1.4 二次函数与一元二次方程的联系
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象，如图1－4－1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
图1－4－1
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
2．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )
A．有两个相同的交点 B．有两个不同的交点
C．没有交点 D．无法确定
3．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )
A．2和－3 B．－2和3
C．2和3 D．－2和－3
4．2018·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．
5．抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，请说明理由；若有，请求出交点坐标．
知识点 2 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
6．2017·兰州下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的几组对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
7．用图象法求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)．
知识点 3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
8．小明同学在体育课上练习推铅球，图1－4－2是某次铅球被推出后所经过的路线，铅球从点A处出手，在点B处落地，它的运行轨迹满足二次函数y＝－x2＋x＋，则小明同学这次推铅球的成绩是________ m.
图1－4－2
9．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)经过的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图1－4－3所示．
(1)求演员弹跳时离地面的最大高度；
(2)已知人梯BC高3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演能否成功？请说明理由．
图1－4－3
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10．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
11．2017·苏州若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0
12．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
13．2017·牡丹江若将图1－4－4中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移，使它经过点(2，0)，此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是________．
图1－4－4
14．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线表示的函数的表达式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
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15．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心位置，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图1－4－5①所示．建立如图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的表达式是y＝－x2＋2x＋，请回答下列问题：
(1)柱子OA的高度为多少米？
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面？
图1－4－5
教师详解详析
1．D
2．A [解析] 在二次函数y＝x2－2x＋1中，∵Δ＝4－4＝0，∴二次函数的图象与x轴有两个相同的交点．
3．A [解析] 解方程x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.∴函数图象与x轴交点的横坐标是2和－3.
4．－1 [解析] 由二次函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，可得b2－4ac＝22－4×1×(－m)＝0，∴4m＋4＝0，解得m＝－1，∴m的值为－1.
5．解：有．令y＝0，得3x2＋x－10＝0.∵Δ＝12－4×3×(－10)＝121＞0，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有交点．∵解方程3x2＋x－10＝0，得x1＝－2，x2＝，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是(－2，0)，(，0)．
6．C
7．[解析] 方程x2＋2x－10＝0的解可以看成抛物线y＝x2＋2x－10与x轴交点的横坐标．因此应先画出抛物线，由抛物线与x轴交点的位置确定方程的根的取值范围，观察图象求得近似解．
解：画出函数y＝x2＋2x－10的图象如图所示．
由图象，知方程有两个根，一个根在－4和－5之间，另一个根在2和3之间．先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个精确到0.1的近似解．同理，可求得另一个精确到0.1的近似解为x＝2.3.故一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解为x1≈－4.3，x2≈2.3.
[点评] 本题还可以将方程化为x2＝－2x＋10的形式，利用函数y＝x2和y＝－2x＋10的图象的交点求解．
8．10 [解析] 当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)，所以小明同学这次推铅球的成绩是10 m.
9．解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－＋的形式，
当x＝时，y有最大值，y最大值＝＝4.75.
因此，演员弹跳时离地面的最大高度是4.75米．
(2)这次表演能成功．理由：
当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4.
即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，
因此，这次表演能成功．
10．A [解析] ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，
∴解得b＜1且b≠0.
11．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，∴4a＋1＝0，解得a＝－.
∴方程－(x－2)2＋1＝0的实数根为x1＝0，x2＝4.故选A.
12．D [解析] 由题意，得二次函数图象的对称轴为直线x＝2，由对称轴公式得－＝2，解得b＝－4，代入一元二次方程，得x1＝－1，x2＝5.故选D.
13．0＜x＜2 [解析] 设平移后抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋c＋b，把A(2，0)代入，得c＋b＝0，则该函数表达式为y＝x2－2x.当y＝0时，x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是0＜x＜2.
14．解：(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1>0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)①根据对称轴公式，得x＝－＝，∴m＝2，
∴抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6＋k，
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，解得k＝.
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
15．解：(1)当x＝0时，y＝，故柱子OA的高度为米．
(2)解方程－x2＋2x＋＝0，得x1＝－，
x2＝，∴点B的坐标为，∴OB＝.
故不计其他因素，水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面．
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