2019-2020 上学期平和一中高三第一次月考
理科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 是第二象限角， 为其终边上一点且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A． B． C． D．
4．在实数范围内，使得不等式 成立的一个充分而不必要的条件是( )
A． B． C． D．
5.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数 ，若 在 上的值域为 ，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
( ){ }| ln 1 2 A x y x= = − { 2 }xB y y= = A B =
1(0, )2
1[0, )2
1(0, ]2
1[0, ]2
α P )5,(x x4
2cos =α x
3 3− 3± 2−
2
2
(sin 1)x dx
π
π−
+ =∫
0 2
π π π−
1 1 0x
− >
1x < 0 2x< < 0 1x< < 10 3x< <
≤+−
>++=
)1(2
)1(1)(
2 xxx
xx
axxf R a
]1,0[ ]1,0( ]1,1[− ]1,1(−
2( ) 4lnf x x x= − (1, 1)− 2 3y x x m= − + m
13
4
11
4
9
4
7
4
( ) sin( )( 0)3f x x
πω ω= − > ( )f x [ ]0,π 3[ ,1]2
− ω
1 ,16
5 5,6 3
1 7,3 6
2 3,3 2
8.若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
9.已知函数 将函数 的图
象向左平移 个单位后得到函数 的图象，且 ，则 =( )
A. B. C. D.
10.设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ，则 函数的
图象一部分可以是( )
A． B． C． D．
11.求值： ( )
A． B． C． D．
12.已知 为自然对数的底数,函数 ， 若对任意的
，总存在两个 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卷相应位置）
13.设 ，则 的值_______．
14.如图， 是直角 斜边 上一点， 记
， .则 .
15．已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递
增，若实数 满足 ，则 的取值范围是 .
1( ) 1 22
x
f x a = − + a
1( ,0)2
− ( 1,0)− 1( , )2
− +∞ ( 1, )− +∞
)0)(2sin(2
1coscossin2sin2
1)( 2 πϕϕπϕϕ
p a ( )p q¬ ∨ a
, ,a b c sin 3 sinb A c B=
3a = 3cos 5B =
sin 2 3B
π −
( ) sin( )( 0, )2f x A x
πω ϕ ω ϕ= + > <
( )f x
( )y f x=
( 0)θ θ >
1
2
( )y g x= ( )g x
5( ,0)24
π θ
( )g x [0, ]2
π
xω ϕ+
x
sin( )A xω ϕ+（I）当 时，试求 关于 的函数关系式和 的最大值；
（II）当顾客的鞋 在镜中的像 满足不等关系 （不计鞋长）时，称顾客可在镜中看
到自己的鞋，若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求 的取值范围.
21.(本题共 12 分)函数 ， ．
（Ⅰ）讨论 的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于 ，总有 .
（i）求实数 的范围； （ii）求证：对于 ，不等式 成立．
请考试在 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所
做第一题计分，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本题共 10 分) 在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 过点
，与极轴正半轴成 .在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
为参数）.曲线 上的 对应的参数 .
（Ⅰ）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线 与 交于 两点，点 ，求 的值.
23. (本题共 10 分)已知函数
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 的解集包含 ，求 的取值范围.
参考答案
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1～5 ABCDC 6～10 ABADB 11～12 CA
二、填空题：（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卷相应位置）
13.___17____．
21( ) ln ( )2f x x x ax a R= + + ∈ 23( ) 2
xg x e x= +
( )f x
0x∀ > ( ) ( )f x g x≤
a 0x∀ > 2 ( 1) 2x ee x e x x
+ − + + >
x 2C
)6,2
3(
π−
3
π xoy 1C
=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
by
ax ϕ,0( >> ba 1C )2
3,1(M 3
πϕ =
1C 2C
1C 2C BA, )3,2(P PBPA +
|1|||)( −++= xaxxf
3=a axxf 3)( +≥
|4|)( −≤ xxf [ ]1,0 a14. 0 .
15． .
16. __ __．
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(本题共 12 分)
解：（1）p 真，则 在 成立
解得 ，
∴p 为真时 ． ....................................................5 分
（2）q 真，则 a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，
由（1）知 p 为真时
由 为假可得 p 为真 q 为假，
则 ，则 或 ....................................................12 分
18.
【解】(Ⅰ) 在△ABC 中，由正弦定理得 ，即 ，
又由 ，可得， ,
又 a = 3，故 c=1，
由 且
可得 ....................................................6 分
(Ⅱ)由 ，得 ，
求得
所以 ...................................................12 分
19.
)3,0(
3
2
max( )a x< [1,2]x∈
4a <
4a <
4a <
( )p q¬ ∨
4
2 2
a
a a
2 4a∆ = −
2 4 0a∆ = − ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2 1 0x ax+ + ≥ 0x >
2 1( ) 0x axf x x
+ +′ = ≥ 0x > ( )f x
2 4 0a∆ = − > 2 2a a< − >或
2a < − 2 1=0x ax+ + 1 2,x x 1 2x x<
1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − > = > 2 1 0x x> >
1 2x x x x< >或 ( ) 0f x > 1 2x x x< < ( ) 0f x < 1 2,x x ( )f x
2a > 2 1=0x ax+ + 1 2,x x
1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − < = > 2 10, 0x x< <
0x > ( ) 0f x > ( )f x
2a < − ( )f x
2a ≥ − ( )f x
1( )f x x ax
′ = + +,
①当 ，即 时， 对 恒成立， 在 单调
增， 没有极值点； ……………………………………………………………3 分
②当 ，即 时，方程 有两个不等正数解 ，
不妨设 ，则当 时， 增； 时，
减； 时， 增，所以 分别为 极大
值点和极小值点， 有两个极值点.
综上所述， 时， 没有极值点； 时， 有两个极值点. …5
分
（Ⅱ）（i） ，
由 ，即 对于 恒成立，设 ，
，
， 时， 减， 时， 增，
， ． ……………………………………9 分
（ii）由（i）知，当 时有 ，即：
， ……①当且仅当 时取
等号, ……………………………10 分
以下证明： ，设 ， ，
当 时 减， 时 增，
0, ( ) [ 2, )x f x a′> ∴ ∈ + +∞
2 0a + ≥ [ 2, )a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ ≥ 0x∀ > ( )f x (0, )+∞
( )f x
2 0a + < ( , 2)a ∈ −∞ − 2 1 0x ax+ + = 1 2 , x x
2
1 2( )( )1 1( ) ( 0)x x x xx axf x x a xx x x
− −+ +′ = + + = = >
1 20 x x< < 1(0, )x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2( , )x x x∈
( ) 0, ( )f x f x′ < 2( , )x x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2,x x ( )f x
( )f x
[ 2, )a∈ − +∞ ( )f x ( , 2)a∈ −∞ − ( )f x
2( ) ( ) lnxf x g x e x x ax≤ ⇔ − + ≥
0x >
2 lnxe x xa x
+ −≤ 0x∀ >
2 ln( ) ( 0)
xe x xx xx
ϕ + −= >
2
2 2
1( 2 ) ( ln ) ( 1) ln ( 1)( 1)( )
x x
xe x x e x x e x x x xxx x x
ϕ
+ − − + − − + + + −′ = =
0x > (0,1)x∴ ∈ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ >
( ) (1) 1x eϕ ϕ∴ = +≥ 1a e∴ +≤
1a e∴ = + ( ) ( )f x g x≤
2 23 1ln ( 1)2 2
xe x x x e x+ + + +≥ 2 ( 1) lnxe x e x x⇔ + − + ≥ 1x =
ln 2ex x
+ ≥ ( ) ln ex x x
θ = + 2 2
1( ) e x ex x x x
θ −′ = − =
∴ (0, )x e∈ ( ) 0, ( )x xθ θ′ < ( , )x e∈ +∞ ( ) 0, ( )x xθ θ′ >， ，……②当且仅当 时取等号；
由于①②等号不同时成立，故有 .……………………………12 分
请考试在 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所
做第一题计分，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.
23.解：（1）当 时， ，不等式 ，即 ，
当 时，由 ，解得 ；
当 时，由 ，解得 ，故不等式无解；
当 时，由 ，解得 ．
综上 的解集为 ．
( ) ( ) 2x eθ θ∴ =≥ ln 2ex x
∴ + ≥ x e=
2 ( 1) 2x ee x e x x
+ − + + >（2） 等价于 ．
当 时， 等价于 ，即 ，
若 的解集包含 ，则 [，，即 ．
故满足条件的 的取值范围为 ．
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