高三月考数学（理）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1、设 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、若复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
3、设 , 则 “ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有
系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六
成 一 . 该 术 相 当 于 给 出 了 用 圆 锥 的 底 面 周 长 与 高 ， 计 算 其 体 积 的 近 似 公 式
它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 圆 周 率 近 似 取 为 3. 那 么 近 似 公 式
相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）
A. B. C. D.
5、下列函数中既是奇函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
6、已知 ， ，且 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
7 、 中 ， , , , 为 线 段 上 任 意 一 点 ， 则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
L h V
21 .36v L h≈ π
22
75v L h≈ π
22
7
25
8
157
50
355
113
[ ]1,1−
siny x= 1y x= − + 2ln 2
xy x
−= + ( )1 2 22
x xy −= +
{ }U -1 0 1 2= ，，， { }2 1,A x x x U= < ∈ UC A =
{ }0 1 2，， { }-1,1 2， { }-1,0 2， { }-1,0 1，
z (1 ) 3z i i+ = − z z =
2 3i− − 2 3i− 2 3i+ 2 3i− +
,a b R∈ 2( ) 0a b a− < a b<
(0, )2
πα ∈ (0, )2
πβ ∈ 2sin 2 cos 2cos (1 sin )α β α β= +
2 2
πα β− = 2 2
πα β+ =
2
πα β+ =
2
πα β− =
ABC∆ 2AB = 2 2AC = 45BAC∠ = ° P AC
PB PC⋅
1 ,14
−
1 ,04
−
1 ,42
−
1 ,22
− 8、已知幂函数 过点 ，令 ，记数列 的前
项和为 ，则 时， 的值是（ ）
A．10 B．120 C．130 D．140
9、四个函数：① ；② ；③ ；④ 的图象(部
分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②
10、已知 ， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．4
11、一个圆锥的母线长为 ，圆锥的母线与底面的夹角为 ，则圆锥的内切球的表面积为
( ) A． B． C． D．
12、已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
13、求值： ________
14、已知函数 （ ）为奇函数， 是其图
像上两点，若 的最小值是 ，则 _________
15、数列 中， ， ， ， 是数列 的前 项
和，则 _______
16、下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
①函数 的最小值为 ；( ) ( 0)af x x xx
= + > 2 a
( )y f x= (4,2) ( 1) ( ),na f n f n n N+= + + ∈ 1
na
n
nS 10nS = n
siny x x= ⋅ cosy x x= ⋅ cosy x x= ⋅ 2xy x= ⋅
0, 0x y> > 1 82x yx y
− = − 2 +x y
2 2 2 3 2
2 4
π
8π 24(2 2) π− 24(2 2) π+
232(2 2)
49
π−
, (0, )2
πα β ∈ sin sin 0β α α β− >
2
πα β+ <
2
πα β+ = α β< α β>
100lg 20 log 25+ =
( ) 4cos( )f x xω ϕ= + 0,0ω ϕ π> < < ( ,0), ( ,0)A a B b
a b− 1 1( )6f =
{ }na 1 2a = 2 2a = *
2 1 ( 1) ,n
n na a n N+ − = + − ∈ nS { }na n
60S =②已知定义在 上周期为 4 的函数 满足 ，则 一定为偶函数；
③ 定 义 在 上 的 函 数 既 是 奇 函 数 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 则
；
④已知函数 ，则 是 有极值的必要不充分
条件；
⑤已知函数 ，若 ，则 ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分 12 分）
如图， 是半径为 2，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的一动点，
记 ，四边形 的面积为 ．
（1）找出 与 的函数关系；
（2）试探求当 取何值时， 最大，并求出这个最大值．
18、（本小题满分 12 分）
已知数列 中， ， ，且 ，
（1）求 （2）若 ， ，当 为何值时， 取最
小值？并求出最小值。
19、（本小题满分 12 分）
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 的单调区间.
20、（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
平面 底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点，
， ， ．
R ( )f x (2 ) (2 )f x f x− = + ( )f x
R ( )f x
(1) (4) (7) 0f f f+ + =
3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠ 0a b c+ + = ( )f x
( ) sinf x x x= − 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ >
OPQ 3
π
C
COP θ∠ = OPCQ S
S θ
θ S
{ }na 128
1
1 −=a 0≠na 64
13 11 +=+ ++ nnn aSS
na nn alogb 4= nn bbbT +++= 21 n nT
21( ) 2 2
x xf x ae x ae x x= − − +
( )y f x= (2, (2))f ( )f x
P ABCD− ABCD / /AD BC 90ADC∠ =
PAD ⊥ ABCD Q AD M PC
2PA PD AD= = = 1BC = 3CD =
Q
O P
C(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的大小
21、（本小题满分 12 分）
已知 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围. (2)证明：当 时， .
选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分
22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 .
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若 ，直线 的参数方程为 为参数），直线 交圆 于
两点，求弦长 的取值范围.
23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 恒成立，求实数 的最大值 ；
（2）在（1）成立的条件下，正实数 满足 ，证明： .
C 2, 4C
π
3r =
C
l 2{ (2
x tcos ty tsin
α
α
= +
= + l C ,A B
AB
PQB ⊥ PAD
3PM MC= M BQ C− −
( ) 1 ln ( )f x ax x x a R= − − ∈
( ) 0f x ≤ a 1x >
11 11
xex
> −−
0, 4
∈
πα
( ) 1f x x x= + −
( ) 1f x m≥ − m M
,a b 2 2a b M+ = 2a b ab+ ≥数学（理科）参考答案
一、选择题
二、填空题 13、 14、 15、 16、②③⑤
三、解答题
17、（本小题满分 12 分）
解：（1）
………4 分
（2）由（1）知
因为 ，所以
故当且仅当 ，即 时， 最大，且最大值为 2………12 分
18、（本小题满分 12 分）
解：（1） ① ②
① ②得：
①式令 求得 ，
等比，公比 ………6 分
（2）由（1）知
时， 取最小值为 ………12 分
19、（本小题满分 12 分）
解：（1）
又切点 ， 切线方程为 ………4 分
1 1sin sin2 2POC ODCS S S OP OC POC OQ OC QOC∆ ∆= + = ⋅ ⋅ ∠ + ⋅ ⋅ ∠
2sin 2sin 0,3 3
π πθ θ θ = + − ∈
2sin 2sin 3S
πθ θ = + − 2sin 3cos sin sin 3cosθ θ θ θ θ= + − = +
1 32 sin cos2 2
θ θ = +
2sin 0,3 3
π πθ θ = + ∈ 0, 3
πθ ∈
2,3 3 3
π π πθ + ∈
3 2
π πθ + =
6
πθ = S
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A B C A C B D C B C
2 2− 990
1 1
13 64n n nS S a+ ++ = + 1
13 64n n nS S a−∴ + = +
− 1 13 3n n n na a a a+ ++ = − 1 2 ( 2)n na a n+∴ = ≥
1n = 2
1
64a = −
2 12a a∴ = 1 2( 1)n
n
a na
+∴ = ≥
{ }na∴ 2 82n
na −∴ = −
8
4
8log 2 2
n
n
nb − −= =
2
7 8( ) 152 2
2 4n
nn n nT
−− + −∴ = =
7 8n∴ = 或 nT 14−
'( ) ( 1)( 1)xf x x ae= − − 2'(2) 1f ae∴ = −
(2,0) ∴ 2( 1)( 2)y ae x= − −（2）
时， 增区间 ，减区间
时，增区间 和 ，减区间
时，增区间 和 ，减区间
时， ，增区间 ，无减区间………12 分
20、（本小题满分 12 分）
解：（1）由已知 ， 四边形 为矩形 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ，又 平面 平面 平面 ………4 分
（2）以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
可求 的一个值为 ，又平面 的一个法向量
设二面角 的大小为 ，则 ，
二面角 的大小为 ………12 分
21、（本小题满分 12 分）
解：（1）不等式化为 ，
设 ， ，令 得
又 ，
， ………………4 分
'( ) ( 1)( 1)xf x x ae= − −
0a ≤ ( ,1)−∞ (1, )+∞
10 a e
< < ( ,1)−∞ 1(ln , )a
+∞ 1(1,ln )a
1a e
> 1( ,ln )a
−∞ (1, )+∞ 1(ln ,1)a
1a e
= 1'( ) ( 1)( 1) 0xf x x e −= − − ≥ ( , )−∞ +∞
//QD BC QD BC=且 ∴ QDCB BQ AD∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD= BQ ⊂ ABCD
BQ∴ ⊥ PAD BQ ⊂ PQB ∴ PQB ⊥ PAD
, ,QA QB QP x y z
(0, 3,0)B ( 1, 3,0)C − 3 3 3( , 3, )4 4 4M −
3 3 3( , 3, )4 4 4QM∴ = − (0, 3,0)QB =
( , , )n x y z= BQM 0
0
n QM
n QB
⋅ = ⋅ =
n (1,0, 3)n = BQC (0,0,1)m =
M BQ C− − θ 3cos cos , 2n mθ = 〈 〉 =
∴ M BQ C− − 30°
ln 1ax x x≤ + 1lna x x
∴ ≤ +
1( ) ln ,( 0)g x x xx
= + > 2
1'( ) xg x x
−∴ = '( ) 0g x = 1x =
(0,1), '( ) 0x g x∈ < (1, ), '( ) 0x g x∈ +∞ >
min( ) (1) 1g x g= = 1a∴ ≤（2）不等式化为 ，即证 ，
设 ，则 ，即证 ，
设 ， ，
综上， ………………12 分
选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分
22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
解 析 ： （ 1 ） 因 为 的 直 角 坐 标 为 ， 所 以 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为
，化为极坐标方程是 .………5 分
（2）将 为参数），代入圆 的直角坐标方程 ，
得 ，即 ，
有 ，
故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即弦长 的取值范围是 .………10 分
23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
（1）法一：由已知可得 ，所以 ，
所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 .
……5 分
法二： 所以 ，
所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 .
……5 分
2, 4C
π
( )1,1 C
( ) ( )2 21 1 3x y− + − = ( )2 2 cos sin 1 0ρ ρ θ θ− + − =
2{ (2
x tcos ty tsin
α
α
= +
= + C ( ) ( )2 21 1 3x y− + − =
( ) ( )2 21 cos 1 sin 3t tα α+ + + = ( )2 2 sin cos 1 0t t α α+ + − =
( )1 2 1 22 sin cos , 1t t t tα α+ = − + ⋅ = −
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 24 4 sin cos 4 2 2 sin2AB t t t t t t α α α= − = + − = + + = +
0, 2 0,4 2
π πα α ∈ ⇒ ∈ 0 sin2 1α≤ < 2 2 2 3AB≤ <
AB )2 2,2 3
1
1
xx ex
>−
1ln 1
x
x x
>−
1
xt x
= − 1
tx t
= −
1ln tt t
−> ( 1)t >
1( ) ln ,( 1)th t t tt
−= − > 2
1'( ) 0th t t
−∴ = > ( ) (1) 0h t h∴ > =
11 11
xex
> −−
( ) 1 ( 1) 1f x x x x x= + − ≥ − − =（2）证明：法一：综合法 ∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，①
又∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，②
由①②得，∴ ，所以 .……10 分
法二：分析法
因为 ， ，
所以要证 ，只需证 ，
即证 ，
∵ ，所以只要证 ，
即证 ，
即证 ，因为 ，所以只需证 ，
因为 ，所以 成立，
所以 .……10 分
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