修远中学 2019-2020 学年度第一学期第一次阶段测试
高三数学试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把
答案写在答题卡的指定位置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲ .
2.命题“ ”的否定为 ▲ .
3．已知向量 且 则 ▲ .
4．若函数 ，则 ▲ .
5.函数 的定义域是 ▲ .
6．已知 ，则 的最小值为 ▲ .
7.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，则
▲ .
8.已知 ，则 的值是 ▲ .
9.已知函数 的零点在区间 内，则正整数 的值为 ▲ .
10．在△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2 3，点 D 满足→
DC ＝2→
BD ，则→
AD ·→
DC 的值为 ▲_____．
11.已知函数 则不等式 的解集为 ▲ .
12.已知函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围是
▲ .
13、设函数 ,若关于 x 的方程 有四个不同的解 ，
且 ，则 的取值范围是 ▲ .
14．已知 ，设函数 ，若关于 x 的不等式 在
{ 1,0,1,6}A = − { | 0, }B x x x= > ∈R A B =
2
0 0 0, 1 0x x x∃ ∈ + + 4
1x x
+ −
( )cos 3 cosa B c b A= − =Acos
3
1)6sin( =+ π
x )3(sin)6
5sin( 2 xx −+− ππ
( ) ln 4f x x x= + − ( )1k k +， k
( ) 3 21
3f x ax x x= − + ( )0,2 a
>
≤+
=
0,log
0,1
)(
4 xx
xx
xf axf =)( 4321 ,,, xxxx
4321 xxxx a
)()(2 xkgxf < ),1( +∞∈x k一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答
题卡的指定位置上．
1．
2.
3．【答案】8
4．答案：2
5.
6． 5
7.【答案】
8.
9.【答案】2
10．－
4
3
11.
【答案】
12
【答案】
13、
14．【解析】当 时， 恒成立
当 时， 恒成立
令
{1,6}
2
00 0, 1 0x x x∀ ∈ + + ≥R
[ 1,7]−
1
3
9
5
1a≥
2
7,1- ，
1x = (1) 1 2 2 1 0f a a= − + = >
1x <
2
2( ) 2 2 0 2 1
xf x x ax a a x
= − + ≥ ⇔ ≥ −
2 2 2 2(1 1) (1 ) 2(1 ) 1( ) 1 1 1 1
x x x x xg x x x x x
− − − − − += = − = − = −− − − −
∴
∴
当 时， 恒成立
令 ，则
当 时， ， 递增
当 时， ， 递减
∴ 时， 取得最小值
∴
综上 的取值范围是
【答案】
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内．
15.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）通过 ∥ ，得到关于 的方程，结合 ，得到 的值；（2）利用
数 量 积 的 定 义 可 得 ， 令 ， 则 ， 故
可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.
1 1(1 2) (2 (1 ) 2) 01 1x xx x
= − − + − ≤ − − ⋅ − =− −
max2 ( ) 0a g x≥ =
0a ≥
1x > ( ) ln 0 ln
xf x x a x a x
= − ≥ ⇔ ≤
( ) ln
xh x x
= 2 2
1ln ln 1( ) (ln ) (ln )
x x xxh x x x
− ⋅ −′ = =
x e> ( ) 0h x′ > ( )h x
1 x e< < ( ) 0h x′ < ( )h x
x e= ( )h x ( )h e e=
min( )a h x e≤ =
a [ ]0,e
[ ]0,e
π
3x = 2
10
−
m n x π0 3x ， ∈ x
π 3sin 6 5x + =
π
6xθ = + π
6x θ= −
π πsin sin12 4x θ − = − 试题解析：（1）因为 ， ，且 ∥ ，所以
，
即 ， ………………………4 分
又 ，所以 ．………………………6 分
（2）因为 ， ，且 ，所以 ，
即 ， ………………………9 分
令 ，则 ，且 ，因为 ，故 ，所以
，………………………11 分
所以
． ………………………14 分
16.
【答案】（1） 或 （2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）当直线 的斜率不存在时，直线 满足题意，当直线 的斜率存在时，设切线方程为
，圆心到直线的距离等于半径，列式子求解即可求出 ，即可得到切线方程；
（2）设直线 ： ，代入圆 的方程，可得到关于 的一元二次方程，设
， ，且 ，直线 与 的斜率之和为 ，
( )sin cosm x x= ， 3 1
2 2n
=
， m n
1 3sin cos2 2x x⋅ = ⋅
tan 3x =
π0 3x ， ∈
π
3x =
( )sin cosm x x= ， 3 1
2 2n
=
， 3
5m n⋅ = 3 1 3sin cos2 2 5x x+ =
π 3sin 6 5x + =
π
6xθ = + π
6x θ= − 3sin 5
θ = π0 3x ， ∈
π π
6 2
θ ∈ ，
2
2 3 4cos 1 sin 1 5 5
θ θ = − = − =
π π π π π πsin sin sin sin cos cos sin12 6 12 4 4 4x θ θ θ θ − = − − = − = −
3 2 4 2 2
5 2 5 2 10
= × − × = −
3x = 5 12 21 0x y+ + =
l 3x = l
( )3 3y m x+ = − m
AB ( )3 3y k x+ = − C k
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3,0P PA PB 1 2
1 23 3PA PB
y yk k x x
+ = +− −代入根与系数关系整理可得到所求定值。
【详解】（1）当直线 的斜率不存在时，显然直线 与圆 相切………………………2 分
当直线 的斜率存在时，设切线方程为 ，
圆心到直线的距离等于半径，即 ，解得 ，
切线方程为： ，………………………5 分
综上，过点 且与圆 相切的直线的方程是 或
………………………6 分
（2）圆 ： 与 轴正半轴的交点为 ，依题意可得直线 的斜率存
在且不为 0，设直线 ： ，代入圆 ： ，
整理得： .………………………8 分
设 ， ，且
∴ ， ………………………10 分
∴直线 与 的斜率之和为
为定值. ………………………14 分
【点睛】本题考查了圆的切线，考查了直线方程，考查了点到直线的距离公式，考查了斜率，
考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于难题。
17．
【解答】（1）在△ABC 中，因为 ， ，
所以 ．…………………………………………………2 分
因为 ，
由正弦定理 ，得 ．
l 3x = C
l ( )3 3y m x+ = −
2
3 3 2
1
m m
m
− − =
+
5
12m = −
5 12 21 0x y+ + =
( )3, 3M − C 3x =
5 12 21 0x y+ + =
C ( )2 21 4x y− + = x ( )3,0P AB
AB ( )3 3y k x+ = − C ( )2 21 4x y− + =
( ) ( ) ( )22 2 21 2 3 3 1 9 1 3 0k x k k x k+ − + + + + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3,0P
( )2
1 2 2
2 3 3 1
1
k k
x x k
+ +
+ = +
( )2
1 2 2
9 1 3
1
kx x k
+ −= +
PA PB
1 2
1 23 3PA PB
y yk k x x
+ = +− −
( ) ( )1 2
1 2
3 3 3 3
3 3
k x k x
x x
− − − −= +− − ( )1 2
1 2 1 2
62 3 3 9
x xk x x x x
+ −= − × − + +
6 4 42 3 3
kk
−= − =
3cos 3A = 0 π< a
a ),2( +∞
xt 3= 0>x 1>t 04
1)2
1(93 22
0
2
a
a或 ， ………………………15 分
所以，所求实数 的取值范围是 ． ………………………16 分
19、解：（1）由 ， ， ，
则 ， ，所以 ， ………………4 分
所以 , . ………………8 分
（注：表达式 2 分， 的的取值范围 1 分）
(2) ， ………………10 分
令 ,得 ，又 ，所以 ， ………………112 分
当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数.
………………114 分
所以，当 时， ，此时 . ………………15 分
答：当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………16 分
20. 解（1）设切点(x0，y0)，f'(x)＝
1
x
.
所以{ y0＝lnx0
y0＝kx0＋1
k＝
1
x0
所以 x0＝e2，k＝
1
e2
. ………………………3 分
（2）因为 g(x)＝x－
1
x
在(0，＋∞)上单调递增，且 g(1)＝0．
所以 h(x)＝f(x)－|g(x)|＝lnx－|x－
1
x
|＝
200
2 ≤≤⇒
≥
≤
aa
a
a ]2,0[
DAO θ∠ = OC AB⊥ 1OA OB= =
1
cosDA DB θ= = tanDO θ= 1 tanDC θ= −
2 2 sin1 tan 1cos cosy DA DB DC
θθθ θ
−= + + = + − = + 0 4
πθ< <
θ
2
2sin 1
cosy
θ
θ
−′ =
0y′ = 1sin 2
θ = 0 4
πθ< <
6
πθ =
0 6
πθ< < 0y′ < y θ
6 4
π πθ< < 0y′ > y θ
6
πθ = min 3 1y = + 3tan 3DO θ= =
3 km3
≥+−
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