云南省玉溪一中2020届高三上学期第二次月考数学（文）试题（带答案）.docx

第 1 页 共 11 页 玉溪一中高 2020 届高三上学期第 2 次月考 文科数学试卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．设复数 ( 是虚数单位)，则复数 在复平面内所对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在△ 中，“ ”是“△ 为锐角三角形”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 ，则 A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在 注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用 割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人称 3.14 为徽率．图 1 是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则结束 程序时，输出的 为 (参考数据： ， ， ) A．6 B．12 C．24 D．48 6．公比为 2 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 A． B． C． D． 7．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． 　　　B． C． D． { 4 2}M x x= − < < 2{ 6 0}N x x x= − − < M N∩ = { 4 3}x x− < < { 4 2}x x− < < − { 2 2}x x− < < { 2 3}x x< < 1z i= + i 1z z + ABC 0CA CB >   ABC 1 cos2 1 sin 2 2 α α + = tan 2α = 5 4 5 4 − 4 3 4 3 − n 3 1.7321≈ sin15 0.2588≈ sin7.5 0.1305≈ ） { }na 3 11 16a a = 1 10 2 log a = 4− 5− 6− 7− 0.50.4a = 0.50.6b = 0.30.6c = a b c a c b< < b a c< < a b c< < c a b< < 图 1第 2 页 共 11 页 8．已知函数 ,若方程 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 9．某人向边分别为 的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意 一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于 的地方的概率为 A． B． C． D． 10．给出下列四个命题，其中不正确的命题为 ①若 ，则 ； ②函数 的图象关于直线 对称； ③函数 为偶函数； ④函数 是周期函数. A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 11．已知圆 ，定点 ，点 为圆 上的动点，点 在 上，点 在 上，且满足 ， ，则点 的轨迹方程为 A． B． C． D． 12．已知直线 与曲线 和曲线 都相切，则 A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．过圆锥的轴的截面是顶角为 的等腰三角形，若圆锥的体积为 ，则圆锥的母线长 为________. 14．2019 年 3 月 10 日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙 运载火箭托举“中星 6C”卫星成功发射升空。这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数 刷新为“300”。长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了 37 年，第二个“百发”用了 2 1 2 ( ) 3 21 x x f x xx  − ( )f x ( )f x ( )g a ( )g a M ( 2,0)A − (2,0)B 1 2 − M C ( 1,0)− l C ,P Q 5 2x = − PQ xOy C 1 cos sin x y α α = +  = α O x l 3 sin cos 1 3mρ θ ρ θ− + = C l (1, )P m l C A B 8PA PB = m ( ) 1f x ax= − ( 0)a > ( ) 2f x ≤ A =(-2,2)B A B⊆ a 1 2 3( ) ( ) 2f x f xa a + + > x a第 6 页 共 11 页 玉溪一中 2019-2020 学年上学期高三年级第 2 次月考 文科数学试卷参考答案 一、选择题 C A B D C BC DC D A A 二、填空题： 13．__2_.14． __ ____．15．__右___ __.（答案不唯一）16．__1____. 三、解答题： 17.【解析】（I）因为 是偶函数，所以，对任意实数x都有 ，即 ， 故 ，所以 ．又 ，因此 或 ．…4分 （Ⅱ） ………9分 解不等式 ， 可得： 所以， 的单调递减区间为 ， ………12 分 18.【解析】解：（1）证明：连接 ， ， ， ； ， ， ；………3 分 在 中，由已知可得 ， ，而 ， ， ，即 ；………5 分 ， 平面 ；………6 分 （ 2 ） ， ( ) sin( )f x xθ θ+ = + sin( ) sin( )x xθ θ+ = − + sin cos cos sin sin cos cos sinx x x xθ θ θ θ+ = − + 2sin cos 0x θ = cos 0θ = [0,2π)θ ∈ π 2 θ = 3π 2 2 2 2 2π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x           = + + + = + + +                     π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 36 2 1 cos2 sin 22 2 2 2 2 x x x x    − + − +        = + = − −    6 1e − 2 π 31 sin(2 )2 6x π= + − 32 2 22 6 2k x k π π ππ π+ ≤ − ≤ + k Z∈ 5 3 6k x k π ππ π+ ≤ ≤ + ( )g x 5[ , ]3 6k k π ππ π+ + k Z∈ OC BO DO= AB AD= AO BD∴ ⊥ BO DO= BC CD= CO BD∴ ⊥ AOC∆ 1AO = 3CO = 2AC = 2 2 2AO CO AC∴ + = 90AOC∴∠ = ° AO OC⊥ BD OC O∩ = AO∴ ⊥ BCD D ACE A CDEV V− −=三棱锥 三棱锥 1 3 CDES AO∆= × × 1 1 3 2 BCDS AO∆= × × × 21 1 3 2 13 2 4 = × × × × 3 6 =第 7 页 共 11 页 即三棱锥 的体积为 ．………12 分 19.【解析】（1）由题意知， ， ， ， ，填写列联表如下； 喜欢足球 不喜欢足球 总计 女生 8 12 20 男生 20 10 30 总计 28 22 100 计算 ， 所以有 的把握认为喜欢足球与性别有关；……6 分 （2）由题意知， ， 若 ，则 ， 解得 ，不合题意，舍去； 若 ，则 ， 解得 ；……8 分 因此 ， ， ； 所以 ， 所以 与 的线性回归方程为 ，……11 分 计算 时， ， D ACE− 3 6 8a = 12b = 20c = 10d = 2 2 50 (8 10 12 20) 800 3 2.70628 22 20 30 231K × × − ×= = > >× × × 90% 5 1 27.49i i i x y = =∑ 8k = 9 0.9 8 0.91 6 0.92 0.93 3 0.95 27.49m× + × + × + × + × = 3.74 4.020.93m = ≈ 7k = 9 0.9 7 0.91 6 0.92 0.93 3 0.95 27.49m× + × + × + × + × = 5m = 5 2 1 200i i x = =∑ 6x = 0.922y = 1 2 2 1 ˆ 0.0085 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = = − − ∑ ∑ ˆˆ 0.922 ( 0.0085) 6 0.973a y bx= − = − − × = ， y x ˆ 0.0085 0.973y x= − + 1x = ˆ 0.0085 1 0.973 0.9645y = − × + =第 8 页 共 11 页 即预测排名为 1 时该球场的上座率为 ．……12 分 20.【解析】（1）函数的定义域为： ， ……1 分 ，……3 分 单减区间为 ，单增区间 ．……4 分 （2）由（1） ， ，……6 分 容易得到 （a）在 上单调递减， （1） ，……9 分 时， （a） ， 时， （a） ， 所以 （a）在 单增， 单减， （a） （1） ．……12 分 21.【解析】（1）设动点 的坐标为 ， 因 为 ， ， 所 以 ． 整 理 得 ． 所 以 的 轨 迹 的 方 程 ．……………4 分 （2）解法 1：过点 的直线为 轴时，显然不合题意．……5 分 所以可设过点 的直线方程为 ， 设直线 与轨迹 的交点坐标为 ， ， 0.9645 { | 0}x x > 2 3 2 1 2( ) 1 ( )f x ax x x ′ = + − + 3 2 3 2 2x x ax a x + − −= 2 2 3 ( 2) ( 2)x x a x x + − += 2 3 ( )( 2) 0x a x x ax − += > ⇒ > ( )f x∴ (0, )a ( , )a +∞ 2 2 1( ) ( ) ( )minf x f a a a lna aa a = = − − − − ∴ 2 1 1( ) , ( ) 1g a alna g a lnaa a ′= − − = − − g′ (0, )+∞ g′ 0= (0,1)a∴ ∈ g′ 0> (1, )a∈ +∞ g′ 0< g (0,1) (1, )+∞ g∴ max g= 1= − M ( ),x y 2MA yk x = + ( )2x ≠ − 2MB yk x = − ( )2x ≠ 1 2 2 2MA MB y yk k x x = × = −+ − 2 2 14 2 x y+ = M C 2 2 14 2 x y+ = ( )2x ≠ ± ( )1,0− x ( )1,0− 1x my= − 1x my= − C P ( )1 1,x y ( )2 2,Q x y第 9 页 共 11 页 由 得 ．……6 分 因为 ， 由韦达定理得 ＝ ， ＝ ．…………………7 分 注意到 ＝ ． 所以 的中点坐标为 ．…………8 分 因 为 ．……………9 分 点 到直线 的距离为 ．…………10 分 因为 ，…………………11 分 即 ，所以直线 与以线段 为直径的圆相离．……12 分 解法 2：①当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 ，与 交于 和 两点，此时直线 与以线段 为直径的圆相 离．…………5 分 ②当过点 的直线斜率存在时，设其方程为 ， 设直线 与轨迹 的交点坐标为 ， ， 由 得 ．……………6 分 因为 ， 由韦达定理得 ， ．…………7 分 2 2 1, 1,4 2 x my x y = − + = ( )2 22 2 3 0m y my+ − − = ( ) ( )2 22 12 2 0m m∆ = − + + > +1y 2y 2 2 2 m m + 1y 2y 2 3 2m − + +1x 2x ( )1 2 2 42 2m y y m −+ − = + PQ 2 2 2 ,2 2 mN m m −   + +  2 1 21PQ m y y= + − ( ) 2 2 2 2 2 121 2 2 mm m m   = + +  + +    ( )( )2 2 2 2 1 4 6 2 m m m + + = + N 5 2x = − ( ) 2 2 2 5 2 5 6 2 2 2 2 md m m += − =+ + 2d − 2 4 PQ = ( ) 4 2 22 9 20 12 0 4 2 m m m + + > + d > 2 PQ 5 2x = − PQ ( )1,0− 1x = − 2 2 14 2 x y+ = 61, 2P  − −    61, 2Q  −    5 2x = − PQ ( )1,0− ( )1y k x= + ( )1y k x= + C P ( )1 1,x y ( )2 2,Q x y ( ) 2 2 1 , 1,4 2 y k x x y  = +  + = ( ) ( )2 2 2 22 1 4 2 4 0k x k x k+ + + − = ( ) ( )( )22 2 2 24 4 2 1 2 4 24 16 0k k k k∆ = − + − = + > 1 2x x+ = 2 2 4 2 1 k k − + 1 2x x = 2 2 2 4 2 1 k k − +第 10 页 共 11 页 注意到 ． 所以 的中点坐标为 ．……8 分 因为 ．…………9 分 点 到直线 的距离为 ．………10 分 因为 ，……………11 分 即 ， 所以直线 与以线段 为直径的圆相离．…12 分 22.【解析】(1)曲线 的普通方程为 .…2 分 的直角坐标方程为 ，即 …4 分 (2)由于直线 过点 ，倾斜角为 30°， 故直线 的参数方程为 ( 是参数)．………6 分 设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，将直线 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 并化简得 . 解得 ………8 分 ∴ ，解得 满足 所以 ………10 分 ( )1 2 1 2 2 22 2 1 ky y k x x k k + = + + = + PQ 2 2 2 2 ,2 1 2 1 k kN k k  −  + +  2 1 21PQ k x x= + − ( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 441 2 1 2 1 kkk k k  −  = + − + +    ( )( )2 2 2 2 1 6 4 2 1 k k k + + = + N 5 2x = − ( ) 2 2 2 2 5 2 6 5 2 2 1 2 2 1 k kd k k += − =+ + 2d − 2 4 PQ = ( ) 4 2 22 12 20 9 0 4 2 1 k k k + + > + d > 2 PQ 5 2x = − PQ C 2 2( 1) 1x y− + = l 3 1 3 0y x m− + − = 3 1 3 0x y m− − + = l (1, )P m l 31 2 1 2 x t y m t  = +  = + t A B 1t 2t l 2 2 1 0t mt m+ + − = 24 3 0m∆ = − > 2 3 2 3 3 3m− < < 2 1 2 1 8PA PB t t m= = − = 3m = ± 2 3 2 3 3 3m− < < 3m = ±第 11 页 共 11 页 23.【解析】(1)由 ，得 ，又∵ ，∴ ，得 ∵ ∴ 解得 ，∴ ∴ 的取值范围是 .………4 分 (2)由题意， 恒成立，设 ，因为 ，所以 ………6 分 在 单调递减，在 单调递增，………7 分 ①当 时， 在 单调递增， ，∴ ………8 分 ②当 时， 在 单调递减， ，∴ .………9 分 综上所述， 的取值范围是 .………10 分 1 2ax − ≤ 2 1 2ax− ≤ − ≤ 0a > 1 3xa a − ≤ ≤ 1 3[ , ]A a a = − ( 2,2)A ⊆ − 1 2 3 2 a a − > −    > 3 2a > a 3( , )2 +∞ 31 1 2ax x− + + > ( ) 1 1h x ax x= − + + 0a > ( 1) 1 1( ) (1 ) 2 1 1( 1) a x x h x a x x a a x x a   − + < − = − + − ≤ ≤   + > ( )h x ( , 1)−∞ − 1( , )a +∞ 0 1a< ≤ ( )h x 1[ 1, ]a − min 3( ) ( 1) 1 2h x h a= − = + > 1 12 a< ≤ 1a > ( )h x 1[ 1, ]a − min 1 1 3( ) ( ) 1 2h x h a a = = + > 1 2a< < a 1( ,2)2