一轮复习阶段性检测（二)
范围：集合、简易逻辑、函数导数、向量、数列、三角函数及解三角形、不等式、立体几何
命题人：安素敏
一、单选题(每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A＝{x| －3x
{ }na ( )( )*
na f n n N= ∈ { }na
a
( ]1,2 24 ,311
A． B．
C． D．
9．已知数列 满足： 对于任意的 ， 则
A． B． C． D．
10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )
A．24 cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
11．点 在曲线 上运动， ，且的最大
值为 ，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数 在 上非负且可导，满足， ,若
,则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．已知数列 ， 都是等差数列，Sn，Tn 分别是它们的前 n 项和，并且 ，
则 =__________（用最简分数做答）．
14．已知 ，实数 满足 若 的最大值为 2，则实数 ______．
{ }na 1
1 ,7a = n ∗∈N 1
7 (1 ),2n n na a a+ = − 1413 1314a a− =
2
7
− 2
7
3
7
− 3
7
64
3
( )6 2 5 2 2+ + ( )24 8 5 8 2+ +
( )y f x= ( )0 + ∞， ( ) ( ) 2 1xf x f x x x+ ≤ − + −′
0 a b< <
( ) ( )af b bf a≤ ( ) ( )af b bf a≥
( ) ( )af a f b≤ ( ) ( )bf b f a≤
{ }na { }nb 7 3
3
n
n
S n
T n
+= +
2 5 19 24
8 10 14 18b +b +b +b
a a a a+ + +15．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课.甲、乙、丙、丁四
个人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以
下要求:
甲：我不选太极拳和足球； 乙：我不选太极拳和游泳；
丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳.
已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，那么选击剑的是___________.
16．如图，在直四棱柱 中，点 分别在 上，且 ，
，点 到 的距离之比为 3：2，则三棱锥 和 的体积比
= __ ___.
三、解答题 17．（10 分）已知 分别为 内角的对边 ， .
（1）若 为 的中点，求 ；
（2）若 ，判断 的形状，并说明理由.
18．（12 分）已知公比为 的等比数列 前 项和为 ，且 成等差数
列.（1）求 ；
（2）设 是首项为 ，公差为 的等差数列，其前 项和为 ，求不等式 的
解集.
19．（12 分）如图，已知 是 边 上一点.
（1）若 ，且 ，求 的面积；
（2）当 时，若 ，且 ，求 的长.
1 1 1 1ABCD A B C D− ,E F 1 1,AA CC 1
3
4AE AA=
1
1
3CF CC= ,A C BD E BCD− F ABD−
E BCD
F ABD
V
V
−
−
FE
D1
C1
B1
B
CD
A1
A
, ,a b c ABC∆ , ,A B C 2a c=
,2B D
π= AC cos BDC∠
( )2 2 2 2 22 2 cosa b c A b c+ − = + ABC∆
q { }na 6 6 21S = 1 2 2
34 2a a a、 、
na
{ }nb 2 1a− n nT 0n nT b− >
D ABC∆ BC
45B = 1AB DC= = ADC∆
90BAC∠ = : : 2:1: 3BD DC AC = 4 2AD = DC20．（12 分）如图所示，四棱锥 ,底面 是边长为 的正方形， ⊥面
， ,过点 作 ,连接 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若面 交侧棱 于点 ，求多面体 的体积.
21．（12 分）已知函数 ，其 中为常数， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）是否存在实数 ,使 的极大值为 ?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
22．（12 分）已知函数 .
（I）求 f（x）的单调区间及极值；
（II）若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的集合.
A B
D
P
C
E
F
G
ABCDP − ABCD 2 PA
ABCD 2=PA A FPCAFEPBAE 于于 ⊥⊥ , EF
AEFPC 面⊥
AEF PD G AEFGP −参考答案
BDABA ACDDD AA
13． 14．1 15．丙 16．
17（1）依题意，由 ，可得 ，
为 的中点， ，故 ，
所以 ，故 .
（2）因为 ，
由余弦定理可得，
① 时， 为直角三角形；
②当 时，即 ，
因为 ，故 ， 为直角三角形
③因为 ，所以 与 不可能同时成立，故 不可能是等腰直角三角形，
综上所述， 为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形.
18．（1） 成等差数列， ，即 .
则 ，解得 .
（2）由（1）得 ，
，
，解得 ，
3
19 3
2
, 22B a c
π= = 2sin
5
A =
D AC 2B
π= BD AD=
2BDC A∠ = 2 3cos cos2 1 2sin 5BDC A A∠ = = − = −
( )2 2 2 2 22 2 cosb c A b c a− = + −
( )2 22 2 cos 2 cosb c A bc A− =
cos 0A = ,2A ABC
π= ∆
( )2 22 2 cos 2b c A bc− = ( )( )2 22 0 2 0b bc c b c b c− − = ⇒ + − =
, 0b c > 2b c= ABC∆
2a c= 2b c=
2A
π= ABC∆
ABC∆
1 2 2
34 2a a a、 、 1 2 24 3a a a∴ + = 1 24 2 , 2a a q= ∴ =
( )6
1
6
1 2
211 2
a
S
−
= =−
1
1
1 2,3 3
n
na a
−
= ∴ =
( )1
1 1 7, 2 13 3 3n
na b n
− − = − ∴ = + − − =
( ) 21 132 12 3 6n
n n nT n n
− = + − − =
( )( )1 140 06n n
n nT b
− −− > ⇒ − > ( )*1 14n n N< < ∈即不等式 的解集为 .
19、(1)过 A 点作 AE 于 E，则 AE= ,
则
（2）
所以
因此由 得
20、（Ⅰ）证明： PA⊥面 ABCD,BC 在面 ABCD 内，
∴ PA⊥BC BA⊥BC,PA∩BA=A,∴BC⊥面 PAB，
又∵AE 在面 PAB 内∴ BC⊥AE AE⊥PB,BC∩PB=B,
∴AE⊥面 PBC 又∵PC 在面 PBC 内 AE⊥PC, AF⊥PC, AE∩AF=A,
∴PC⊥面 AEF 6 分
（Ⅱ） PC⊥面 AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面 PDC,
∵GF 在面 PDC 内∴AG⊥GF △AGF 是直角三角形，
由（1）可知△AEF 是直角三角形，AE=AG= ,EF=GF= ∴ ,
又 AF= ,∴ , PF=
∴ 13 分
考点：线面垂直的证明，体积求解.
21、（1） ， ， ，
，
0n nT b− > *{ |1 14}n N n∈ < <
BD⊥ 2AB45 sin 2
=
1 2
2 4ADC AE DC∆ = =的面积
, 2 , 3 ,DC a BD a AC a= = =设 则
3cos ,3
ACACB BC
∠ = =
2 2 2 2 cosAD AC CD AC CD ACB= + − ⋅ ⋅ ∠
2 2 2 23(4 2) 3 2 3 16, 4, 4.3a a a a a a DC= + − × ⋅ ⋅ ∴ = = =
∴
2 3
6
3
3=∆AEFS 3
3=AGFS
3
62
3
32=AEFGS 3
32
9
4
3
32
3
32
3
1 =××=−AEFGPV则曲线在 处的切线方程为 .
（2）
的根为 ，
，
当 时， ， 在 递减，无极值；
当 时， ， 在 递减，在 递增；
为 的极大值，
令 ， ，
在 上递增， ，
不存在实数 ，使 的极大值为 .
22．（I）函数的定义域为 .
因为 ， 1 分
令 ，解得 ， 2 分
当 时， ；当 时， ， 3 分
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 4 分
故 在 处取得极小值 . 5 分
（II）由 知， . 6 分
①若 ，则当 时， ，
即 与已知条件矛盾； 7 分②若 ，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ， 9 分
所以要使得不等式恒成立，只需 即可，
再令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增，即 ，所以 ，
综上所述， 的取值集合为 . 12 分
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