安徽省蚌埠市2020届高三文科数学9月月考试题(附答案)
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资料简介
书书书 蚌埠市 2020届高三年级第一次教学质量检查考试 数  学(文史类) 本试卷满分 150分,考试时间 120分钟 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知 i为虚数单位,复数 z满足(1+2i)z=-2+i,则 |z|= A槡5 5 槡B1 C 5 D5 2.已知全集为R,集合 M ={x|-2<x<1},N ={x|x>0},则 M∪ (瓓RN)= A{x|-2<x<1}B{x|-2<x≤ 0}C{x|x<1} D{x|x≤ 0} 3.某市小学、初中、高中在校学生人数分别为 7.5万,4.5万,3万.为了调查全市中小学生的体 质健康状况,拟随机抽取 1000人进行体质健康检测,则应抽取的初中生人数为 A750 B500 C450 D300 4.已知 0<a<b<1,则在 aa,ab,ba,bb中,最大的是 Aaa Bab Cba Dbb 5.已知圆 O的方程为 x2 +y2 -2x-3=0,则下列直线中与圆 O相切的是 Ax+槡3y+3=0 Bx+槡3y-3=0 槡C 3x+y+3= 槡0 D 3x+y-3=0 第 7题图 6.为得到函数 y=槡3sinx 3-cosx 3的图象,只需 把函数 y=2sinx 3的图象上所有的点 A向右平移 π 2个单位 B向右平移 π 6个单位 C向左平移 π 2个单位 D向左平移 π 6个单位 7.执行如程序框图所示的程序,若输入的 x的值 为 2,则输出的 x的值为 A3 B5 C7 D9 )页4共(页1第卷试)文(学数级年三高市埠蚌8.已知向量a,b满足 |a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为 π 3,则 |2a+b|= 槡 槡A4 B23 C2 D 3 9.已知 m,n∈ R,则“m n -1>0”是“m-n>0”的 A既不充分也不必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D充要条件 10.已知椭圆x2 m +y2 12=1的离心率 e= 1 2,则 m = A3或 48 B16或 3 C16或 9 D24或 6 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 P是四边形 BB1D1D内(含边界)任意一点,点 Q是 B1C1的 第 11题图 中点.有下列四个结论: ①AC⊥ BP(当 B,P不重合时); ② 存在点 P,使 AP∥ BQ; ③ 存在唯一点 P,使 CQ⊥ 平面 ABP; ④AQ与 BC所成角的正切值为 槡22. 其中正确的结论有 A①② B①④ C③④ D①③ 12.设 f(x)= 1-x2,x<1 lnx,x≥{ 1 ,若函数 g(x)=f(x)-ax-1有 4个不同的零点,则实数 a的取 值范围是 A(-1,0)∪ (0,1 e2)  B(-1,0) C(0,1 e) D(0,1 e2) 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.已知 sinα= 3 5,α∈ (0,π 2),则 tan(α+π 4)= . 14.已知 x,y满足 x-2y≥-4 2x+y≥ 2 3x-y≤ { 3 ,则 z=2x-y的最大值为 . 15.已知正项等比数列 {an}的前 n项和为 Sn,且满足 a1 =1,S5 =8S2 +S3,则 S4 = . 16.过双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的右顶点作 x轴的垂线与 C的一条渐近线相交于 点 A,若以 C的右焦点为圆心,半径为 4的圆经过 A,O两点(O为坐标原点),则双曲线 C的 方程为 . )页4共(页2第卷试)文(学数级年三高市埠蚌三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 已知点 D是直角三角形 ABC斜边 BC上一点. (1)若 AC =槡2DC,∠BAD =60°,求 ∠ADC的大小; (2)若 AC =槡3DC,BD =2DC,且 AB =槡6,求 AD的长. 18.(12分) 已知数列{an}满足 a1 =2,且 an+1 =2an +2n+1,n∈ N . (1)设 bn =an 2n,证明:数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的前 n项和 Sn. 19.(12分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,AD∥ BC,BC⊥ 平面 PAB,PA=PB=AB=BC=2AD =2,点 E为线段 PB的中点. 第 19题图 (1)求证:平面 DAE⊥ 平面 PBC; (2)求三棱锥 D-ACE的体积. )页4共(页3第卷试)文(学数级年三高市埠蚌  20.(12分) 经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0<x≤10,x∈ N)与每辆的销 售价格 y(单位:万元)进行整理,得到如表的对应数据: 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5 (1)试求 y关于 x的回归直线方程; (2)已知每辆该型号汽车的收购价格 w(单位:万元)与使用年数 x(0<x≤ 10,x∈ N)的 函数关系为 w=0.05x2 -1.75x+17.2,根据(1)中所求的回归方程,预测 x为何值时, 小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z最大. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b∧ = Σ n i=1 xiyi-nx—·y— Σ n i=1 x2 i -nx—2 , a∧ =y— -b∧x— 21.(12分) 已知函数 g(x)=lnx x +1. (1)求函数 g(x)的极值; (2)求证:ex e≥ g(x). 22.(12分) 已知点 A,B是抛物线 C:y2 =2px(p>0)上关于 x轴对称的两点,点 E是抛物线 C的准线 与 x轴的交点. (1)若 △EAB是面积为 4的直角三角形,求抛物线 C的方程; (2)若直线 BE与抛物线 C交于另一点 D,证明:直线 AD过定点. )页4共(页4第卷试)文(学数级年三高市埠蚌蚌埠市 2020届高三年级第一次教学质量检查考试 数学(文史类)参考答案及评分标准 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C A A D B A C B D 二、填空题: 13.7   14.2     15.15    16.x2 4 -y2 12=1 三、解答题: 17.(10分) 解:(1)因为 ∠BAC =90°,∠BAD =60°,所以 ∠CAD =30°, 2分……………………… 在 △ACD中,由正弦定理知, AC sin∠ADC = CD sin∠CAD, 所以 sin∠ADC =AC CD·sin∠CAD =槡2 2, ∵∠DAC+∠ACD <30°+∠90°=∠120°,∴∠ADC >60°, 故 ∠ADC =3π 4. 5分………………………………………………………………… (2)由 AC =槡3DC,BD =2DC,所以 BC =3DC, 在直角 △ABC中,由勾股定理得,AB2 +AC2 =BC2, 所以 6+3DC2 =9DC2,解得 DC =1 7分………………………………………… cosC =AC BC =槡3 3,在 △ADC中,由余弦定理得, AD2 =DC2 +AC2 -2DC·AC·cosC =2, 解得 AD =槡2 10分………………………………………………………………… 18.(12分) 解:(1)由 an+1 =2an +2n+1,得an+1 2n+1 =2an +2n+1 2n+1 =an 2n +1, 3分………………………… 即 bn+1 -bn =1(常数),所以数列{bn}为等差数列. 5分………………………… (2)因为 b1 =a1 2 =1,数列{bn}为等差数列,公差为 1, 所以 bn =n,n∈ N ,由 bn =an 2n =n,得 an =n·2n, 8分……………………… 所以 Sn =1×21 +2×22 +3×23 +… +n×2n, 从而 2Sn =1×22 +2×23 +3×24 +… +(n-1)×2n +n×2n+1, 两式相减,得 -Sn =2+22 +23 +… +2n -n·2n+1, 10分……………………… 即 -Sn =(1-n)×2n+1 -2,所以 Sn =(n-1)2n+1 +2. 12分………………… 19.(12分) 解:(1)(方法一)由已知,BC⊥ 平面 PAB,AE 平面 PAB,所以 AE⊥ BC. 2分……… )页4共(页1第案答卷试)文(学数级年三高市埠蚌由 PA=PB =AB,点 E为线段 PB的中点,所以 AE⊥ PB. 4分………………… 又 PB∩ BC =点 B,所以 AE⊥ 平面 PBC.又 AE 平面 DAE, 所以平面 DAE⊥ 平面 PBC. 6分…………………………………………………… (方法二)由 PA=PB =AB,点 E为线段 PB的中点,所以 AE⊥ PB. 2分…… 由已知,BC⊥ 平面 PAB,所以 BC⊥ PB,而 AD∥ BC,所以 AD⊥ PB. 4分…… 又 AD∩ AE =点 A,所以 PB⊥ 平面 DAE.又 PB 平面 PBC, 所以平面 DAE⊥ 平面 PBC. 6分…………………………………………………… (2)(方法一)由 AD∥ BC,可得 BC∥ 平面 DAE,所以点 C到平面 DAE的距离等于点 B到平面 DAE的距离. 8分…………………………………………………………… 由已知 BC⊥ 平面 PAB,AD∥ BC,易证 AD⊥ 平面 PAB, 由 PA=PB =AB =2,AD =1,所以 AE =槡3, VD-ACE =VC-DAE =VB-DAE =VD-AEB = 1 3S△AEB·AD = 1 3 ×槡3 2 ×1=槡3 6, 即三棱锥 D-ACE的体积为槡3 6. 12分……………………………………………… (方法二)取 AB中点 H,连接 PH.由 PA=PB =AB =2,得 PH⊥ AB. 而 BC⊥ 平面 PAB,PH 平面 PAB,所以 BC⊥ PH. 又 AB∩ BC =点 B,所以 PH⊥ 平面 ABCD, 8分………………………………… 且 PH=槡3.又点 E为线段 PB的中点,所以点 E到平面 ABCD的距离为 1 2PH=槡3 2, 从而 VD-ACE =VE-ACD = 1 3 ×S△ACD ×槡3 2 = 1 3 ×1×槡3 2 =槡3 6, 即三棱锥 D-ACE的体积为槡3 6. 12分……………………………………………… 20.(12分) 解:(1)由表中数据,得 x— = 1 5 ×(2+4+6+8+10)=6, y— = 1 5 ×(16+13+9.5+7+4.5)=10, 2分………………………………… 由最小二乘法得 b∧ =2×16+4×13+6×9.5+8×7+10×4.5-5×6×10 4+16+36+64+100-5×36 =-1.45,                   4分………………………………… a∧ =10-(-1.45)×6=18.7, 所以 y关于 x的回归直线方程为 y=-1.45x+18.7. 6分……………………… (2)由题意,z=y-w =-1.45x+18.7-(0.05x2 -1.75x+17.2) =-0.05x2 +0.3x+1.5, 其中 0<x≤ 10,且 x∈ N, 9分…………………………………………………… z=-0.05x2 +0.3x+1.5=-0.05(x-3)2 +1.95, 所以预测 x=3时,销售一辆该型号汽车所获得的利润最大. 12分……………… 21.(12分) 解:(1)由 g(x)=lnx x +1,得 g′(x)=1-lnx x2 ,定义域为(0,+∞). )页4共(页2第案答卷试)文(学数级年三高市埠蚌令 g′(x)=0,解得 x=e, 2分……………………………………………………… 列表如下: x (0,e) e (e,+∞) g′(x) + 0 - g(x) 单调递增 极大值 单调递减 结合表格可知函数 g(x)的极大值为 g(e)= 1 e+1,无极小值. 5分…………… (2)(方法一)令 f(x)=xex e -x-lnx,x>0, 则 f′(x)=xex +ex e -1-1 x =(x+1)ex e -x+1 x =(x+1)(ex-1 -1 x), 7分 …… ………………………………………………………………………………… 令 F(x)=ex-1 -1 x,易知 F(x)在(0,+∞)上单增,且 F(1)=0, 所以当 0<x<1时,F(x)<0,从而 f′(x)<0; 当 x>1时,F(x)>0,从而 f′(x)>0, 即 f(x)在(0,1)单减,在(1,+∞)单增, 则 f(x)的最小值为 f(1)=0, 10分………………………………………………… 所以当 x>0时,f(x)≥ f(1)=0,即xex e -x-lnx≥ 0, 从而ex e≥ lnx x +1,不等式得证. 12分……………………………………………… (方法二)记 F(x)=ex -ex,则 F′(x)=ex -e, 显然 F′(1)=0,且 x<1时,F′(x)<0,F(x)单调递减, x>1时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 所以 F(x)min =F(1)=0,故 F(x)≥ 0,等号成立当且仅当 x=1. 故ex e≥ x,等号成立当且仅当 x=1. 8分…………………………………………… 欲证ex e≥ g(x),只需证明 x≥ lnx x +1,即 x2 -x-lnx≥ 0. 记 G(x)=x2 -x-lnx,则 G′(x)=2x-1-1 x =(x-1)(2x+1) x , 从而 0<x<1时,G′(x)<0,G(x)单调递减, x>1时,G′(x)>0,G(x)单调递增, 所以,G(x)min =G(1)=0,可得 G(x)≥ 0,即ex e≥ g(x). 12分………………… 22.(12分) 解:(1)由题意,△EAB是等腰直角三角形,且 EA⊥ EB. 不妨设点 A位于第一象限,则直线 EA的方程为 y=x+ p 2, 联立方程, y2 =2px y=x+ p{ 2 ,解得 x= p 2{y=p , )页4共(页3第案答卷试)文(学数级年三高市埠蚌所以点 A(p 2,p),B(p 2,-p),E(- p 2,0). 3分…………………………………… S△EAB = 1 2 ×p×2p=p2 =4,解得 p=2, 故抛物线 C的方程为 y2 =4x. 6分………………………………………………… (2)(方法一)设 A(x0,y0),B(x0,-y0), 则直线 EB的方程为 y=- y0 x0 + p 2 (x+ p 2), 联立方程, y2 =2px y=- y0 x0 + p 2 (x+ p 2{ ),消去 x, 得关于 y的方程y0 2py2 +(x0 + p 2)y+py0 2 =0, 8分……………………………… 该方程有一个根 -y0,两根之积为 p2, 则另一个根为 -p2 y0 ,所以点 D的坐标为(p3 2y2 0 ,-p2 y0 ). 直线 AD的斜率为 y0 +p2 y0 x0 - p3 2y2 0 = y0 +p2 y0 y2 0 2p- p3 2y2 0 = 2py0 y2 0 -p2, 10分…………………………… 所以 AD的方程为 y-y0 = 2py0 y2 0 -p2(x-y2 0 2p),化简得 y= 2py0 y2 0 -p2(x- p 2), 所以直线 AD过定点(p 2,0). 12分………………………………………………… (方法二)设 B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),直线 BE的方程为 x=ny- p 2, 联立方程, y2 =2px x=ny- p{ 2 ,消去 x,得关于 y的方程 y2 -2npy+p2 =0, 所以 y1 +y2 =2np,y1y2 =p2, 8分………………………………………………… 则 kAD =y2 +y1 x2 -x1 = 2np (ny2 - p 2)-(ny1 - p 2) = 2p y2 -y1 , 直线 AD的方程为 y= 2p y2 -y1 (x-x2)+y2, 10分………………………………… 化简得 y= 2p y2 -y1 x- 2px2 y2 -y1 +y2 2 -y1y2 y2 -y1 = 2p y2 -y1 (x- p 2), 所以直线 AD过定点(p 2,0). 12分………………………………………………… (以上答案仅供参考,其它解法请参考以上评分标准酌情赋分) )页4共(页4第案答卷试)文(学数级年三高市埠蚌

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