长泰一中 2019/2020 学年第一学期 10 月份考试
高三理科数学试题及答案
(考试时间：120分钟 总分：150分)
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题 5 分共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ，则集合 的子集个数为（ B ）．
A．8 B．16 C．32 D．15
2.下列函数既是奇函数又在 上是减函数的是（ C ）．
A． B． C． D．
3.在 中，角 所对的边分别为 ，若 是方程 的两根，且
，则 （ D ）．
A．2 B．3 C．7 D．
4.已知函数 ，若 ，则 的值等于（ A ）．
A． 或 B． C． D．
5.已知命题 ，命题 “ ”是“ ”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是（ C ）．
A． B． C． D．
6 .下列命题中正确的是（ C ）
A．若 ，则 ；
B．命题： “ ”的否定是“ ”；
C．直线 与 垂直的充要条件为 ；
D．“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 或 ，则 ”
7．等比数列 的前 项和为 则 （ A ）
( ){ }2 2, | 16, ,A x y x y x Z y Z= + = ∈ ∈ A
( )1,1−
tany x= 1y x−= 2ln 2
xy x
−= + ( )1 3 33
x xy −= −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ,b c 2 5 6 0x x− + =
3A
π= a =
7
( ) 3
2
log , 0
, 0
x xf x x x
>= ≤
( ) ( )1 2f f a− = a
3 2
2
− 3 2
2
− 2
2
±
2 1: ,3 0xp x R +∀ ∈ > :q 0 2x< < 2log 1x <
p¬ p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∨
α β> sin sinα β>
21, 1x x∀ > > 21, 1x x∃ ≤ ≤
2 0ax y+ + = 4 0ax y− + = 1a = ±
0xy = 0x = 0y = 0x ≠ 0y ≠ 0xy ≠
{ }na n ,3 1 baS n
n +⋅= − a
b
=A．-3 B． -1 C. 1 D．3
8.已知向量OA→
＝log0.5 sin θ OB→
＋log2 cos θ OC→
，若 A、B、C 三点共线，
则 sin θ＋cos θ＝( B )
A．－3 5
5 B．3 5
5 C．－ 5
5 D． 5
5
9.为得到函数 的图象，可将函数 的图象（ D ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
10.函数 在 上的图象大致为（ D ）．
A． B． C． D．
11.在 中， ，则 （ A ）．
A．-1 B．1 C． D．
12．已知函数 为自然对数的底数，关于 的方程 有四
个相异实根，则实数 的取值范围是（ D ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．已知 且 ，则向量 与向量 的夹角为
14．已知 是锐角，且 ，则 = ．
15. 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点
sin 2y x= − sin 2 3y x
π = −
3
π
6
π
2
3
π
3
π
( ) 4 3tanf x x x= − ,2 2
π π −
ABC∆ 02 2, 60 , 2AB AC BAC BD DC= = ∠ = = 且 AD BC =
7 7
2
( ) 2
, 0,x
xf x x ee
= ≠ x ( ) ( )
2 0f x
f x
λ+ − =
λ
），（
e
20 ),22( +∞ ),4
2( 2
2
+∞+
e
e ),2( +∞+
ee
,2,1 == ba )( baa −⊥ a b
4
π
α
3
1)6(cos =+ πα )3cos(
πα − 2 2
3处的切线方程是__2x+y+1=0____________.
16．已知函数 ，给出下列结论：
①若对于任意 且 ，都有 ，则 为 R 上的减函数；
②若 为 R 上的偶函数，且在 内是减函数， ，则 的解集为
③若 为 R 上的奇函数，则 也是 R 上的奇函数；
④ 为常数，若对任意的 都有 ，则 的图象关于 对称，
其中所有正确的结论序号为 ①③ .
三．解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17.(本小题满分 12 分)在等比数列 中， ，且 是 与 的等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ．求数列 的前 项和 ．
（1）设等比数列 的公比为 ， 是 与 的等差中项，即有 ，
即为 ，解得 ，即有 ；．．．．．．．．．．．．．5 分
（2） ，
数列 的前 项和
．．．．．．12 分
18.（本小题满分 12 分）在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知
， ， ．
（1）求 的值；
（2）若角 为锐角，求 的值及△ 的面积．
（1）在△ 中，因为 ， ，
( ),y f x x R= ∈
1 2,x x R∈ 1 2x x≠ ( )2 1
2 1
( ) 0f x f x
x x
− ( )2,2−
( )f x
t x ( ) ( )f x t f x t− = + ( )f x x t=
( ) ( )y f x f x=
{ }na 1 1a = 2a 1a 3 1a −
{ }na
{ }nb *( 1) 1,( )( 1)
n
n
n n ab n Nn n
+ += ∈+
{ }nb n nS
{ }na q 2a 1a 13 −a 231 21 aaa =−+
qq 211 2 =−+ 2=q 11
1 2 −− == nn
n qaa
( )
( ) ( )
+−+=++=+
++= −
1
1121
1
1
11 1
nnnnann
annb n
n
n
n
{ }nb n
( )
1
121
1121
21
1
11
3
1
2
1
2
112221 12
n +−=+−+−
−=
+−++−+−+++++= −
nnnnS n
n
n
ABC A B C a b c
1cos2 3A = − 3c = sin 6 sinA C=
a
A b ABC
ABC 3c = sin 6 sinA C=由正弦定理 ，解得 ．．．．．．．．．．．．．．5 分
（2）因为 ，又 ，
所以 ， ．
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍），所以 ．．．．．．．．．．．．．．12 分
19．（本小题满分 12 分）设 为数列 的前 项和，且
．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
19.解:（Ⅰ）当 时， ，易得 ；
当 时， ，
整理得 ，
∴ ，
∴数列 构成以首项为 ，公比为 2 等比数列，
∴数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，则 ，
则 ，①
∴ ，②
由①-②得：
，
∴ .
sin sin
a c
A C
= 3 2a =
2 1cos2 2cos 1 3A A= − = − 0 2A
π< <
3cos 3A = 6sin 3A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 15 0b b− − =
5b = 3b = − 1 5 2sin2 2ABCS bc A∆ = =
nS { }na n
( )*2 1 , 1n n n nS a n n N b a= − + ∈ = +
{ }nb
{ }nnb n nT
1n = 1 1 1 12 1 1 2a S a a= = − + = 1 10, 1a b= =
2n ≥ ( )1 12 1 2 1 1n n n n na S S a n a n− −= − = − + − − − +
12 1n na a −= +
( )1 11 2 1 2n n n nb a a b− −= + = + =
{ }nb 1 1b =
{ }nb ( )12 *n
nb n N−= ∈
12n
nb −= 12 −⋅= n
n nab
0 1 2 11 2 2 2 3 2 2n
nT n −= × + × + × + + ×
1 2 32 1 2 2 2 3 2 2n
nT n= × + × + × + + ×
0 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 2n n
nT n−− = × + × + × + + × − ×
1 2 2 2 1 21 2
n
n n nn n
−= − × = − − ×−
( )1 2 1n
nT n= − +20.（本小题满分 12 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若 ，且 的最小值是 ，求实数 的值．
∴ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 分
由 得 ，
∴函数 的单调增区间为 ．．．．．．．．．．5 分
（2）
．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
∵ ，∴ ，∴ ．．．．．．．．．．8 分
① 时，当且仅当 时， 取得最小值-1，这与已知不相
符；．．．．．．．．．．．9 分
( ) 5 3sin 2 2 sin cos6 4 4f x x x x
π π π = − − − +
( )f x
,12 3x
π π ∈
( ) ( )4 cos 4 3F x f x x
πλ = − − −
3
2
− λ
2
2T
π π= =
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ + ( )
6 3k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
( )f x ( ),6 3k k k Z
π ππ π − + ∈
( ) ( )4 cos 4 3F x f x x
πλ = − − −
2 24 sin 2 1 2sin 2 2sin 2 4 sin 2 16 6 6 6x x x x
π π π πλ λ = − − − − − = − − − −
2
22 sin 2 1 26x
π λ λ = − − − −
,12 3x
π π ∈ 0 2 6 2x
π π≤ − ≤ 0 sin 2 16x
π ≤ − ≤
0λ < sin 2 06x
π − =
( )f x21．（本小题满分 12 分）已知函数 是 的导函数，
为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，证明： ；
（Ⅲ）当 时，判断函数 零点的个数，并说明理由．
21.解（Ⅰ）对 求导可得 ，
，
①当 时， ，故 在 上为减函数；
②当 时，解 可得 ，故 的减区间为 ，增区间为 ；
（Ⅱ） ，设 ，则 ，
易知当 时， ， ；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当 时， 是先减再增的函数，
其最小值为 ，
而此时 ，且 ，故 恰有两个零点 ，
∵当 时， ；当 时， ；当
( ) ( ) ( )1 ln 3, ,f x ax x ax a R g x= + − + ∈ ( )f x
e
( )g x
a e> ( ) 0ag e− >
a e> ( )f x
( )f x ( ) ( ) 1lng x f x a x x
′= = +
( ) 2 2
1 1a axg x x x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,+∞
0a > ( ) 0g x′ > 1x a
> ( )g x ），（
a
10 ),1( +∞
a
( ) 2a ag e a e− = − + ( ) 2xh x e x= − ( ) 2xh x e x′ = −
x e> ( ) 0h x′ > ( ) 2 2 0x eh x e x e e= − > − >
a e> ( )g x
1 1 1ln ln 1 0g a a aa a a
= + = + >
11a ae ea
− < < ( )g x 1 2,x x
( )10,x x∈ ( ) ( ) 0f x g x′ = > ( )1 2,x x x∈ ( ) ( ) 0f x g x′ =
( )f x 1 2,x x 1
10,x a
∈
( )1 1
1
1ln 0g x a x x
= + =
1 1
1
lna x x
= −
( ) ( )1 1 1 1 1
1
11 ln 3 ln 2lnf x ax x ax x x
= + − + = + +
1ln 0x < 1
1
1ln 2lnx x
+ ≤ − 1
1
1ln 2lnx x
+ = − 1
1x e
= a e=
( )1 0f x < ( )f x x
( )f x
6:
πθ =l 2: =ρC A Γ
θρ
2
2
sin21
3
+= x xOy
A Γ
E Γ F Γ AFAE ⋅
0123 −++−= mxmxmxxf m
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