江苏省沭阳县修远中学2020届高三9月月考数学（文）试题（带答案）.doc

修远中学 2019-2020 学年度第一学期第一次阶段测试 高三数学试题 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把 答案写在答题卡的指定位置上． 1．已知集合 ， ，则 ▲ ． 2.命题“ ”的否定为 ▲ ． 3．若函数 ，则 ▲ ． 4．已知 ，则 的最小值为 ▲ ． 5．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 ▲ ． 6．已知函数 是奇函数，当 时， ，且 ，则 = ▲ ． 7.已知 ，则 的值是 ▲ ． 8.已知函数 的零点在区间 内，则正整数 的值为 ▲ ． 9 ． 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 2 ， BC ＝ 2 3， 点 D 满 足 → DC ＝ 2→ BD ， 则 → AD · → DC 的 值 为 ▲ ． 10.在公差 d 不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a9 成等比数列，则 的值为 ▲ ． 11．正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为 ▲________． 12.已知函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围是 ▲ ． 13、设函数 ,若关于 x 的方程 有四个不同的解 ， 且 ，则 的取值范围是 ▲ ． )(xfy = 0 ∈R A B = 2 0 0 0, 1 0x x x∃ ∈ + + 4 1x x + − ,x y 1 0 1 0 3 0 x x y x y − ≤  + + ≥  − + ≥ 2z x y= + 3 1)6sin( =+ π x )3(sin)6 5sin( 2 xx −+− ππ ( ) ln 4f x x x= + − ( )1k k +， k d a1 ( ) 3 21 3f x ax x x= − + ( )0,2 a    > ≤+ = 0,log 0,1 )( 4 xx xx xf axf =)( 4321 ,,, xxxx 4321 xxxx 1x < 2 2( ) 2 2 0 2 1 xf x x ax a a x = − + ≥ ⇔ ≥ − 2 2 2 2(1 1) (1 ) 2(1 ) 1( ) 1 1 1 1 x x x x xg x x x x x − − − − − += = − = − = −− − − − 1 1(1 2) (2 (1 ) 2) 01 1x xx x = − − + − ≤ − − ⋅ − =− − max2 ( ) 0a g x≥ = 0a ≥当 时， 恒成立 令 ，则 当 时， ， 递增 当 时， ， 递减 ∴ 时， 取得最小值 ∴ 综上 的取值范围是 【答案】 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的指定区域内． 15. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）通过 ∥ ，得到关于 的方程，结合 ，得到 的值；（2）利用 数 量 积 的 定 义 可 得 ， 令 ， 则 ， 故 可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果. 试题解析：（1）因为 ， ，且 ∥ ，所以 ， 1x > ( ) ln 0 ln xf x x a x a x = − ≥ ⇔ ≤ ( ) ln xh x x = 2 2 1ln ln 1( ) (ln ) (ln ) x x xxh x x x − ⋅ −′ = = x e> ( ) 0h x′ > ( )h x 1 x e< < ( ) 0h x′ < ( )h x x e= ( )h x ( )h e e= min( )a h x e≤ = a [ ]0,e [ ]0,e π 3x = 2 10 − m n x π0 3x ， ∈   x π 3sin 6 5x + =   π 6xθ = + π 6x θ= − π πsin sin12 4x θ   − = −       ( )sin cosm x x= ， 3 1 2 2n  =      ， m n 1 3sin cos2 2x x⋅ = ⋅即 ， ………………………4 分 又 ，所以 ．………………………6 分 （2）因为 ， ，且 ，所以 ， 即 ， ………………………9 分 令 ，则 ，且 ，因为 ，故 ，所以 ，………………………11 分 所以 ． ………………………14 分 16. 证明：（1）在直三棱柱 中， ， ……2 分 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……4 分 又 平面 ，平面 平面 ，所以 . ……6 分 （2）在直三棱柱 中， 平面 ， 又 平面 ，故 . ……8 分 又 ，故 . ……10 分 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， ……12 分 又 平面 ， 所以平面 平面 . ……14 分 tan 3x = π0 3x ， ∈   π 3x = ( )sin cosm x x= ， 3 1 2 2n  =      ， 3 5m n⋅ =  3 1 3sin cos2 2 5x x+ = π 3sin 6 5x + =   π 6xθ = + π 6x θ= − 3sin 5 θ = π0 3x ， ∈   π π 6 2 θ  ∈  ， 2 2 3 4cos 1 sin 1 5 5 θ θ  = − = − =   π π π π π πsin sin sin sin cos cos sin12 6 12 4 4 4x θ θ θ θ     − = − − = − = −           3 2 4 2 2 5 2 5 2 10 = × − × = − 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /AB A B AB ⊄ 1 1A B D EF ⊂ 1 1A B D / /AB 1 1A B D AB ⊂ 1ABC 1 1A B D  1ABC EF= / /AB EF 1 1 1ABC A B C− 1B B ⊥ 1 1 1A B C 1 1A B ⊂ 1 1 1A B C 1 1 1B B A B⊥ AB BC⊥ 1 1 1 1A B B C⊥ 1 1 1 1B B B C B= 1B B ⊂ 1 1B BCC 1 1B C ⊂ 1 1B BCC 1 1A B ⊥ 1 1B BCC 1 1A B ⊂ 1 1A B D 1 1A B D ⊥ 1 1B BCC17、解：（1）由 ， ， ， 则 ， ，所以 ， ………………4 分 所以 , . ………………7 分 （注：表达式 2 分， 的的取值范围 1 分） (2) ， ………………9 分 令 ,得 ，又 ，所以 ， ………………10 分 当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数. ………………12 分 所以，当 时， ，此时 . ………………13 分 答：当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边 处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14 分 18. 解：（1）由题意知， 对一切实数 恒成立， 若 ，不合题意，舍去； ………………………2 分 若 ，由 ，解得 ； ………………………5 分 综上，实数 的取值范围是 ． ………………………6 分 （2）设 ，因为 ，所以 ，则 ，所以使得 命题 为真的实数 的取值范围是 ； ………………………9 DAO θ∠ = OC AB⊥ 1OA OB= = 1 cosDA DB θ= = tanDO θ= 1 tanDC θ= − 2 2 sin1 tan 1cos cosy DA DB DC θθθ θ −= + + = + − = + 0 4 πθ< < θ 2 2sin 1 cosy θ θ −′ = 0y′ = 1sin 2 θ = 0 4 πθ< < 6 πθ = 0 6 πθ< < 0y′ < y θ 6 4 π πθ< < 0y′ > y θ 6 πθ = min 3 1y = + 3tan 3DO θ= = 3 km3 016 12 >+− axax x 0=a 0≠a    0 0a 2>a a ),2( +∞ xt 3= 0>x 1>t 04 1)2 1(93 22 0 2 a a 200 2 ≤≤⇒    ≥ ≤ aa a a ]2,0[ 3n = ( )1 3 3 1 2 3 3 2 a aA a a a += + + = 1 1a = 3 5a = 2 3a = ( )1 2 n n n a aA += ( )1 1 1 ( 1) 2 n n n a aA + + + += 1 1 1 ( 1) 2 n n n a n a naa + + + + −= 1 1( 1) 0n nn a na a+− − + = 2 1 1( 1) 0n nna n a a+ +− + + = 1 22 n n na a a+ += + { }na 1 1 2m k ma b a −= = ⋅ 86k mA B= 1 1862 1 k ma a a qak q + −× = × − 1 1 1 1 12 2862 1 2 m ma a a ak −+ ⋅ −× = × − 12 862 24 86 m k ×= −× − 1 516344 2 1mk −− = + 92 512= 3m ≥ 2 1 9m≤ − ≤ 516 4 129 4 3 43= × = × × 12 1m− + 12 1 129m− + = 1 516 2 1m− + 1 7m − = 8m = 340k =20. 解（1）设切点(x0，y0)，f'(x)＝ 1 x . 所以{ y0＝lnx0 y0＝kx0＋1 k＝ 1 x0 所以 x0＝e2，k＝ 1 e2 . ………………………3 分 （2）因为 g(x)＝x－ 1 x 在(0，＋∞)上单调递增，且 g(1)＝0． 所以 h(x)＝f(x)－|g(x)|＝lnx－|x－ 1 x |＝ 当 0＜x＜1 时，h(x)＝lnx＋x－ 1 x ，h'(x)＝ 1 x ＋1＋ 1 x2 ＞0， 当 x≥1 时，h(x)＝lnx－x＋ 1 x ，h'(x)＝ 1 x －1－ 1 x2 ＝ －x2＋x－1 x2 ＜0， 所 以 h(x) 在 (0 ， 1) 上 单 调 递 增 ， 在 (1 ， ＋ ∞ ) 上 单 调 递 减 ， 且 h(x)max ＝ h(1) ＝ 0．…………………6 分 当 0＜a＜1 时，h(x)max＝h(1)＝0； 当 a ≥ 1 时 ， h(x)max ＝ h(a) ＝ lna － a ＋ 1 a ． ………………………9 分 （3）令 F(x)＝2lnx－k(x－ 1 x )，x∈(1，＋∞)． 所以 F' (x)＝ 2 x －k(1＋ 1 x2 )＝ －kx2＋2x－k x2 ．设φ(x)＝－kx2＋2x－k， ①当 k≤0 时，F'(x)＞0，所以 F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又 F(1)＝0， 所 以 不 成 立； ………………………11 分 ②当 k＞0 时，对称轴 x0＝ 1 k ，      ≥+−