辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考数学（文）试卷（带答案）.doc

高三月考数学（文） 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1、设 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 2、若复数 满足 ，则 的共轭复数 （　　） A． B． C． D． 3、设 , 则 “ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六 成 一 . 该 术 相 当 于 给 出 了 用 圆 锥 的 底 面 周 长 与 高 ， 计 算 其 体 积 的 近 似 公 式 它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 圆 周 率 近 似 取 为 3. 那 么 近 似 公 式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A. B. C. D. 5、在区间[－1,1]上随机取一个数 x，则 sin πx 4 的值介于－1 2与 2 2 之间的概率为 (　　) A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 6 6、已知 ， ，且 ，则下列结论正确 的是（ ）A． B． C． D． 7 、 中 ， , , , 为 线 段 上 任 意 一 点 ， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8、已知幂函数 过点 ，令 ，记数列 的前 L h V 21 .36v L h≈ π 22 75v L h≈ π 22 7 25 8 157 50 355 113 { }U -1 0 1 2= ，，， { }2 1,A x x x U= < ∈ UC A = { }0 1 2，， { }-1,1 2， { }-1,0 2， { }-1,0 1， z (1 ) 3z i i+ = − z z = 2 3i− − 2 3i− 2 3i+ 2 3i− + ,a b R∈ 2( ) 0a b a− < a b< (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 2sin 2 cos 2cos (1 sin )α β α β= + 2 2 πα β− = 2 2 πα β+ = 2 πα β+ = 2 πα β− = ABC∆ 2AB = 2 2AC = 45BAC∠ = ° P AC PB PC⋅  1 ,14  −   1 ,04  −   1 ,42  −   1 ,22  −   ( )y f x= (4,2) ( 1) ( ),na f n f n n N+= + + ∈ 1 na       n项和为 ，则 时， 的值是（ ） A．10 B．120 C．130 D．140 9、四个函数：① ；② ；③ ；④ 的图象(部 分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③② 10、已知 ， ，则 的最小值为(　　) A． B． C． D．4 11、一个圆锥的母线长为 ，圆锥的母线与底面的夹角为 ，则圆锥的内切球的表面积为 ( ) A． B． C． D． 12、已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13、求值： ________ 14、已知函数 （ ）为奇函数， 是其图 像上两点，若 的最小值是 ，则 _________ 15、数列 中， ， ， ， 是数列 的前 项 和，则 _______ 16、下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）． ①函数 的最小值为 ； ②已知定义在 上周期为 4 的函数 满足 ，则 一定为偶函数； ③ 定 义 在 上 的 函 数 既 是 奇 函 数 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 则 ( ) ( 0)af x x xx = + > 2 a R ( )f x (2 ) (2 )f x f x− = + ( )f x R ( )f x nS 10nS = n siny x x= ⋅ cosy x x= ⋅ cosy x x= ⋅ 2xy x= ⋅ 0, 0x y> > 1 82x yx y − = − 2 +x y 2 2 2 3 2 2 4 π 8π 24(2 2) π− 24(2 2) π+ 232(2 2) 49 π− , (0, )2 πα β ∈ sin sin 0β α α β− > 2 πα β+ < 2 πα β+ = α β< α β> 100lg 20 log 25+ = ( ) 4cos( )f x xω ϕ= + 0,0ω ϕ π> < < ( ,0), ( ,0)A a B b a b− 1 1( )6f = { }na 1 2a = 2 2a = * 2 1 ( 1) ,n n na a n N+ − = + − ∈ nS { }na n 60S =； ④已知函数 ，则 是 有极值的必要不充分 条件； ⑤已知函数 ，若 ，则 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分 12 分） 如图， 是半径为 2，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的一动点， 记 ，四边形 的面积为 ． （1）找出 与 的函数关系； （2）试探求当 取何值时， 最大，并求出这个最大值． 18、（本小题满分 12 分） 已知数列 中， ， ，且 ， （1）求 （2）若 ， ，当 为何值时， 取最 小值？并求出最小值。 19、（本小题满分 12 分） 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀 统计成绩后，得到如下的列联表. 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计 105 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为2 7. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，能否有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”？ (1) (4) (7) 0f f f+ + = 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠ 0a b c+ + = ( )f x ( ) sinf x x x= − 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ > OPQ 3 π C COP θ∠ = OPCQ S S θ θ S { }na 128 1 1 −=a 0≠na 64 13 11 +=+ ++ nnn aSS na nn alogb 4= nn bbbT +++= 21 n nT(3)按下面的方法从甲班的优秀学生中抽取一人．把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序 号．试求抽到 6 号或 10 号的概率． 附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 k0 3.841 6.635 20、（本小题满分 12 分） 如 图 , 三 棱 柱 中 , , , 平 面 平面 ， 与 相交于点 ． （1）求证： ； （2）若 在棱 上，且满足 面 ，求三棱锥 的体积 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 . (1)求函数 的单调区间；(2)证明： . 选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 . （1）求圆 的极坐标方程； （2）若 ，直线 的参数方程为 为参数），直线 交圆 于 两点，求弦长 的取值范围. 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AB AC AA BC= = = = 0 1 1 60AAC∠ = 1ABC ⊥ 1 1AAC C 1AC 1AC D 1BD AC⊥ E 1BC //DE ABC 1E ACC− C 2, 4C π     3r = C l 2{ (2 x tcos ty tsin α α = + = + l C ,A B AB ( ) x xf x e = ( )f x 1 2ln xx e ex > − 0, 4  ∈   πα ( ) 1f x x x= + −（1）若 恒成立，求实数 的最大值 ； （2）在（1）成立的条件下，正实数 满足 ，证明： . ( ) 1f x m≥ − m M ,a b 2 2a b M+ = 2a b ab+ ≥数学（文科）参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 14、 15、 16、②③⑤ 三、解答题 17、（本小题满分 12 分） 解：（1） ………4 分 （2）由（1）知 因为 ，所以 故当且仅当 ，即 时， 最大，且最大值为 2………12 分 18、（本小题满分 12 分） 解：（1） ① ② ① ②得： ①式令 求得 ， 等比，公比 ………6 分 （2）由（1）知 时， 取最小值为 ………12 分 19、（本小题满分 12 分） 解： (1)2×2 列联表如下； 优秀 非优秀 总计 1 1sin sin2 2POC ODCS S S OP OC POC OQ OC QOC∆ ∆= + = ⋅ ⋅ ∠ + ⋅ ⋅ ∠ 2sin 2sin 0,3 3 π πθ θ θ    = + − ∈         2sin 2sin 3S πθ θ = + −   2sin 3cos sin sin 3cosθ θ θ θ θ= + − = + 1 32 sin cos2 2 θ θ = +    2sin 0,3 3 π πθ θ    = + ∈         0, 3 πθ  ∈   2,3 3 3 π π πθ  + ∈   3 2 π πθ + = 6 πθ = S 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B D A C B D C B C 2 2− 990 1 1 13 64n n nS S a+ ++ = +  1 13 64n n nS S a−∴ + = +  − 1 13 3n n n na a a a+ ++ = − 1 2 ( 2)n na a n+∴ = ≥ 1n = 2 1 64a = − 2 12a a∴ = 1 2( 1)n n a na +∴ = ≥ { }na∴ 2 82n na −∴ = − 8 4 8log 2 2 n n nb − −= = 2 7 8( ) 152 2 2 4n nn n nT −− + −∴ = = 7 8n∴ = 或 nT 14−甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 -------------------------------------------------------------2 分 (2)根据列联表中的数据，得到 K2＝ ， 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”． -------------6 分 (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A， 先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)， 则所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36 个． A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)， (6,4)共 8 个，∴P(A)＝ 8 36＝2 9.-------------12 分 20、（本小题满分 12 分） 解：（1） 是 中点， 又平面 平面 ，平面 平 面 ， 平面 平面 ， 平面 ………..6 分 （2） 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 是 中点， 是 中点 …12 分 21、（本小题满分 12 分） 解：（1） ，令 得 ，令 得 增区间 ，减区间 ………..4 分 （2） ， 即证 由（1）知 ……….① 令 ， 令 得 ， 时， ， 时， ………..② 由①②两式取等条件不一致， ………..12 分 选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 1ABC ⊥ 1 1AAC C 1 1AAC C 1 1AAC C 1 1AAC C 841.3109.655 336 50557530 )45203010(105 2 >≈=××× ×−× 1 2,AB BC= = D 1AC 1BD AC∴ ⊥ 1ABC ∩ D 1AC= BD ⊂ 1ABC BD∴ ⊥ 1AC ⊂ 1BD AC∴ ⊥ //DE ABC DE ⊂ 1ABC 1ABC ∩ ABC AB= //DE AB∴ D AB E∴ 1BC 1 1 1 1 1 3 2 2E ACC ACCV S BD− ∆∴ = ⋅ = 1'( ) x xf x e −= '( ) 0f x > 1x < '( ) 0f x < 1x > ∴ ( ,1)−∞ (1, )+∞ 0x > ∴ 2ln x xx x e e > − 2 1 2 1 x x e e e e e − ≤ − = − ( ) ln ,( 0)g x x x x= > '( ) ln 1g x x∴ = + '( ) 0g x = 1x e = 1(0, )x e ∈ '( ) 0g x < 1( , )x e ∈ +∞ '( ) 0g x > min 1 1( ) ( )g x g e e ∴ = = − 1( )g x e ∴ ≥ − 1 2ln xx e ex ∴ > −分 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解 析 ： （ 1 ） 因 为 的 直 角 坐 标 为 ， 所 以 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为 ，化为极坐标方程是 .………5 分 （2）将 为参数），代入圆 的直角坐标方程 ， 得 ，即 ， 有 ， 故 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即弦长 的取值范围是 .………10 分 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （1）法一：由已知可得 ，所以 ， 所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 . ……5 分 法二： 所以 ， 所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 . ……5 分 （2）证明：法一：综合法 ∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时取等号，① 又∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时取等号，② 由①②得，∴ ，所以 .……10 分 法二：分析法 2, 4C π     ( )1,1 C ( ) ( )2 21 1 3x y− + − = ( )2 2 cos sin 1 0ρ ρ θ θ− + − = 2{ (2 x tcos ty tsin α α = + = + C ( ) ( )2 21 1 3x y− + − = ( ) ( )2 21 cos 1 sin 3t tα α+ + + = ( )2 2 sin cos 1 0t t α α+ + − = ( )1 2 1 22 sin cos , 1t t t tα α+ = − + ⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4 sin cos 4 2 2 sin2AB t t t t t t α α α= − = + − = + + = + 0, 2 0,4 2 π πα α   ∈ ⇒ ∈      0 sin2 1α≤ < 2 2 2 3AB≤ < AB )2 2,2 3 ( ) 1 ( 1) 1f x x x x x= + − ≥ − − =因为 ， ， 所以要证 ，只需证 ， 即证 ， ∵ ，所以只要证 ， 即证 ， 即证 ，因为 ，所以只需证 ， 因为 ，所以 成立， 所以 .……10 分