一轮复习第一阶段检测（一）
一、单选题（每题 5 分，共 60 分）
1．已知全集 ，集合 ， ，则 等于
A． B．
C． D．
2．设复数 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A． B． 的充要条件是
C． D． 是 的充分条件
4．设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A．-5 B．-1 C．5 D．11
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则
A． B． C．2 D．
2(2 )z i= − z
3 4i+ 3 4i− 5 4i− 5 4i+
x y
2 1 0
2 7 0
2 3 5 0
x y
x y
x y
− − ≥
+ − ≤
+ − ≥
z 2x 3y= -
3tan 4 4
πα + =
2cos 4
π α − =
7
25
9
25
16
25
24
258．已知函数 ，为了得到函数 的图象，只要将 的图象
（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
9．函数 的图象大致为 （ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，三棱锥 的底面是以 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面 与底面
垂直，若以垂直于平面 的方向作为正视图的方向，垂直于平面 的方向为俯视图的
方向，已知其正视图的面积为 ，则其侧视图的面积是（ ）
A． B． C． D．3
11．设 （为常数），且 的最小值为 ，则的值为（ ）
lny x x=
V ABC− B VAC
ABC VAC ABC
2 3
3
2 3 2 3A． B． C． D．
12．已知函数 满足 ，则 的单调递增区间为
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知递增的等差数列 中， ， ，则数列 前 10 项的和为
__________．
14．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为__________．
15．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ，
则 __________
16．已知正方体 的棱长为 2，线段 分别在 ， 上移动，且
，则三棱锥 的体积最大值为__________.
三、解答题
17．（10 分）已知等差数列 的前 n 项和 ，且 .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）令 ，求数列 的前 n 项和 ．
18 ． （ 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
19．（12 分）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，等比数列 的首项为 1，公
比为 （ ），且 ， ， 成等差数列．
{ }na 1 6 11a a = 3 4 12a a+ = { }na 10S =
(1, 3)a = (3, 3 3)b = − b a
ABC∆ CBA ,, cba ,, 22,32 == ca b
c
B
A 2
tan
tan1 =+
=∠C
1 1 1 1ABCD A B C D− EF,GH AB 1CC
1
2EF GH+ = EFGH
{ }na nS 4 39, 15a S= =
{ }na na
( )( ) ( )*2 ,1 1n
n n
b n Na a
= ∈− + { }nb nT
ABC∆ A B C a b c
tan tan 3 3tan tanA B A B+ + =
C
3c = ABC∆ 3 3
2
ABC∆（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
20．（12 分）如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，侧面 底面 ，其中 ，
， ， .
（Ⅰ） 是 上一点，求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
21．（12 分）（本小题满分 12 分）某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年
收益为 21 万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用 2 万元，
第二年各种费用 4 万元，以后每年各种费用都增加 2 万元.
（1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
22．（12 分）设函数 的单调减区间是 。
（1）求 的解析式；
（2）若对任意的 ，关于 的不等式 在
时有解，求实数 的取值范围。
( ) 3 2 1f x x bx cx= + + + ( )1,2
( )f x
( ]0,2m∈ x ( ) 31 ln 32f x m m m mt< − ⋅ − +
[ )2,x∈ +∞ t参考答案
1．A
【解析】
【分析】
首先求出集合 A 和集合 B，再进行补集和交集的运算即可求解此题．
【详解】
因 或 ，
故 ，
所以 ，
本题选择 A 选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，结合的交并补运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
2．A
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，故选 A．
考点：1、复数的运算；2、共轭复数．
3．D
【解析】试题分析：由指数函数的值域可知 恒成立，所以 A 选项为假命题；
的充要条件是 或 ，所以 B 选项为假命题；
当 时 ，所以 C 选项为假命题；
，但 时不妨可取 此时不满足 ，所以
2(2 ) 4 4 1 3 4z i i i= − = − − = − 3 4z i= +是 的充分条件．故 D 正确．
考点：命题的真假判断．
4．A
【解析】
【分析】
作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.
【详解】
作出可行域，当直线 经过点 时， .选 A.
【点睛】
本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
5．B
【 解 析 】 ， 解 得 ， 故
， 其 中
，故 .
点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，
考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得 ，然后利用
降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，
2 3z x y= − ( )A 2,3 min 2 2 3 3 5z = × − × = −
π 1 tan 3tan 4 1 tan 4
αα α
+ + = = −
1tan 7
α = −
2
π1 cos 2π 1 sin2 12cos sin cos4 2 2 2
α αα α α
+ − + − = = = +
2 2 2
sin cos tan 7sin cos sin cos tan 1 50
α α αα α α α α= = = −+ +
1 9sin cos2 25
α α+ =
tanα如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出 选项.
6．D
【解析】分析：由题意首先取得 sinB 的值，然后结合题意和同角三角函数基本关系求解 cosB
的值即可.
详解：由正弦定理可得： ，
，则 ，
据此有： .
本题选择 D 选项.
点睛：本题主要考查正弦定理的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
7．D
【解析】试题分析：根据等比数列的性质，由 可得 ，即 ，又因
为公比为正数， ，所以 ，故选 C．
考点：等比数列的性质．
8．D
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.
【详解】
注意到 ，
故得到函数 的图象，只要将 的图象向右平移 个单位长度.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.
,A C9．B
【解析】
试题分析：由函数解析式可知，函数的定义域为 ，排除 C、D；值域为 ，
排除 A,故选 B.
考点：函数的定义域、值域与函数的图象.
10．B
【 解 析 】 设 三 棱 锥 的 高 为 ， 边 ， 则 ：
，
侧视图： .
本题选择 B 选项.
11．C
【解析】分析：先由题得到 ，再把 化成
，再利用基本不等式求函数的最小值.
详解：由题得 ，
所以 =
点睛: (1)本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对该基础知识的掌握水平和转化能
力.(2) 本题的解题关键是常量代换，即把 化成 ，再利用基
本不等式求函数的最小值.
12．D
【解析】
【分析】
{ }| 0x x > { }| 0y y ≥
h 2AB BC a= =
1 2 32 , 2 32AC a S a h h a
= = × × = ⇒ =正视图
1 2 3 32 2
aS ah a
= = × =侧视图对函数 进行求导运算，将 和 分别代入原函数和导函数，可以求得 和 的取
值，得到 的解析式，利用导数的知识求得 的单调递增区间。
【详解】
由题意得：
令 ，可得：
令 ，可得：
.
所以 为增函数，又
当 时， ，即 在 上单调递增
本题正确选项：
【点睛】
本题考察了导数运算的问题。解题关键在于求解出 的解析式，需要明确的是 与 表示
的都是固定的常数。
13．100
【解析】 ， ．
14．-3
【解析】
【分析】
根据 在 方向上的投影公式，列式求得 在 方向上的投影.
【详解】
在 方向上的投影为 .
【点睛】
( ) 1
1 1
1
0 1{ 5 11 { 22 5 12
d aa a d da d
> =+ = ⇒ =+ =
10
110 1 10 9 2 1002S = × + × × × =
b a b a
b a
( )
( )22
1 3 3 3 3 6 321 3
a b
a
× + × −⋅ −= = = −
+本小题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的计算，考查向量的数量积的坐标表示，属
于基础题.
15．
【解析】
试题分析：根据题意，由于 中，角 所对的边分别为 ，已知
， ，则有
,那么可知
考点：解三角形
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题。
16．
【解析】
试题分析：如图：
有
=
当且仅当 EF=GH= 时取得等号．
故答案为： ．
考点：1．几何体的体积；2．基本不等式．
4
π
ABC∆ CBA ,, cba ,,
22,32 == ca b
c
B
A 2
tan
tan1 =+
sin cos 2 2sin 21 2sin 2 coscos sin sin 2
A B c C C CA B b B
+ = = ∴ = ∴ = =∠C 4
π
48
1
EFCGEFCHEFGH VVV −− −=
CGBCEFCHBCEF ××××−××××=
2
1
3
1
2
1
3
1
2
23
1
3
1
+≤×= GHEFGHEF
48
1
4
1
48
117．（1） ；（2）
【解析】试题分析：（1）设等差数列 的首项 、公差 ，由 列出关于首
项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（2））
由（1）可知 ，利用裂项相消法可求数列 的前 n 项和
.
试题解析：（1）依题意：设等差数列的首项为 ，公差为 ，则 解得
所以数列 的通项公式为
（2）由（1）可知
因为 ，所以 ，
所以
【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点
的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）
； （3） ；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容
易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18．（1） （2）
2 1na n= +
2 2n
nT n
= +
{ }na 1a d 4 39, 15a S= =
1a d 1a d { }na
( )
2 1 1 1
2 2 2 2 1nb n n n n
= = − + +
{ }nb
nT
1a d 4 1
3 1
3 9{ 3 3 15
a a d
S a d
= + =
= + =
1 3{ 2
a
d
=
=
{ }na 2 1na n= +
( )
2 1 1 1
2 2 2 2 1nb n n n n
= = − + +
1 2 3n nT b b b b= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 112 2 2 3 3 4 1nT n n
= − + − + − + + − +
1 112 1 2 2n
nT n n
= − = + +
( )
1 1 1 1
n n k k n n k
= − + +
1
n k n+ + ( )1 n k nk
= + − ( )( )
1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n
= − − + − +
( )( )
1 1
1 2 2n n n
=+ + ( ) ( )( )
1 1
1 1 2n n n n
− + + +
3
π
3 3 3+【解析】【试题分析】（1）利用已知计算 ，即可得 .（2）利用余弦
定理和三角形面积公式建立方程组，解方程组可求得 的值，进而求得周长.
【试题解析】
（1）由 得
，
又 ，则 ，故 .
另解：由已知得 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，故 .
（2）由余弦定理及（1），得 ，则 ，
又 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 的周长为 .
19．(1) ；(2) .
【解析】分析：第一问首先将 代入题中所给的式子，求得 ，之后类比着写出 时
对应的式子，两式相减求得 ，从而确定出数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数
列，进一步求得其通项公式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列
求得其通项公式，之后观察 是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，
利用错位相减法求和即可.
详解：（1）当 时， ，
即 ，
( )tan 3A B+ = − π
3C =
a b+
tan tan 3 3tan ·tanA B A B+ + =
( ) tan tan 3tan tan 3tan 31 tan tan 1 tan tan
A B A BA B A B A B
+ −+ = = = −− −
0 A B π< + < 2
3A B
π+ = ( )
3C A B
ππ= − + =
sin sin 3sin sin3cos cos cos cos
A B A B
A B A B
+ + =
( ) ( )sin 3cos 0A B A B+ + + = ( )tan 3A B+ = −
0 A B π< + < 2
3A B
π+ = ( )
3C A B
ππ= − + =
2 2 2 2 cos 3c a b ab
π= + − 2 2 9a b ab+ − =
1 3 3 3sin2 4 2ABCS ab C ab∆ = = = 6ab =
( )2 2 2 2 9 2 27a b a b ab ab ab+ = + + = + + = 3 3a b+ =
ABC∆ 3 3 3+因为 ，所以 ，
当 时， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，
所以 ．
（2）因为数列 首项为 1，公比为 的等比数列， ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
，①
则 ，②
由① ②得
，
所以 ．
点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式、等比数列的
通项公式、数列的项与和的关系以及错位相减法求和，在解题的过程中，需要对基础知识牢
固掌握，再者就是根据题的条件，对所求出的量进行取舍，最后在求和时，最后对应的那个
等比数列一定要明确项数.
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由勾股定理得 ，再由平面 平面 ，得 平面，得证；（Ⅱ）由 ，得 .
试题解析：（Ⅰ） 在 中， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面
平面
平面 平面
（Ⅱ）取 中点 ，由 为等边三角形得
平面 平面 ， 平面 ，
又因为 中， ，在 中， 边上的高
三棱锥 的体积为 .考点：空间中的位置关系、体积计算．
21．（1）从第 2 年该公司开始获利
（2）这种设备使用 5 年，该公司的年平均获利最大
【解析】分析：（1）由题意可知，每年的费用是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，所以可
以设出纯收益和使用年数 n 的关系式，由此求出引进设备后获利时间；（2）根据年平均收益
函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值.
详解：（1）由题意知，每年的费用是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，设纯收入与年数 n
的关系为 f(n),则 f(n)=21n-[2n+ ]-25=20n-n2-25……………………3 分
由 f(n)>0 得 n2-20n+25
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