１７
１２５ ８分…………………
∵ｂ＝２
ａ
ｓｉｎＡ＝ ｂ
ｓｉｎＢ＝ ｃ
ｓｉｎＣ＝２
４
５
＝５
２，
∴ａ＋ｂ＋ｃ＝５
２（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ）＋２＝５
２（７
２５＋１１７
１２５）＋２＝７６
２５＋２＝１２６
２５
即△ＡＢＣ的周长为１２６
２５ １０分………………………………………………………………
１８（１２分）
解：（１）∵Ｓｎ－２Ｓｎ－１ ＝ｎ（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ）， ∴Ｓｎ＋１ －２Ｓｎ＝ｎ＋１，
两式相减得 ａｎ＋１ －２ａｎ＝１（ｎ≥２）， ２分……………………………………………………
又（ａ１ ＋ａ２）－２ａ１ ＝２且 ａ１ ＝１，解得 ａ２ ＝３，所以 ａ２ －２ａ１ ＝１．
∴ａｎ＋１ －２ａｎ＝１（ｎ∈Ｎ ），
∴ａｎ＋１ ＋１＝２（ａｎ＋１）， ４分…………………………………………………………………
又 ａ１ ＋１＝２≠０，
所以数列｛ａｎ＋１｝是首项为 ２，公比为 ２的等比数列 ６分………………………………
（２）由（１）知 ａｎ＋１＝２ｎ∴ａｎ＝２ｎ－１，
则 ｂｎ＝ｌｏｇ２（ａｎ＋１）ａｎ＋１ ＝ｎ·２ｎ， ８分………………………………………………………
Ｔｎ＝２＋２·２２ ＋３·２３ ＋… ＋ｎ·２ｎ， ①
２Ｔｎ＝２２ ＋２·２３ ＋３·２４ ＋… ＋ｎ·２ｎ＋１， ②
① －②得：－Ｔｎ＝２＋２２ ＋２３ ＋… ＋２ｎ－ｎ·２ｎ＋１，
故 Ｔｎ＝（ｎ－１）·２ｎ＋１ ＋２． １２分……………………………………………………………
１９（１２分）
证明：（１）取 ＰＣ的中点 Ｆ，连接 ＤＦ，ＥＦ，因为 Ｅ为线段 ＰＢ的中点，
∴ＥＦ∥ＢＣ，且 ＥＦ＝１
２ＢＣ＝ＡＤ，
∵ＡＤ∥ＢＣ ∴ＥＦ瓛ＡＤ， ２分…………………………………………………………
∴四边形 ＥＦＤＡ为平行四边形
）页４共（页１第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌∴ＡＥ∥ＤＦ，又 ＡＥ平面 ＰＤＣ，ＤＦ平面 ＰＤＣ，
∴ＡＥ∥平面 ＰＤＣ ５分……………………………………………………………………
（２）（方法一）∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ，ＡＤ⊥平面 ＰＡＢ，
由题意知 ΔＰＡＢ为等边三角形，
以 Ａ为坐标原点，如图建系，
Ａ（０，０，０），Ｄ（０，０，１），Ｂ（０，２，０），
Ｐ（槡３，１，０），Ｃ（０，２，２），Ｅ 槡３
２，３
２，( )０
ＤＣ ＝（０，２，１），ＰＤ ＝（ 槡－ ３，－１，１），
ＤＥ ＝ 槡３
２，３
２，( )－１， ８分……………………
设平面 ＰＤＣ的 法向量 为 ｍ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则
ＤＣ·ｍ ＝２ｙ＋ｚ＝０，
ＰＤ·ｍ 槡＝－ ３ｘ－ｙ＋ｚ＝０{ ．
令 ｙ＝１，则ｍ ＝（ 槡－ ３，１，－２）， １０分……………………………………………………
设直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角为 θ，
ｓｉｎθ＝ ＤＥ·ｍ
ＤＥ · ｍ
＝
－３
２＋３
２＋２
槡８·槡４
＝槡２
４，
即直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角的正弦值为槡２
４ １２分…………………………………
（方法二）∵ΔＰＡＢ为等边三角形，Ｅ为线段 ＰＢ的中点，∴ＡＥ⊥ＰＢ
∵ＢＣ⊥平面 ＰＡＢ，∴ＢＣ⊥ＡＥ，ＢＣ∩ＰＢ＝Ｂ∴ＡＥ⊥平面 ＰＢＣ，
∵ＤＦ∥ＡＥ，ＤＦ⊥平面 ＰＢＣ，
ＤＦ平面 ＰＤＣ，∴平面 ＰＤＣ⊥平面 ＰＢＣ， ９分…………………………………………
过 Ｅ点作 ＥＨ⊥ＰＣ于 Ｈ，连接 ＤＨ，则 ＥＨ⊥平面 ＰＤＣ，
∴∠ＥＤＨ即为直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角，易得 ＥＨ＝槡２
２，ＤＥ＝２，
在 ＲｔΔＥＨＤ中，ｓｉｎ∠ＥＤＨ＝ＥＨ
ＤＥ＝槡２
４
∴直线 ＤＥ与平面 ＰＤＣ所成角的正弦值为槡２
４ １２分…………………………………
２０（１２分）
解：（１）由题意知，Ｘ的可取值为 ５，８，１１，１４，１５，因此，
Ｐ（Ｘ＝５）＝６００
１０００＝３
５，Ｐ（Ｘ＝８）＝１２０
１０００＝３
２５，Ｐ（Ｘ＝１１）＝ ８０
１０００＝２
２５，Ｐ（Ｘ＝１４）＝１００
１０００＝
１
１０，Ｐ（Ｘ＝１５）＝１００
１０００＝１
１０ ５分……………………………………………………………
所以 Ｘ的分布列为：
Ｘ ５ ８ １１ １４ １５
Ｐ（Ｘ） ３
５
３
２５
２
２５
１
１０
１
１０
Ｅ（Ｘ）＝５×３
５＋８×３
２５＋１１×２
２５＋１４×１
１０＋１５×１
１０＝３８７
５０＝７７４ ７分…………………
（２）依题意得 ξ～Ｂ ３，( )３
５ ， ９分…………………………………………………………………
所以 Ｐ（ξ２）＝Ｐ（ξ＝２）＋Ｐ（ξ＝３）
＝Ｃ２
３( )３
５
２
( )２
５ ＋( )３
５
３
＝３×９
２５×２
５＋２７
１２５＝８１
１２５ １２分…………………………………
２１（１２分）
解：（１）由题意，△ＥＡＢ是等腰直角三角形，且 ＥＡ⊥ＥＢ
）页４共（页２第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌不妨设点 Ａ位于第一象限，则直线 ＥＡ的方程为 ｙ＝ｘ＋ｐ
２，
联立方程，
ｙ２ ＝２ｐｘ
ｙ＝ｘ＋ｐ{ ２
，解得 ｘ＝ｐ
２
ｙ＝{ ｐ
，
所以点 Ａ（ｐ
２，ｐ），Ｂ（ｐ
２，－ｐ），Ｅ（－ｐ
２，０） ３分…………………………………………
Ｓ△ＥＡＢ ＝１
２×ｐ×２ｐ＝ｐ２ ＝４，解得 ｐ＝２，
故抛物线 Ｃ的方程为 ｙ２ ＝４ｘ ６分…………………………………………………………
（２）（方法一）设 Ａ（ｘ０，ｙ０），Ｂ（ｘ０，－ｙ０），则直线 ＥＢ的方程为 ｙ＝－ ｙ０
ｘ０ ＋ｐ
２
（ｘ＋ｐ
２），
联立方程，
ｙ２ ＝２ｐｘ
ｙ＝－ ｙ０
ｘ０ ＋ｐ
２
（ｘ＋ｐ
２{ ），消去 ｘ，
得关于 ｙ的方程
ｙ０
２ｐｙ２ ＋（ｘ０ ＋ｐ
２）ｙ＋ｐｙ０
２ ＝０， ８分…………………………………………
该方程有一个根 －ｙ０，两根之积为 ｐ２，
则另一个根为 －ｐ２
ｙ０
，所以点 Ｄ的坐标为 ｐ３
２ｙ２
０
，－ｐ２
ｙ( )０
直线 ＡＤ的斜率为
ｙ０ ＋ｐ２
ｙ０
ｘ０ －ｐ３
２ｙ２
０
＝
ｙ０ ＋ｐ２
ｙ０
ｙ２
０
２ｐ－ｐ３
２ｙ２
０
＝ ２ｐｙ０
ｙ２
０ －ｐ２， １０分………………………………………
所以 ＡＤ的方程为 ｙ－ｙ０ ＝ ２ｐｙ０
ｙ２
０ －ｐ２ ｘ－ｙ２
０
２( )ｐ，
化简得 ｙ＝ ２ｐｙ０
ｙ２
０ －ｐ２ ｘ－ｐ( )２ ，
所以直线 ＡＤ过定点 ｐ
２，( )０ １２分………………………………………………………
（方法二）设 Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２），Ａ（ｘ１ －ｙ１），直线 ＢＥ的方程为 ｘ＝ｎｙ－ｐ
２，
联立方程，
ｙ２ ＝２ｐｘ
ｘ＝ｎｙ－ｐ{ ２
，消去 ｘ，
得关于 ｘ的方程 ｙ２ －２ｎｐｙ＋ｐ２ ＝０，所以 ｙ１ ＋ｙ２ ＝２ｎｐ，ｙ１ｙ２ ＝ｐ２， ８分……………………
则 ｋＡＤ ＝ｙ２ ＋ｙ１
ｘ２ －ｘ１
＝ ２ｎｐ
ｎｙ２ －ｐ( )２ － ｎｙ１ －ｐ( )２
＝ ２ｐ
ｙ２ －ｙ１
，
直线 ＡＤ的方程为 ｙ＝ ２ｐ
ｙ２ －ｙ１
（ｘ－ｘ２）＋ｙ２， １０分…………………………………………
化简得 ｙ＝ ２ｐ
ｙ２ －ｙ１
ｘ－ ２ｐｘ２
ｙ２ －ｙ１
＋ｙ２
２ －ｙ１ｙ２
ｙ２ －ｙ１
＝ ２ｐ
ｙ２ －ｙ１
ｘ－ｐ( )２ ，
所以直线 ＡＤ过定点 ｐ
２，( )０ １２分………………………………………………………
２２（１２分）
解：（１）设切点为 ｘ０，ａｌｎｘ０
ｘ( )０
，则切线为
ｙ－ａｌｎｘ０
ｘ０
＝ａ（１－ｌｎｘ０）
ｘ０
２ （ｘ－ｘ０），即 ｙ＝ａ（１－ｌｎｘ０）
ｘ０
２ ｘ＋２ａｌｎｘ０ －ａ
ｘ０
２分……………………
）页４共（页３第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌从而
ａ（１－ｌｎｘ０）
ｘ２
０
＝１
２ａｌｎｘ０ －ａ
ｘ０
{ ＝－１
，
消去 ａ得：ｘ０ －１＋ｌｎｘ０ －２ｘ０ｌｎｘ０ ＝０， ３分…………………………………………………
记 ｍ（ｔ）＝ｔ－１＋ｌｎｔ－２ｔｌｎｔ（ｔ＞０）
则 ｍ′（ｔ）＝１
ｔ－２ｌｎｔ－１，显然 ｍ′（ｔ）单调递减且 ｍ′（１）＝０，
所以 ｔ∈（０，１）时，ｍ′（ｔ）＞０，ｍ（ｔ）单增，ｔ∈（１，＋∞）时，ｍ′（ｔ）＜０，ｍ（ｔ）单减，
故 ｍ（ｔ）当且仅当 ｔ＝１时取到最大值，而 ｍ（１）＝０，
因而方程 ｘ０ －１＋ｌｎｘ０ －２ｘ０ｌｎｘ０ ＝０有唯一解 ｘ０ ＝１，此时 ａ＝１，
所以 ａ＝１，切点为（１，０） ６分………………………………………………………………
（２）（方法一）记 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１ －ｘ， （ｘ＞０），则 Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１ －１
当 ｘ∈（１，＋∞）时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增；
当 ｘ∈（０，１）时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减，
∴Ｆ（ｘ）≥Ｆ（１）＝１－１＝０，∴ｅｘ－１≥ｘ，即 ｇ（ｘ）≥ｘ－１① ９分……………………………
记 Ｇ（ｘ）＝ｘ２ －ｘ－ｌｎｘ（ｘ＞０），
则 Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－１－１
ｘ＝２ｘ２ －ｘ－１
ｘ ＝（ｘ－１）（２ｘ＋１）
ｘ
∴ｘ∈（０，１）时，Ｇ′（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）单调递减；
ｘ∈（１，＋∞）时，Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）单调递增
∴Ｇ（ｘ）≥Ｇ（１）＝０，即 ｘ２ －ｘ≥ｌｎｘ，∴ｘ－１≥ｌｎｘ
ｘ即 ｘ－１≥ｆ（ｘ） ②
由①②得 ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ） １２分………………………………………………………………
（方法二）令 ｈ（ｘ）＝ｘｅｘ
ｅ －ｘ－ｌｎｘ，ｘ＞０，
则 ｈ′（ｘ）＝ｘｅｘ＋ｅｘ
ｅ －１－１
ｘ＝（ｘ＋１）ｅｘ
ｅ －ｘ＋１
ｘ ＝（ｘ＋１） ｅｘ－１ －１( )ｘ ， ７分………………
令 Ｈ（ｘ）＝ｅｘ－１ －１
ｘ，易知 Ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单增，且 Ｈ（１）＝０，
所以当 ０＜ｘ＜１时，Ｈ（ｘ）＜０，从而 ｈ′（ｘ）＜０；
当 ｘ＞１时，Ｈ（ｘ）＞０，从而 ｈ′（ｘ）＞０，
即 ｈ（ｘ）在（０，１）单减，在（１，＋∞）单增，
则 ｈ（ｘ）的最小值为 ｈ（１）＝０， １０分………………………………………………………
所以当 ｘ＞０时，ｈ（ｘ）≥ｈ（１）＝０，即ｘｅｘ
ｅ－ｘ－ｌｎｘ≥０，
ｅｘ
ｅ≥ｌｎｘ
ｘ＋１，即 ｅｘ－１ －１≥ｌｎｘ
ｘ，∴ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ） １２分………………………………………
（方法三）记 Ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｅｘ，则 Ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－ｅ，
显然 Ｆ′（１）＝０，且 ｘ＜１时，Ｆ′（ｘ）＜０，Ｆ（ｘ）单调递减，
ｘ＞１时，Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调递增，
所以 Ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝Ｆ（１）＝０，故 Ｆ（ｘ）≥０，等号成立当且仅当 ｘ＝１
故ｅｘ
ｅ≥ｘ，等号成立当且仅当 ｘ＝１ ８分……………………………………………………
欲证 ｅｘ－１ －１≥ｌｎｘ
ｘ，只需证明 ｘ≥ｌｎｘ
ｘ＋１，即 ｘ２ －ｘ－ｌｎｘ≥０
记 Ｇ（ｘ）＝ｘ２ －ｘ－ｌｎｘ，则 Ｇ′（ｘ）＝２ｘ－１－１
ｘ＝（ｘ－１）（２ｘ＋１）
ｘ
从而 ０＜ｘ＜１时，Ｇ′（ｘ）＜０，Ｇ（ｘ）单调递减，
ｘ＞１时，Ｇ′（ｘ）＞０，Ｇ（ｘ）单调递增，
所以，Ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝Ｇ（１）＝０，可得 Ｇ（ｘ）≥０，即 ｅｘ－１ －１≥ｌｎｘ
ｘ，
∴ｇ（ｘ）≥ｆ（ｘ） １２分………………………………………………………………………
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
）页４共（页４第准标分评及案答考参）类工理（学数级年三高市埠蚌
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