浙江省杭州市建人高复2020届高三上学期第一次月考试题数学（附答案）.doc

浙江建人高复 2019 级第一次月考试卷 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 参考公式： 如果事件 互斥，那么 柱体的体积公式 ； 如果事件 相互独立，那么 椎体的体积公式 ； 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 球的表面积公式 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 (k = 0,1,…,n). 球的体积公式 台体的体积公式 选择题部分（共 40 分） 一、 选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分． 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 （ ▲ ） A. B. C. D. 2. 复数 的虚部是 （ ▲ ） A. －1 B. 1 C. D. 3 3. 双曲线 的离心率是 （ ▲ ） A. B. C. 2 D. 4. 若变量 x、y 满足约束条件 ，则 的最大值为 （ ▲ ） A. 17 B. 13 C. 5 D. 1 （第 5 题） BA, )()()( BPAPBAP +=+ V Sh= BA, )()()( BPAPBAP ⋅=⋅ 1 3V Sh= A P n k 24S Rπ= knkk nn PPCkP −−= )1()( 34 3V Rπ= 1 ( + )3V h S S S S= +下 下上 上 则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{ −−==−−= BAU ( )UA C B = {1} {1,2} {2} {0,1,2} )31( iiz −= i 2 2 13 xy − = 6 3 3 2 3 3 6 3 2 1 x y x y x + ≤  − ≤  ≥ 2 3z x y= +5. 下列函数为偶函数的是 （ ▲ ） A． B． C． D． 6. 设等差数列 的前 项和为 ，则 是 的（ ▲ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 函数 的图像可由函数 的图像向左平移 个单位得到，则有 序数对 的取值可以是（ ▲ ） A、 B、 C、 D、 8 . 已知向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝a•b＝2，(a－c)•(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为 （ ▲ ） A． B． C． D． 9. 等腰直角 斜边 上一点 P 满足 ，将 沿着 翻折至 ， 使二面角 为 60°，记直线 与平面 所成角分别为 ，则 （ ▲ ） A、 B、 C、 D、 10. 设 f(x)是定义在 上的单调增函数，且对任意的正数 x，都有 则 f(1) = （ ▲ ） (A) (B) (C) (D) 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 个小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_▲_，表面积等于 _▲__ { }na n nS cos siny x x= + cos siny x x= ⋅ x xy e e−= − x xy e e−= + 6 7 0a a+ > 9 3S S≥ sin 2 cos2y x x= + sin 2y a x= b ( , )a b (1, )8 π ( 2, )4 π ( 2, )8 π− 5( 2, )8 π− 3 1 2 − 7 3 2 − 3 2 7 2 ABC CB 1 4CP CB≤ CAP AP C AP′∆ C AP B′− − , ,C A C B C P′ ′ ′ APB , ,α β γ α β γ< < α γ β< < β α γ< < γ α β< < (0, )+∞ 1( ( ) )f f x x + 1 ( )f x = ， 1 5 2 − 1 5 2 + 1 3 2 − 1 3 2 + （第 11 题图） 12. 随机变量 的分布列如下： 其中 成等差数列，若 ，则 的值是 ▲ ． 13、设函数 则 _________，满足 的 取值范围 是_______ 14 、 在 中 ， 角 所 对 应 的 边 分 别 为 ， 其 中 且 ，则 15、已知 则 . 16、设 ，且自然数 x，y，z 的乘积能被 10 整除，则有序自然数组 共有 ▲ 组. 17、正项递增数列 满足 ，则首项 的取值范围为__▲__ 三、简答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题 14 分）已知函数 （ ）． （Ⅰ）求 的最小正周期，并求 的最小值． （Ⅱ）令 ，若 对于 恒成立，求实数 的取值范 围. 19. （本小题 15 分）如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的 中点， (Ⅰ) 证明： (Ⅱ) 求二面角 的大小. ξ ξ 1− 0 1 P a b c a b c， ， 1 3Eξ = Dξ ( ) 3 1, 1, 2 , 1x x xf x x − = ∴ > + 1 1 2AC BC AA a= = =  111 CBAABC −， ， ， . …..3 分 又 ， ， 平面 . 又 平面 , . …..7 分 (Ⅱ)由 (Ⅰ)知， ， ，又已知 ， . 在 中， ， . ， . …..9 分 法一：取 的中点 ，则易证 平面 ，连结 ，则 ， 已知 ， 平面 ， ， 是二面角 平面角. …..11 分 在 中， ， . 即二面角 的大小为 . …..15 分 法二：以点 为坐标原点，为 轴， 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系 .则 . …..9 分 ，设平面 的法向量为 ， 则 ,不妨令 ,得 ,故可取 . 同理,可求得平面 的一个法向量 . …..12 分 设 与 的夹角为 ,则 , . 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角 的大小为 . ....15 分 1 2DC DC a∴ = = 1 2CC a= 2 2 2 1 1DC DC CC∴ + = 1DC DC∴ ⊥ 1DC BD⊥ 1DC DC D= 1DC∴ ⊥ BDC BC ⊂ BDC 1DC BC∴ ⊥ 1 2DC a= 1 5BC a= BDDC ⊥1 3BD a∴ = Rt ABD△ 3 , , 90BD a AD a DAB= = ∠ =  2AB a∴ = 2 2 2AC BC AB∴ + = AC BC∴ ⊥ 1 1A B E 1C E ⊥ 1BDA DE 1C E ⊥ BD BDDC ⊥1 BD∴ ⊥ 1DC E BD∴ ⊥ DE 1C DE∴∠ 11 CBDA −− 1Rt C DE△ 1 1 1 2 12sin 22 a C EC DE C D a ∠ = = = 1 30C DE∴∠ =  11 CBDA −− 30 C x CB y 1CC z C xyz− ( ) ( ) ( ) ( )1 1,0,2 , 0, ,0 , ,0, , 0,0,2A a a B a D a a C a ( ) ( )1, , , ,0,DB a a a DC a a= − − = −  1DBC ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 1 1 1 1 0 0 n DB ax ay az n DC ax az  = − + − = = − + =       1 1x = 1 12, 1y z= = ( )1 1,2,1n = 1DBA ( )2 1,1,0n = 1n 2n θ 1 2 1 2 3 3cos 26 2 n n n n θ ⋅= = = ×     30θ∴ =  11 CBDA −− 30 …..3 分 化简得： 即 是公差为 2 的等差数列，又 ， …..6 分 ， …..8 分 （2） …..12 分 …..15 分（其他证明可酌情给分） 21、解: （Ⅰ）（0， ） ，直线 ； …..4 分 （Ⅱ）16 设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)＋5，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 ，消去 y 整理得 x2－kx＋k－5＝0， x1＋x2＝k， x1x2＝k－5， 又因为 y′＝(x2) ′＝2x，所以，抛物线 y＝x2 在点 A，B 处的切线方程分别为 y＝2x1x－ ， y＝2x2x－ ． 得两切线的交点 P( ，k－5)． ….8 分 1 2 1 1 ( 2) 1 1( ) ( )( )2 2 n n n n n n n n n a S S n S a S S S S − − = − ≥ ∴ = − = − − 20、解（） 由题意 2 1 1 1 1 2 2n n n n nS S S S S− −= − − + 1 12 1 n n n SS S − − = + 1 1 1 2 n nS S − ∴ = + 1{ } nS 1 1 1 1 1S a = = *1 12 1, ( )2 1n n n S n NS n ∴ = − = ∈− 1 1 1, 1, 1 1 1, 2 , 22 1 2 3 n n n na na S S n nn n− == ∴ = = − ≥ − ≥  − − 1 1 1 1 1( )2 2 (2 1)(2 2) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 n n Sb n n n n n n n = = < = −+ − + − + − + 1 2 1 1 1... (1 )2 2 1 2n nT b b b n ∴ = + + + < − ⇔ > < ⇔ < )(xf ( )0,+∞ ( ),0−∞ baxxxf ++≥ 2 2 1)( ( ) ( )21( ) 1 02 xh x f x x ax b e a x b= − − − = − + − ≥ ( ) ( )1xh x e a′ = − + 1 0a + < ( ) 0h x′ > ( )h x R x → −∞ ( )h x → −∞ 1 0a + = ( ) 0h x > 0b ≤ ( 1) 0a b+ = 1 0a + > ( ) ( )1xh x e a′ = − + ( ) 0h x′ = ( )ln 1x a= + ( ) ( )( ) 0 ln 1 , ( ) 0 ln 1 ,f x x a f x x a′ ′> ⇔ > + < ⇔ < +当 时, 取最小值 . ....10 分 依题意有 , 即 , , , ....12 分 令 ,则 , , 所以当 时, 取最大值 . 故当 时, 取最大值 . 综上, 若 ，则 的最大值为 . ....15 分 ( )ln 1x a= + ( )h x ( )( ) ( ) ( )ln 1 1 1 ln 1h a a a a b+ = + − + + − ( )( ) ( ) ( )ln 1 1 1 ln 1 0h a a a a b+ = + − + + − ≥ ( ) ( )1 1 ln 1b a a a≤ + − + + 1 0a + > ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 ln 1a b a a a∴ + ≤ + − + + ( ) ( )2 2 ln 0u x x x x x= − > ( ) ( )2 2 ln 1 2lnu x x x x x x x′ = − − = − ( ) 0 0 , ( ) 0u x x e u x x e′ ′> ⇔ < < < ⇔ > x e= ( )u x ( ) 2 eu e = 1 , 2 ea e b+ = = ( )1a b+ 2 e baxxxf ++≥ 2 2 1)( ba )1( + 2 e