2020 年高考化州市第一次模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
（1）【解析】 由集合 ，则 或 ，
又 ，所以 .
（2）【解析】 ，则 ，故 ，故选 C．
（3）答案：A
解析：因为 E，F，G，H 分别为各个面的中心，显然 E，F，
G，H 四点共面，截面如图所示．显然四边形 EFGH 为正方
形，且边长为 2
2 ，
所以 S 正方形 EFGH＝ 2
2 × 2
2 ＝1
2.
另外易知点 M 到平面 EFGH 的距离为正方体棱长的一半，即1
2，所以四棱锥 M－EFGH 的体
积 V＝1
3×1
2×1
2＝ 1
12.
（4）解析：根据题意，分 2 步进行分析：先从其他 5 个字母中任取 4 个，有 C45＝5 种选法，
再将“ea”看成一个整体，与选出的 4 个字母全排列，有 A55＝120 种情况，则不同的排列有 5×120
＝600 种，故选 C.
（5）解析：当 q＝1 时，显然不符合题意；当 q≠1 时，
{a1（1－q3）
1－q ＝7
4①，
a1（1－q6）
1－q ＝63
4 ②，
②÷①，得 1＋q3＝9，∴q3＝8，
即 q＝2，代入①，解得 a1＝1
4，
∴a8＝1
4×27＝32.
（6）解析：当 x＜0 时，f(x)＝x(x－1)，则 f(x)在[－1，0]上单调递减．
又 f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴f(x)在 [－1，1]上单调递减．
∴由 f(1－m)＋f(1－m2)0，a≠1)有最小
值．
∵u＝(x＋1
2 )2＋3
4≥3
4，
∴当函数 y＝logau 是增函数时，在 u∈[3
4，＋∞)上有最小值，
∴a＞1.此时“囧函数”y＝ 1
|x|－1与函数 y＝loga|x|在同一坐标系内的图像
如图所示，由图像可知，它们的图像的交点个数为 4.
C ( ),0F c by xa
= ±
2 2
2bcd b a
a b
= = =
+
2 2 5c a b a= + = 5ce a
= =
3ω =
π ,04
π3 π4
ϕ∴ × + = π
4
ϕ =
( ) πsin 3 4f x A x = +
( ) π πsin3 sin 3 12 4g x A x A x
= = − +
( )f x π
12
( )g x
ABD∆ 6AD = 2BD = 120ADB∠ = °
2 2 2 cos120 2 13AB AD BD AD BD= + − ⋅ ° =
4 2
2 13 13
DF
AB
= = 22 4( ) 1313
DEF
ABC
S
S
∆
∆
= =（12）【解析】∵ ，
∴ ，
∴ 为奇函数，当 时， ，
∴ 在 上单调递减，∴ 在 上单调递减．
∵存在 ，∴ ，∴ ，即 ．
令 ， ，
∵ 为函数 的一个零点，∴ 在 时有一个零点．
∵当 时， ，∴函数 在 时单调递减，
由选项知 ， ，
又∵ ，
∴要使 在 时有一个零点，只需使 ，解得 ，
∴ 的取值范围为 ，故选 D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
(13) (14) 8 (15) (16)
（13）【解析】由 得 ，得 ，∴ ，故答案为 ．
（14）【解析】画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示，
6π
( )+ ⊥a b a ( ) 0+ ⋅ =a b a 2 0+ ⋅ =a a b 1⋅ = −a b 1−
1 0
2 0
2
x y
x y
x
− + ≤
− ≥
≤
( ) ( ) 2f x f x x− + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 21 1 02 2T x T x f x x f x x f x f x x+ − = − + − − − = + − − =
( )T x 0x ≤ ( ) ( ) 0T x f x x′ ′= − <
( )T x ( ),0−∞ ( )T x R
( ) ( ){ }0 1x x T x T x∈ ≥ − ( ) ( )0 01T x T x≥ − 0 01x x≤ − 0
1
2x ≤
( ) ( ) e exh x g x x x a= − = − − 1
2x ≤
0x ( ) ( )h x g x x= − ( )h x 1
2x ≤
1
2x ≤ ( ) 1
2e e e e 0xh x = − ≤ − =′ ( )h x 1
2x ≤
0a > 10 2e
a− < <
e ee e 0
e e
a aa ah e a
− − − = − − − = >
( )h x 1
2x ≤ 1 1e e 02 2h a = − − ≤
e
2a ≥
a e ,2
+∞
1− 3 2 3
4 2( 1)( 2)
n
n n
+− + +由图形知，当目标函数 过点 时， 取得最小值；
由 ，求得 ；∴ 的最小值是 ．故答案为 8．
（15）解析：由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列{an}是首项为 3，公差为 2
的等差数列，
∴a1＋a2＋…＋an＝n（3＋2n＋1）
2 ＝n(n＋2)，
∴bn＝ 1
n（n＋2）＝1
2(1
n－ 1
n＋2)，
故数列{bn}的前 n 项和 Tn＝1
2(1－1
3＋1
2－1
4＋1
3－1
5＋…＋ 1
n－2－1
n＋ 1
n－1－ 1
n＋1＋
1
n－ 1
n＋2)＝1
2(1＋1
2－ 1
n＋1－ 1
n＋2)＝3
4－ 2n＋3
2（n＋1）（n＋2）.
（16）【解析】∵ ， ， ，由勾股定理可得 ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为 ，
当 平面 时，四面体 的体积取最大值，
此时，其外接球的直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共 60 分.
（17）（本小题满分 12 分）
解（1）由 及正弦定理得， ----------------2 分
-------------------------4 分
是锐角三角形，
-------------------------6 分
2 3z x y= + A z
1 0
2 0
x y
x y
− + =
− =
( )1,2A 2 3z x y= + 2 1 3 2 8× + × =
1AB = 3BC = 2AC = 2 2 2AB AC BC+ =
ABC△ BC 3BC =
CD ⊥ ABC ABCD
2 22 6R BC CD= + =
ABCD ( )224π π 2 6πR R= × =
3 2 sina c A= 2sin sin
sin3
a A A
c C
= =
3sin 0, sin 2A C≠ ∴ =
ABC∆ 3C
π∴ =（2）解法 1： 由面积公式得
-------------------------8 分
由余弦定理得
----------------------10 分
由②变形得 -------------------------12 分
解法 2：前同解法 1，联立①、②得
-------------------------8 分
消去 b 并整理得
解得 -------------------------10 分
所以 故 -------------------------12 分
（18）（本小题满分 12 分）
【解析】（1）∵四边形 为菱形， ，
连结 ，则 为等边三角形，
又∵ 为 中点，∴ ，由 ，
∴ ， -------------------------3 分
∵ 底面 ， 底面 ，
∴ ，
又∵ ，∴ 平面 ． -------------------------6 分
（2）∵四边形 为菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ， -------------------------7 分
又∵ 底面 ，
分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系 ，
7, .3c C
π= =
1 3 3sin , 62 3 2ab ab
π = =即 ①
2 2 2 22 cos 7, 73a b ab a b ab
π+ − = + − =即 ②
25, 5a b= + =2（a+b) 故
2 2 2 27
6 6
a b ab a b
ab ab
+ − = +⇔ = =
＝１３
4 213 36 0a a− + =
2 24 9a a= =或
2 3
3 2
a a
b b
= =
= =
或 5a b+ =
ABCD 120BAD∠ = °
AC ACD△
M CD AM CD⊥ CD AB∥
AM AB⊥
1AA ⊥ ABCD AM ⊂ ABCD
1AM AA⊥
1AB AA A= AM ⊥ 1 1AA B B
ABCD 120BAD∠ = ° 1 1 12 2AB AA A B= = =
1DM = 3AM =
90AMD BAM∠ = ∠ = °
1AA ⊥ ABCD
AB AM 1AA x y z
A xyz−、 、 、 ，
∴ ， ， ，---------9 分
设平面 的一个法向量 ，
则有 ，
令 ，则 ， -------------------------11 分
∴直线 与平面 所成角 的正弦值 ．------12 分
（19）（本小题满分 12 分）
解：(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为 X(单位：元)．
① 依题意，P(X＝60)＝CC
C ＝1
2， -------------------------2 分
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1
2.
②依题意，X 的所有可能取值为 20，60.
P(X＝60)＝1
2，P(X＝20)＝C
C＝1
2， -------------------------4 分
故 X 的分布列为
所以顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)＝20×1
2＋60×1
2＝40(元)．------------6 分
(Ⅱ)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60000
1000 ＝60(元)，所以先寻找数学期望为
60 元的可能方案．
对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，
因为 60 元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为 60 元；
如果选择(50，50，50，10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以数学期望也不
可能为 60 元，
因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案 1.
对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)
的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案 2. --------------------8 分
( )1 0,0,2A ( )2,0,0B ( )1, 3,0D − 1
1 3, ,22 2D
−
1
1 3, ,22 2DD
= −
( )3, 3,0BD = − ( )1 2,0, 2A B = −
1A BD ( ), ,x y z=n
1
0 3 3 0 3 3
2 2 00
BD x y y x z
x zA B
⋅ = − + =⇒ ⇒ = = − =⋅ =
n
n
1x = ( )1, 3,1=n
1DD 1A BD θ 1
1
1
1sin cos , 5
DDDD
DD
θ ⋅= = =
⋅
nn
n以下是对两个方案的分析：
对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为 X1(单位：元)，则 X1 的分
布列为
所以 X1 的数学期望为 E(X1)＝20×1
6＋60×2
3＋100×1
6＝60(元)，
X1 的方差为 D(X1)＝(20－60)2×1
6＋(60－60)2×2
3＋(100－60)2×1
6＝1600
3 (元)．
对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为 X2(单位：元)，则 X2 的分
布列为
所以 X2 的数学期望为 E(X2)＝40×1
6＋60×2
3＋80×1
6＝60(元)，----------------10 分
X2 的方差为 D(X2)＝(40－60)2×1
6＋(60－60)2×2
3＋(80－60)2×1
6＝400
3 (元)．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 2 的奖励额的方差比方案 1 的小，
顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案 2. -------------------------12 分
（20）（本小题满分 12 分）
【解析】（1）设点 ，则 ，
∴ ， ．
∵ ， -------------------------2 分
∴ ，
即 ． -------------------------4 分
（2）设 ， ， ，直线 与 轴交点为 ，直线 与内切圆的切
点为 ．
设直线 的方程为 ，则联立方程组
( ),P x y ( )2,Q y−
( ),OP x y= ( )2,OQ y= −
0OP OQ⋅ =
22 0OP OQ x y⋅ = − + =
2 2y x=
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,D x y BD x E AB
T
AM 1
2y k x = + 2
1
2
2
y k x
y x
= +
=得 ，
∴ 且 ，∴ ，
∴直线 的方程为 ， -------------------------6 分
与方程 联立得 ，
化简得 ，
解得 或 ．
∵ ，
∴ 轴， -------------------------8 分
设 的内切圆圆心为 ，则点 在 轴上且 ．
∴ ，且 的周长 ，
∴ ，------------------10 分
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在区间 上单调递增，
则 ，
即 的取值范围为 ． -------------------------12 分
（21）（本小题满分 12 分）
【解析】（1）函数 的定义域为 ．
当 时， ，∴ ．-------------------------1 分
当 时， ，∴函数 在 上单调递增．
( ) 2
2 2 2 2 04
kk x k x+ − + =
1 2
1
4x x = 1 20 x x< < 1 2
1
2x x< <
AN 1
1
1
1 2
2
yy x
x
= − −
2 2y x= 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 12 2 02 4y x y x x x y − + − + + =
2 2
1 1 1
1 12 2 02 2x x x x x − + + =
1
1
4x x
= 1x x=
3 2
1
1
4x xx
= =
BD x⊥
MBD△ H H x HT AB⊥
2 2
1 1 22 2MBDS x y = ⋅ + △ MBD△
2
2
2 2 2
12 22x y y + + +
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 12 2 22 2 2 2MBDS x y y r x y
= + + + ⋅ = ⋅ + ⋅
△
2 2
2
2 2 2 22 2 2 222 22 2
1
1 12
1 1 1 1 1 11
1 121 12
2 22 2
x y
r
y x y xyx xx x
+ = = =
+ + + ++ + + + ++ +
2
1
2t x= + 1t >
2
1
1 1 1
2 1
r
t tt
=
+ +−
( )1,+∞
1 2 1
2 1
r > = −
+
r ( )2 1,− +∞
( )f x ( )0,+∞
2b = ( ) 2lnf x a x x= + ( ) 22x af x x
+′ =
① 0a > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞当 时，令 ，解得 ， -------------------------3 分
当 时， ，∴函数 在 上单调递减；
当 时， ，∴函数 在 上单调递增．
综上所述，当 ， 时，函数 在 上单调递增；
当 ， 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．--6 分
（2）∵对任意 ， ，都有 成立，
∴ ，
∴ 成立，
∵ ， 时， ，
∴ ．
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增， -------------------------8 分
， ， ，
设 ， ，
．
∴ 在 递增，∴ ，
∴ ，可得 ，
∴ ，即 ， -------------------------10 分
设 ， ， 在 恒成立．
∴ 在 单调递增，且 ，
② 0a < ( ) 0f x′ =
2
ax = −
0 2
ax< < − ( ) 0f x′ < ( )f x 0, 2
a −
2
ax > − ( ) 0f x′ > ( )f x ,2
a − +∞
2b = 0a > ( )f x ( )0,+∞
2b = 0a < ( )f x 0, 2
a −
,2
a − +∞
1x 2
1,eex ∈
( ) ( )1 2 e 2f x f x− ≤ −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 max minf x f x f x f x− ≤ −
( ) ( )max min e 2f x f x− ≤ −
0a b+ = 0b > ( ) ln bf x b x x= − +
( ) ( )1bb x
f x x
−
′ =
0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
( )f x 1,1e
[ ]1,e
( ) ( )min 1 1f x f= = 1 ee
bf b − = +
( )e ebf b= − +
( ) ( ) 1e e e 2e
b bg b f f b− = − = − −
( )0b >
( ) e e 2 2 e e 2 0b b b bg b − −′ = + − > ⋅ − =
( )g b ( )0,+∞ ( ) ( )0 0g b g> =
( ) 1e ef f >
( ) ( )max e ebf x f b= = − +
e 1 e 2bb− + − ≤ − e e 1 0b b− − + ≤
( ) e e 1bb bϕ = − − + ( )0b > ( ) e 1 0bbϕ′ = − > ( )0,b∈ +∞
( )bϕ ( )0,+∞ ( )1 0ϕ =∴不等式 的解集为 ．
∴实数 的取值范围为 ． -------------------------12 分
（22）（本小题满分 10 分）
解：(1)曲线 C1 的普通方程为x2
3＋y2＝1.
将曲线 C2 的极坐标方程 ρsin(θ＋π
4 )＝2 2
展开得 ρsinθ＋ρcosθ＝4，
把 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y 代入，
得曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. -------------------------5 分
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cosθ，sinθ)．
∵C2 是直线，∴|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(θ)的最小值．
d(θ)＝| 3cosθ＋sinθ－4|
2
＝ 2|sin(θ＋π
3 )－2|，
当且仅当 sin(θ＋π
3 )＝1，即 θ＝2kπ＋π
6(k∈Z)时，d(θ)取得最小值，最小值为 2，
此时 3cosθ＝ 3× 3
2 ＝3
2，sinθ＝1
2，
即 P 的直角坐标为(3
2，1
2 ) -------------------------10 分
（23） (本小题满分 10 分) 【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，
即求不同区间对应解集，
∴ 的解集为 ． -------------------------5 分
（2）由题意， 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
e e 1 0b b− − + ≤ ( ]0,1
b ( ]0,1
40 3x x
<
微信/支付宝扫码支付