2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
文科数学试题
命题人： 审题人：
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．函数 的定义域为 ，值域为 ，全集 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 (其中 是虚数单位）对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 ＝( )
A．28 B．32 C．56 D．24
4．一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何
体的体积为( )
A． B．
C． D．
5．已知 ，过 作 的两条切线 ，其中 为切点，则经
过 三点的圆的半径为
A． B． C． D．
6、在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ，
则 （ ）
A． 或 B． C． D．
7、 ， 是定义在 R 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”
是“ 为偶函数”的（ ）
ABC∆ A B C a b c 60A = ° 4 3a= 4b =
B =
30B = ° 150B = ° 150B = ° 30B = ° 60B = °
2ln(1 )y x= − A B U R= UA B =
( 1, )− +∞ ( ,0]−∞ (0,1) [0,1)
1
2 i+ i
}{ na nS 3 5 8a a+ = 7S
3π 7
3
π
7
2
π
4 6π +
1a > ( ,0)P a 2 2: 1O x y+ = ,PA PB ,A B
, ,P A B
2 1
2
a − 1
2
a + a
2
a
( )f x ( )g x ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )f x ( )g x
( )h x
5
2
1A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
8、设 分别为 的三边 的中点，则 ( )
A. B. C. D.
9 已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
10、已知 是定义域为 的奇函数，满足 ,若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
11、将函数 的图象向右移 个单位后，所得图象关于 轴对称，
则 的最小值为
A．2 B．1 C． D．
12、已知函数 ，若 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是__________．
14、曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
15．《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一
尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为 “有厚墙五尺，两
只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进
一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？”荆州古城墙某处厚 33 尺，两硕鼠按上述方式打
洞，相遇时是第 天．（用整数作答）
FED ,, ABC∆ ABCABC ,, EB FC+ =
AD 1
2 AD 1
2 BC
BC
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )1 2f =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020f f f f+ + + + =
2020− 2 0 2020
2sin( )( 0)6y x
πω ω= + > 2
3
π y
ω
1
2
1
4
( ) ( ) 3 2ln 3,= + + = −af x x g x x xx
( ) ( )1 2 1 2
1, ,2 , 03x x f x g x ∀ ∈ − ≥
a
[ )0,+∞ [ )1,+∞ [ )2,+∞ [ )3,+∞
2
0 0 0, 2 0x x x m∃ ∈ − + ≤R m
2 1y x x
= +16、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直
线 CC1 的距离的最小值为__________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分 12 分）17．（12 分）
已知 .
（1）求 的最大值、最小值；
（2） 为 的内角平分线，已知 ， ，
求 ．
18、（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19、（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，
其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形， 为 的中点.
（1）在侧棱 上找一点 ，使 ∥平面 ，
并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥 的体积．
20 、（ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 过 原 点 的 动 直 线 与 圆
相交于不同的两点 ， ．
l
2 2
1 : 6 5 0C x y x+ - + = A B
1D
1B
P
D
1C
C
E
BA
1A
( ) 12sin( )cos 3, 0,6 4f x x x x
π π = + − ∈
( )f x
CD ABC∆ max min( ) , ( )AC f x BC f x= = 2 2CD =
C∠
}{ na n nS )(12 *NnaS nn ∈−=
}{ na
*Nn∈ 92)1( −≥+ nSk n k
V ABCD− ABCD
5 E AB
VC F BF VDE
E BDF−（1）求圆 的圆心坐标；（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点：若存在，求出 的
取值范围；若不存在，说明理由．
21、已知函数 .
（1）当 时，试求 的单调区间；
（2）若 在 内有极值，试求 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做
的第一个题目计分．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的直角坐标方程；
（2）已知 ， 与 的交点为 ，求 的值．
23、已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求实数 的取值范围．
1C AB M C
k : ( 4)L y k x= - C k
( ) ( )ln
xef x a x xx
= − −
0a ≤ ( )f x
( )f x ( )0,1 a
xoy 1C
3 101 10
103 10
x t
y t
= −
= +
t
x 2C 8sin 6cosρ θ θ= +
2C
( )1,3P 1C 2C ,A B PA PB⋅
( ) 2 2 ( )f x x a x a R= − + − ∈
2a = ( ) 2f x >
[ 2,1]x∈ − ( ) 3 2f x x≤ − a2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
文科数学试题
命题人：杨建楠 审题人：赵瑞杰
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．函数 的定义域为 ，值域为 ，全集 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2．在复平面内，复数 (其中 是虚数单位）对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象
限
【答案】D
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 ＝( )
A．28 B．32 C．56 D．24
解析：S7＝7 × （a1＋a7）
2 ＝7 × （a3＋a5）
2 ＝28.故选 A.
答案：A
4．一个几何体三视图所示，侧视图上的数值是对应线段的长度，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
【答案】A
5．已知 ，过 作 的两条切线 ，其中
为切点，则经过 三点的圆的半径为
A． B． C． D．
【答案】D6、在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ，
则 （ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
7、 ， 是定义在 R 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”
是“ 为偶函数”的（ ）
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
【答案】：B
8、设 分别为 的三边 的中点，则
A. B. C. D.
【答案】A
9、已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
答案：D
10、已知 是定义域为 的奇函数，满足 ,若 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
11、将函数 的图象向右移 个单位后，所得图象关于 轴对称，
则 的最小值为
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
12、已知函数 ，若 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、若命题“ ”是假命题，则 的取值范围是__________．
【答案】
14、曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
15．《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一
尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两
只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进
一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 荆州古城墙某处厚 33 尺，两硕鼠按上述方式
打洞，相遇时是第 天．（用整数作答）
【答案】6
16 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直
线 CC1 的距离的最小值为__________.【答案】
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分 12 分）17．（12 分）
已知 .
（1）求 的最大值、最小值；
（2） 为 的内角平分线，已知 ， ，
求 ．
【答案】17.（1） ………………4 分
在 上↑， 上↓
………………6 分
△ 中，
△ 中
………………8 分
△ 中，△ 中，
， ………………12 分
18、（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
试题解析：(1)令 ，解得 ．
由 ，有 ，
两式相减得 ，化简得 （n≥2），
∴ 数列 是以首项为 1，公比为 2 的等比数列，
∴ 数列 的通项公式 ．
(2)由 ≥ ，整理得 k≥ ，
令 ，则 ，
n=1，2，3，4，5 时， ，∴ ．
n=6，7，8，…时， ，即 ．
∵b5= < ， ∴ 的最大值是 ．
∴实数 k 的取值范围是 ．
19、（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，其它四个侧面都是侧棱
长为 的等腰三角形， 为 的中点.
（1）在侧棱 上找一点 ，使 ∥平面 ，
并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下求三棱锥 的体积．【答案】（1） 为 的中点 ………………1 分
取 的中点为 ，连
为正方形， 为 的中点
平行且等于 ，
又
平面
平行平面 ………………6 分
（2） 为 的中点，
为正四棱锥
在平面 的射影为 的中点
………………12 分
20、（本小题满分 12 分）已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点
， ．
（1）求圆 的圆心坐标；
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点：若存在，求出 的
取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
．
【解析】（1）由 得 ，∴ 圆 的圆心坐标为 ；
（3）由（2）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 （如下图所示，
不包括两端点），且 ， ，又直线 ： 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，由 得 ，又
，结合上图可知当 时，直线
： 与曲线 只有一个交点．
21、已知函数 .
（1）当 时，试求 的单调区间；
（2）若 在 内有极值，试求 的取值范围.【解析】（Ⅰ） ，
．
当 时，对于 ， 恒成立，
所以 ⇒ ； ⇒ 0.
所以 单调增区间为 ，单调减区间为 ．
（Ⅱ）若 在 内有极值，则 在 内有解．
令 ⇒ ⇒ .
设 ,
所以 , 当 时， 恒成立，
所以 单调递减.
又因为 ，又当 时， ,
即 在 上的值域为 ,
所以 当 时， 有解.
设 ，则 ，
所以 在 单调递减.
因为 ， ,
所以 在 有唯一解 .
所以有：0
0
极小值
所以 当 时， 在 内有极值且唯一.
当 时，当 时， 恒成立， 单调递增，不成立．
综上， 的取值范围为 ．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做
的第一个题目计分．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的直角坐标方程；
（2）已知 ， 与 的交点为 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）20
【解析】
（1）由 ，得 ，
∴ ，即 .
（2）设 ，
把 代入 ，得 ，则 是该方程的两个实数根，
∴ ，故 ．
23、已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2）空集.
【解析】
解：（1）不等式 ，即 .
可得 ，或 或 ，
解得 或 ，所以不等式的解集为 .
（2）当 时， ，所以 ，
由 得 ，即 ，
则 ，该不等式无解，
所以实数 的取值范围是空集（或者 ）.
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