八中3理数试卷.pdf

秘密 　 ★　 启用前 启慧·衡阳市八中 ２０２０ 届高三月考试题（三） 数学（理科） 命题人：蒋金元 　 　 审题人：唐志军 　 赵永益 注意事项： １ư 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓 名、准考证号和科目。 ２ư 考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。 考生在 答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 ３ư 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 ４ư 本试题卷共 ４ 页。 如缺页，考生须声明，否则后果自负。 ５ư 时量 １２０ 分钟，满分 １５０ 分。 一、选择题（本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分 ． 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） １ư 已知集合 Ａ ＝ １，３， ｍ{ }，Ｂ ＝ １，ｍ{ } ，若集合 Ａ∩Ｂ 有 ４ 个子集，则实数 ｍ ＝ （　 　 ） Ａư ０、１ 或 ３　 　 　 　 　 Ｂư １ 或 ３　 　 　 　 　 Ｃư １ 或 ３　 　 　 　 　 Ｄư ０ 或 ３ ２ư 已知复数 ｚ ＝ １ ３ ＋ ４ｉ，则下列说法正确的是（　 　 ） Ａư 复数 ｚ 的实部为 ３ Ｂư 复数 ｚ 的共轭复数为： ３ ２５ ＋ ４ ２５ ｉ Ｃư 复数 ｚ 的虚部为： － ４ ２５ ｉ Ｄư 复数 ｚ 的模为 ５ ３ư 若向量ａ→ ＝ （１，２），ｂ→ ＝ （１， － １），则 ２ ａ→ ＋ ｂ→与ａ→ － ｂ→的夹角等于（　 　 ） Ａư － π ４ Ｂư π ６ Ｃư π ４ Ｄư ３π ４ ４ư 下列命题中，真命题是（　 　 ） Ａư ａ ＋ ｂ ＝ ０ 的充要条件是 ａ ｂ ＝ － １ Ｂư ａ ＞ １，ｂ ＞ １ 是 ａｂ ＞ １ 的充分条件 Ｃư ∃ｘ ０ ∈Ｒ，ｅｘ ０ ≤０ Ｄư ∀ｘ∈Ｒ，２ ｘ ＞ ｘ２ ５ư （１ ＋ ｔａｎ １７°）（１ ＋ ｔａｎ ２８°）的值是（　 　 ） Ａư ２ Ｂư １ Ｃư ０ Ｄư － １ ６ư 已知数列｛ａｎ ｝的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ ２ ｎ － １，则数列｛ｌｏｇ２ ａｎ ｝的前 １１ 项和等于（　 　 ） Ａư ３５ Ｂư ４５ Ｃư ５５ Ｄư １０２３ ７ư 已知椭圆ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １ （０ ＜ ｂ ＜ ２）的左、右焦点分别为 Ｆ １ ，Ｆ ２ ，过 Ｆ １ 的直线交椭圆于 Ａ，Ｂ 两 点，若 ＢＦ ２ ＋ ＡＦ ２ 的最大值为 ５，则 ｂ 的值为（　 　 ） Ａư １ Ｂư ２ Ｃư ３ Ｄư ３ ３ —数学（理科）月考试卷（三）　 第 １ 页（共 ４ 页）—８ư 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ３ｓｉｎ２ｘ － ２ｃｏｓ ２ ｘ ＋ １，将 ｆ（ｘ）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 １ ２ ，纵 坐标保持不变；再把所得图像向上平移 １ 个单位长度，得到函数 ｙ ＝ ｇ （ ｘ） 的图像，若 ｇ（ｘ １ ）·ｇ（ｘ ２ ） ＝ ９，则 ｘ １ － ｘ ２ 的值可能为（　 　 ） Ａư ３π ４ Ｂư ５π ４ Ｃư π ３ Ｄư π ２ ９ư 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 ｆ（ｘ） ＝ １，ｘ 为有理数 ０，ｘ 为无理数{ ， 称为狄利克雷函数，则关于函数 ｆ（ｘ）有以下四个命题： ①ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ １； ②函数 ｆ（ｘ）是偶函数； ③任意一个非零有理数 Ｔ，ｆ（ｘ ＋ Ｔ） ＝ ｆ（ｘ）对任意 ｘ∈Ｒ 恒成立； ④存在三个点 Ａ（ｘ １ ，ｆ（ｘ １ ）），Ｂ（ｘ ２ ，ｆ（ｘ ２ ）），Ｃ（ｘ ３ ，ｆ（ｘ ３ ）），使得△ＡＢＣ 为等边三角形 ư其中真命题的个数是（　 　 ） Ａư ４ Ｂư ２ Ｃư ３ Ｄư １ １０ư 已知函数 ｆ（ｘ） 是定义在 Ｒ 上的奇函数，且满足 ｆ（ｘ） ＋ ｆ（２ － ｘ） ＝ ０ư 若当 ｘ∈［０，１） 时，ｆ（ｘ） ＝ ２ ｘ － １，则 ｆ（ｌｏｇ １ ２ ６）的值为（　 　 ） Ａư － １ ２ － ５ ２ Ｃư － ５ Ｄư － ６ １１ư 已知角 α∈（π，３π ２ ），β∈（０， π ２ ），且满足 ｔａｎαｃｏｓβ ＝ １ ＋ ｓｉｎβ，则 β ＝ （　 　 ）（用 α 表示）ư Ａư ２α － １ ２ π Ｂư ５ ２ π － ２α Ｃư ２α － ５ ２ π Ｄư ２α － ３ ２ π １２ư 函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ） ＝ ｆ ′（ｘ） ＋ ｅｘ ｘ ，ｘ∈ １ ２ ， ＋ ¥[ ö ø ÷ ，ｆ（１） ＝ － ｅ ，若存在 ａ∈［ － ２，１］，使得 ｆ（２ － １ｍ ）≤ａ３ － ３ａ － ２ － ｅ 成立，则 ｍ 的取值（　 　 ） Ａư ２ ３ ， ＋ ¥[ ö ø ÷ Ｂư ２ ３ ，１[ ] Ｃư １， ＋ ¥[ ) Ｄư １ ２ ， ２ ３ [ ] 二、填空题（本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分 ． 把答案填在答题卡中的横线上） １３ư 已知等比数列｛ａｎ｝的各项都为正数，且 ａ ３， １ ２ ａ ５，ａ ４ 成等差数列，则ａ ４ ＋ ａ ６ ａ ３ ＋ ａ ５ 的值是　 　 　 　 ư １４ư 已知椭圆ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）与双曲线ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １ ２ （ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的焦点相同，则双曲线 渐近线方程为：　 　 　 　 　 ư １５ư ２０１９ 年 １０ 月 １ 日，我国举行盛大的建国 ７０ 周年阅兵，能被邀到现场观礼是无比的荣耀 ư 假设如图，在坡度 为 １５°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于 地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆 顶端的仰角分别为 ６０°和 ３０°，且第一排和最后一排的 距离为 １０ ６米，则旗杆的高度为　 　 　 　 　 米 ư １６ư 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ １ － （ｘ － １） ２ ＋ １ ２ － １ － （ｘ ＋ １） ２ ＋ １ ２ ì î í ïï ïï 的图像与函数 ｇ（ｘ） ＝ ｋｘ３ ＋ １ ２ 的图像有三个交点 Ａ、Ｂ、Ｃ，且ＡＢ→ ＋ ＣＢ→ ＝ ０ → ，记三个交点的横坐标之和为 ａ， 纵坐标之和为 ｂ，则∫ ｂ ａ ｆ（ｘ） － １ ２ [ ]ｄｘ ＝ 　 　 　 　 　 ư —数学（理科）月考试卷（三）　 第 ２ 页（共 ４ 页）—三、解答题（本大题共 ６ 小题，共 ７０ 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：６０ 分． １７ư （本小题满分 １２ 分）已知向量ｍ→ ＝ （ ３ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ ＋ π ３ ）），ｎ→ ＝ （ｃｏｓｘ，ｓｉｎ（ｘ ＋ ５π ６ ）），记函数 ｆ（ｘ） ＝ ｍ→ ·ｎ→ ư （１）求不等式 ｆ（ｘ） ＞ １ ４ 的解集； （２）在△ＡＢＣ 中，三个内角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ｆ（ Ａ ２ ） ＝ ３ ４ 且 ｓｉｎＡ、ｓｉｎＢ、ｓｉｎＣ 成等差数列，ｂ ＝ １，求△ＡＢＣ 的面积 Ｓ 的值 ư １８ư （本小题满分 １２ 分）如图所示，已知正方形 ＡＢＣＤ 所在平面垂 直于矩形 ＡＣＥＦ 所在的平面，ＡＢ 与 ＡＣ 的交点为 Ｏ，Ｍ、Ｐ 分别 为 ＡＢ、ＥＦ 的中点，ＡＢ ＝ ２，ＡＦ ＝ １ư （１）求证：平面 ＰＣＤ⊥平面 ＰＣＭư （２）求三棱锥 Ｏ—ＰＣＭ 的高 ư １９ư （本小题满分 １２ 分） 时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚 的美好时刻。 复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期 盼着、都想为校运会出一份力。 小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过 去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组 织者科学地安排提供参考。附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在 ３５００ 人左右；②“参与”人数是指运动员 和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字 １、２、３、４、５ 表示小智同学统 计的五个年份的年份数，今年的年份数是 ６；统计表（一）： 年份数 ｘ １ ２ ３ ４ ５ “参与”人数（ｙ 千人） １ư ９ ２ư ３ ２ư ０ ２ư ５ ２ư ８ 统计表（二） 高一（３）（４）班参加羽毛球比赛的情况： 男生 女生 小计 参加（人数） ２６ ｂ ５０不参加（人数） ｃ ２０小　 计 ４４ １００ （１）请你与小智同学一起根据统计表（一） 所给的数据，求出“参与” 人数 ｙ 关于年份数 ｘ 的线性回归方程 ｙ ＝ ｂ∧ｘ ＋ ａ∧ ，并预估今年的校运会的“参与”人数； （２）学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”ư 如果该 校每届校运会的“参与”人数是互不影响的，且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的，并以这 ６ 个年份中的“体育活跃年” 所占的比例作为任意一年 是“体育活跃年”的概率。 现从过去许多年中随机抽取 ９ 年来研究，记这 ９ 年中“体育 活跃年”的个数为随机变量 ξ，试求随机变量 ξ 的分布列、期望 Ｅ（ξ）和方差 Ｄ（ξ）； —数学（理科）月考试卷（三）　 第 ３ 页（共 ４ 页）—（３）根据统计表（二），请问：你能否有超过 ６０％ 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？ 参考公式和数据一：ｂ∧ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １（ｘｉ － ｘ－ ）（ｙｉ － ｙ－ ） ∑ ｎ ｉ ＝ １（ｘｉ － ｘ） ２ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ ｙｉ － ｎｘｙ－ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ｎ ｘ－ ２ ，ａ∧ ＝ ｙ－ － ｂ∧ ｘ－ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ ５５，∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉ ｙｉ ＝ ３６ư ５ 参考公式二：Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ），其中 ｎ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ｄư 参考数据： Ｐ（Ｋ２ ≥ｋ ０ ） ０ư ５０ ０ư ４０ ０ư ２５ ０ư ０５ ０ư ０２５ ０ư ０１０ｋ ０ ０ư ４５５ ０ư ７０８ １ư ３２３ ３ư ８４１ ５ư ０２４ ６ư ６３５ ２０ư （本小题满分 １２ 分）已知椭圆 Ｃ： ｘ２ ４ ＋ ｙ２ ＝ １ 的左右顶点为 Ａ，Ｂ，点 Ｐ，Ｑ 为椭圆上异于 Ａ，Ｂ 的两点，直线 ＡＰ 与直线 ＢＱ 的斜率分别记为 ｋ １ ，ｋ ２ ，且 ｋ ２ ＝ ４ｋ １ư （Ⅰ）求证：ＢＰ⊥ＢＱ； （Ⅱ）设△ＡＰＱ，△ＢＰＱ 的面积分别为 Ｓ １ ，Ｓ ２ ，判断Ｓ １ Ｓ ２ 是否为定值，若是求出这个定值，若不 是请说明理由 ư ２１ư （本小题满分 １２ 分）设函数 ｆ（ｘ） ＝ ｘ（ｅｘ － ａ），ｇ（ｘ） ＝ ａｌｎｘư （Ⅰ）若 ａ ＞ ０，证明函数 ｆ（ｘ）有唯一的极小值点； （Ⅱ）设 ａ∈Ｎ ＋ 且 ａ ＞１，记函数 Ｆ（ｘ） ＝ ｇ（ｘ） － ｆ（ｘ）的最大值为 Ｍ，求使得 Ｍ ＞０ 的 ａ 最小值 ư （二）选考题：共 １０ 分． 请考生在第 ２２、２３ 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． ２２ư （本小题满分 １０ 分）［选修 ４ － ４：坐标系与参数方程］在直角坐标系中，以原点为极点，ｘ 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系 ư己知直线 ｌ 的直角坐标方程为 ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０，曲线 Ｃ 的极坐标方程为 ρ（１ ＋ ｃｏｓ２θ） ＝ ２ａｓｉｎθ （ａ ＞ ０） ư （１）设 ｔ 为参数，若 ｘ ＝ ２ － ２ ２ ｔ，求直线 ｌ 的参数方程和曲线 Ｃ 的直角坐标方程； （２）已知：直线 ｌ 与曲线 Ｃ 交于 Ａ，Ｂ 两点，设 Ｐ（２，０），且 ｜ ＰＡ ｜ ， ｜ ＡＢ ｜ ， ｜ ＰＢ ｜ 依次成等比数 列，求实数 ａ 的值 ư ２３ư （本小题满分 １０ 分）［选修 ４ － ５：不等式选讲］已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ｜ ｘ － ａ ｜ ＋ ２ｘ，其中 ａ ＞ ０ư （１）当 ａ ＝ １ 时，求不等式 ｆ（ｘ）≥２ 的解集； （２）若关于 ｘ 的不等式 ｆ（２ｘ ＋ ａ） － ２ｆ（ｘ） ≤２ 恒成立，求实数 ａ 的取值范围 ư —数学（理科）月考试卷（三）　 第 ４ 页（共 ４ 页）—