高三文科数学试题答案.pdf

高三文数答案 第 1 页 共 7 页 2019—2020 学年度上期八市重点高中联盟 “领军考试”高三文科数学试题答案 1．【答案】B 【解析】当 2b  时， a b 的值为 3 ,2,32 ；当 3b  时， a b 的值为 4 ,23 ；当 4b  时， a b 的值为 3 2 ，所以 3 4,2,3,2 3B      ，故 A B   2,3 ．故选 B. 【命题意图】用两种表示法呈现集合，涉及交集问题，考查描述法、集合交集． 2．【答案】B 【解析】y＝|sin x|的定义域为 R,图象关于 y 轴对称，所以在 R 上是偶函数，故选 B． 【命题意图】本题考查指数函数，对数函数，三角函数等在其定义域内奇偶性的判断方法. 3.【答案】D 【解析】∵ αα sin)sin(  ，∴sin 3 5    .∵ 2 2sin cos 1   ，∴ 2co 19 5 s2   ，即 2 2os 5c 16  . 又∵ 为第三象限角，∴ cos 5 4   .故选 D. 【命题意图】本题考查三角函数诱导公式及同角三角函数关系公式的应用. 4．【答案】C 【解析】由 ( ) 1 af x x    ，得 (1) 1 0f a    ，得 1a  ，即 xxxf ln)(  ，则 1( ) 1f x x    ，得 f ′(2)＝ 1 2 . 故选 C. 【命题意图】本题考查函数的求导公式及运算能力. 5．【答案】B 【解析】由 )63cos()3 43sin()(  xxxf )63cos()33sin(  xx )63cos()332cos(  xx )63cos(2  x ，得 3 2T ， ( )f x 的最小正周期是 3 2 ，故选 B． 【命题意图】本题考查三角函数最小正周期的求法，考查学生三角变换和数学运算素养． 6．【答案】B 【解析】设函数 )(xf 在 1x 处的切线的斜率为 k.由题得 3 3( ) 2 , (1) 2 11f x x k fx           ，∴切线 倾斜角α为 45 ，则 2 2 2 1cos = =2 2        ，故选 B. 【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查学生逻辑推理和数学运算素养. 7．【答案】B高三文数答案 第 2 页 共 7 页 【解析】∵b＝ 0.31 2      ＝20.3＜20.8＝a，∴a＞b＞1，又∵c＝ 1 ln5 ln 52  ＜1，∴c＜b＜a，故选 B. 【命题意图】本题考查利用函数性质，借助中间量比较大小的方法. 8．【答案】D 【解析】由题意，函数 )]12(2cos[]2)32cos[()32sin(  xxxy ，所以把函数 )8(2cos)42cos(  xxy 的图象向右平移 24 5 个单位，得到函数 )32sin(  xy 的图象，故选 D． 【命题意图】本题考查三角函数的性质和图象变换法则. 9.【答案】B 【解析】 由 ( ) ln | | | | ln | | | | ( )f x x x x x f x        ，知 )(xf 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，排除 D， 当 x>0 时，由 ( ) lnf x x x  , 1( ) 1f x x    ,令 1( ) 1 0f x x     ，得 0 1x  ， )(xf 为递增函数，令 1( ) 1 0f x x     ，得 1x  ， )(xf 为递减函数，故 )(xf 的极大值为 (1) ln1 1 1f     ，故选 B. 【命题意图】本题考查函数性质和图象及导数的应用． 10．【答案】B 【解析】由题意，设 P 点坐标为 0 0( , )x y ，对曲线 xxy e 求导得 xx xy ee  ，对曲线 2exy  求导得 xy e2 ，得 00 e2ee 00 xx xx  ，且 2 00 ee 0 xx x  ，解得 10 x ，得 P 点坐标为（1，e），故选 B. 【命题意图】本题考查导数的几何意义、求导法则及切线方程. 11．【答案】 D 【解析】由 32( ) sin cos3f x x x  ，得 xxxxf sincossin2)( 2  = 0)12(sinsin xx 对 ),0( πx 恒成 立， )(xf 在定义域内单调，所以 )(xf 在 ),0( π 内不存在极大值，也不存在极小值.故选 D． 【命题意图】本题考查求导法则及导数在三角函数中的应用. 12.【答案】C 【解析】由图象易知， 2A  ， (0) 1f  ，即 2sin 1  ，且 π 2   ，即 π 6   ， 由图可知， 11π( ) 0,12f  所以 11π π 11π πsin( ) 0, π,12 6 12 6 k k        Z ，即 12 2 ,11 k k  Z ， 又由图可知，周期 11π 2π 11π 24,12 12 11T      ，且 0  ，所以由五点作图法可知 2ω ，所以函数 π( ) 2sin(2 )6f x x  ，因为    2 0f a x f x    ，所以函数 ( )f x 关于 ,0a 对称，即有 π2 π,6a k k  Z ，可得 Z kka ， 122 ，所以 a 的最小正值为 12 5 .故选 C. 【命题意图】本题考查三角函数的图象和周期性、对称性等性质，考查三角函数 ( )f x 的解析式中 , ,A   的高三文数答案 第 3 页 共 7 页 确定考查学生对“    2 0f a x f x    得 ( )f x 的图象关于 ,0a 对称”这一结论的应用. 13．【答案】 1 7 【解析】∵ αα sin)2 3cos(  ，∴ 1sin 3    ，∴ 2 2 2 22 1 sin sin 3 cos2 1 2sin 11 2 3                7 1 ． 【命题意图】本题考查三角函数诱导公式以及二倍角公式的应用，考查学生运算求解能力. 14．【答案】1 或 3 【解析】由于 2 22 3 ( 1) 2 2a a a      ，根据映射概念可知， 2 2 3 2a a a   ，解得 1a  或 3a  ； 经验证可知， 1a  或 3a  满足题意； 故 1a  或3 ． 【命题意图】本题考查映射的概念，以及数据分析问题能力． 15．【答案】 2e 1 【解析】y′＝ex＋(x+1)·ex，令 y′＝0，则 x＝－2，∵x0， ∴x＝－2 是函数的唯 一极小值点，即为最小值点，∴x＝－2 时，ymin＝ 2e 1 . 【命题意图】本题考查函数的定义域，函数的单调性判断，最值点确定. 16．【答案】 ),e(  【解析】由 02e)(  mmxxxf x ，得 )12(2e  xmmmxx x ，当 1 2x  时，方程不成立，即 1 2x  ， 则 12 e  x xm x ，设 12 e)(  x xxh x （ 0x 且 1 2x  ），则 22 2 2 )12( )12)(1(e )12( )12(e )12( e2)12()e()(     x xx x xx x xxxxh xxxx ，∵ 0x  且 1 2x  ，∴由 0)(  xh ，得 1x  ，当 1x  时， 0)(  xh ，函数为增函数， 当 12 1  x 时， 0)(  xh ，函数为减函数，则当 1x  时函数取得极小值，极小值为 )1(h e， 当 10 2x  时， 0)(  xh ，函数为减函数， 0)0()(  hxh ，作出函数 ( )h x 的图象如图：要使 12 e  x xm x 有两个不同的根， 则 m>e 即可，即实数 m 的取值范围是 ),e(  .高三文数答案 第 4 页 共 7 页 【命题意图】本题考查利用导数求函数的最值，数形结合思想的应用，分离参数方法等知识，考查学生数学 运算能力. 17．【解析】 4 4π π π π( ) cos 2sin cos sin44 4 4f x x x x x                            2 2π π πcos sin sin 244 2x x x                     2 π πcos 2 si 2 2nx x             sin 2 cos2x x   π2 sin 2 4x      .……3分 （Ⅰ）由 )(42 Z kkx 得 )(82 Z kkx ，所以 ( )f x 的对称中心为       0,82 k ， Zk .……5分 又 )4 52sin(2)42sin(2)(  xxxf ，所以 ( )f x 的初相为 4 5 .……6分 （Ⅱ）由 )(224222 Z kkxk ，得 88 3  kxk ， Zk ，所以f(x)的递减区间为 )](88 3[ Z kkk ， ； ……8分 又   ，0x ，所以 ( )f x 的单调递减区间为      8,0 ，     ， 8 5 .……10分 【命题意图】本题考查三角函数两角和与差公式，二倍角公式及其恒等变换等基础知识，同时考查学生运算 求解能力. 18．【解析】（Ⅰ）由题意得 x x xmxg e1 )1()(   ，则 ),1[,0e)1( 2)( 2  xx mxg x ， 所以 x x m e)1( 2 2  ，所以 xxm e)1(2 2  . 令 xxxH e)1()( 2 ， ),1[ x ，所以 min)(2 xHm  . xxx xxxxxH e)3)(1()ee3)(1()(  >0，高三文数答案 第 5 页 共 7 页 所以 )(xH 在 ),1[  单调递增， 所以 e4)1()( min  HxH ，所以 e42 m ，所以 e2m .············· 5 分 （Ⅱ）由题意得 xxxh x  sine)( ,则 1)4sin(2e1)cos(sine1cosesine)(  xxxxxxh xxxx ， 因为 ]2,0[ x ，所以 1e x ， 1)4sin(2 x ，······8 分 所以 1)4sin(2e xx ，所以 01)4sin(2e xx ， 所以 )(xh 在 ]2,0[  单调递增，所以 ,0)0()( min  hxh ······11 分 所以 2e)2()( 2 max   hxh .······12 分 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.【解析】（Ⅰ） 2( =4 3sin cos 4cos +f x x x x m） 2)2cos2 12sin2 3(4  mxx 2)62sin(4  mx ，…… 3 分 由 π( ) 76f  ，得 726sin4  m ，得 m=7；……5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 5)62sin(4)(  xxf ，因为 π0 4x  ，所以 π π π26 6 3x    ，所以 1 3sin 22 6 2x    （ ） ，得 532)(3  xf ，……7 分 由不等式 ( ) 2 15c f x c   恒成立，得      .532152 ,3 c c ……9 分 解得 353  c .所以实数 c 的取值范围为 )3,53(  .……12 分 【命题意图】本题考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，考查学生的转化能力和. 考查函数的解析式，及函数值计算求解能力；考查建立不等式组，解不等式组的方法技能. 20．【解析】 （Ⅰ）因为 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以 )(xf  ＝3x2＋2ax＋b． 因为 )(xf  ＝0 的两个根为 0，3，所以 2 0 3 3 2 3 0 b a b        ,解得 a＝ 9 2  ，b＝0，……3 分 由导函数的图象可知，当 0＜x＜3 时， )(xf  ＜0，函数 )(xf 单调递减；当 x＜0 或 x＞3 时， )(xf  ＞0，函 数单调递增，故函数 f(x)在(－∞，0)和(3，＋∞)上单调递增，在(0，3)上单调递减．……6 分高三文数答案 第 6 页 共 7 页 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)＝x3 9 2  x2＋c，函数 f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上是增函数，在(0，3)上是减函数，所 以函数 f(x)的极大值为 f(0)＝c，极小值为 f(3)＝c 27 2  .……8 分 而函数 f(x)恰有一个零点，故必有 0 27 02 c c    或 0 27 02 c c    ，……10 分 解得 27 2c  或 0c  .所以使函数 y=f(x)恰有一个零点的实数 c 的取值范围是   27,0 ,2      .……12 分 【命题意图】本题考查二次函数的单调性，考察利用导数方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问 题. 21.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为 12cos 13B  ，所以 20  B ，所以 2 5sin 1 cos 13B B   ，……2 分 又因为  CBA ， 所以 26 5312 3sincos3cossin)3sin()sin()](sin[sin  BBBBABAC ，……3 分 由正弦定理， sin sin AB AC C B  ，所以 12 3 5sinsin 2 ACAB CB    ；……6 分 （Ⅱ）因为  CBA ， 所以 )3cos()cos()](cos[cos  BBABAC 26 1235 3coscos3sinsin  BB ，……9 分 所以 13 5 6sinsin6coscos)6cos(  CCC .……12 分 【命题意图】本题考查同角三角函数关系式以及两角和差公式的应用，考查学生简单的三角变换与运算能力. 22.【解析】（Ⅰ）根据函数 xxxf  ee)( ，则 xxxf ee)(   )(ee xfxx   ， 即函数  f x 为偶函数，……3 分 又 xxxf  ee)( ，当 0x  时，有   0f x  ，即函数  f x 在[0, ) 上单调递增，        | 33 1 1 3| 1| |f x f x f x f x x x        ，解得 1 2x   或 1 4x  ；…………6 分 （Ⅱ）作出函数 1e)()(  xxfxH 1e  x 的图象如下：高三文数答案 第 7 页 共 7 页 由函数 mxfxg x   1e)()( 存在两个零点 , ( )a b a b ，得方程 mxH )( 有两个根 ,a b ，由图象易得 0 1m  ；由 mx 1e ，得 mx 1e ，解得 ln(1 )x m  或 ln(1 )x m  ，……8 分 因为 a b ，所以 ln(1 )b m  ， ln(1 )a m  ，因此 22 ln(1 ) 2ln(1 ) ln(1 )(1 )a b m m m m        ， 令 2 3 2( ) (1 )(1 ) 1h m m m m m m        ， 0 1m  ，则 2( ) 3 2 1 (3 1)( 1)h m m m m m         ， 令 ( ) 0h m  ，得 10 3m  ；令 ( ) 0h m  ，得 1 13 m  ，……10 分 即函数 ( )h m 在 10, 3      上单调递增；在 1 ,13      上单调递减，所以 2 max 1 1 1 32( ) 1 13 3 3 27h m h                 ， 因此 a+2b 的最大值为 32ln 27 .……12 分 【命题意图】本题考查导数的应用，考查化归与转化，函数与不等式的思想以及运算求解能力和推理论证能 力. 【解法指导】由转化与化归的思想，先将问题转化为求函数最值的问题，再利用导数研究函数的单调性与最 值即可.