广东省梅州市2020届高三上学期第一次质量检测数学（理）试题（附答案）.doc

2019-2020 学年第一学期高三第一次质检 理 科 数 学 试 卷 总分：150 分 完成时间：120 分钟 2019.10 班级 姓名 座号 成绩 一．选择题（60 分） 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知 ， 是关于 的方程 的一个根，则 A. B. C. D. 3.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A. B. C. D. 4.函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一 个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为 和 . 在此图内任取一点， 此点取自 区域的概率记为 ，取自 区域的概率记为 ，则 A. B. C. D. 与 的大小关系与半径长度有关 { }= | 1 0A x x − < { }2| 2 0B x x x= − < A B = { }| 0x x < { }| 1x x < { }| 0 1x x< < { }|1 2x x< < ,p q R∈ 1 i+ x 2 0x px q+ + = p q⋅ = 4− 0 2 4 ln3a = 3log 10b = lg3c = a b c c b a< < a c b< < b c a< < c a b< < ( ) 2 1xf x x −= A M A ( )P A M ( )P M ( ) ( )P A P M> ( ) ( )P A P M< ( ) ( )P A P M= ( )P A ( )P M6.右图是判断输入的年份 是否是闰年的程序框图， 若先后输入 ， ，则输出的结果分别 是（注： 表示 除以 的余数） A. 是闰年，2400 是闰年 B. 是闰年，2400 是平年 C. 是平年，2400 是闰年 D. 是平年，2400 是平年 7.若 ，则 A. B. C. D. 8.已知等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ， 若 , , 成等比数列，则 A. B. C. D. 9.双曲线 的右焦点为 ，点 为 的一条渐近线上的点， 为坐标 原点，若 ，则 的最小值为 A. B. C.1 D.2 10．已知函数 ，则 A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递减，在 上单调递增 11 ． 已 知 函 数 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 为 直 线 ， 且 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 12．设 是定义在 上的偶函数， ，都有 ，且当 时， ，函数 在区间 内恰有三 x 1900x = 2400x = xMODy x y 1900 1900 1900 1900 sin 78 m= sin 6 = 1 2 m + 1 2 m− 1 2 m + 1 2 m− { }na n nS 3S 9S 27S 9 3 S S = 3 6 9 12 )0(1: 2 2 2 >=− aya xC F P C O PFPO = OPFS∆ 4 1 2 1 ( ) ln 4 xf x x = − ( )y f x= (2,0) ( )y f x= 2x = ( )f x (0,4) ( )f x (0,2) (2,4) ( ) sin 3 cosf x a x x= − 5 6x π= 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+ 3 π− 0 3 π 2 3 π ( )f x R x R∀ ∈ (2 ) (2 )f x f x− = + [0, 2]x∈ ( ) 2 2xf x = − ( ) ( ) log ( 1)ag x f x x= − + ( )0, 1a a> ≠ ( 1, 9]−个不同零点，则实数 的取值范围是 A． B. C. D. 二、填空题（共 20 分） 13.若 满足约束条件 ，则 的最大值为______. 14.已知 是夹角为 60°的两个单位向量， ，则 _____. 15.已知函数 ，若 在 上恰有 3 个极值点，则 的取 值范围是______. 16.在三棱锥 中， 点 到 底面 的距离为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为________. 三．（解答题，共 70 分） 17. （ 12 分 ） 的 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 已 知 的 面 积 为 . （1）证明： （2）若 求 18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对 两位 选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图： （1）通过茎叶图比较 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值， 得出结论即可）； a 1(0, ) ( 7, )9 + ∞ 1( , 1) (1, 3)9  1 1( , ) ( 3, 7)9 5  1 1( , ) ( 5, 3)7 3  yx,    ≤+− ≤+− ≥+− 022 012 02 yx yx yx yxz −= 3 21,ee 2121 2, eebeea −=−= =⋅ba ( )04sin)( >     += ωπωxxf )(xf [ ]π2,0 ω ABCP − ,3,90,60 ==°=∠=∠°=∠ PCPBPCAPBABAC P ABC 2 ABCP − ABC△ , ,A B C , ,a b c ABC△ AbS tan6 1 2= Acb cos3= ,22,2tan == aA S BA, BA,（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流： 记事件 “A 获得的分流等级高于 B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率，求事件 C 发生的概率. 19.（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ，点 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小. 20.（12 分）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 相交于 两点. （1）若 ，求 的值； （2）点 ，若 ，求直线 的方程. 21.（12 分） 已知函数 ， ， 为 的导数，且 . 证明： （1） 在 内有唯一零点 ； （2） . （ 参 考 数 据 ： ， ， ， ， .） :C ABCDP − ABCD ⊥PD ABCD DCPD = E PC //PA BDE BD PBC °30 DPBC −− F yxT 4: 2 = 2: += kxyl T BA, 1=k FBFA + )2,3( −−C CFBCFA ∠=∠ l ( ) sinf x x x= (0, )x π∈ ( )f x′ ( )f x ( ) ( )g x f x′= ( )g x 22, 3 π     t ( ) 2f x < sin 2 0.9903≈ cos2 0.4161≈ − tan 2 2.1850≈ − 2 1.4142≈ 3.14π ≈（二）选考题：共 10 分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 22.[选修 ：坐标系与参数方程]（10 分） 在极坐标系中，圆 .以极点 为原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系 ， 直线 经过点 且倾斜角为 . （1）求圆 的直角坐标方程和直线 的参数方程； （2）已知直线 与圆 交与 ， ，满足 为 的中点，求 . 23.[选修 ：不等式选讲]（10 分） 设函数 . （1）画出 的图像； （2）若 ，求 的最小值. 4 4− : 4cosC ρ θ= O x xOy l ( )1, 3 3M − − α C l l C A B A MB α 4 5− ( ) 2 1 1f x x x= − + + ( )y f x= ( )f x m x n≤ + m n+ 2019-2020 学年第一学期高三第一次质检 理科数学参考答案 2019.10 一．选择题：CADDC CBCBA DC 二．填空题： （13）0 （14）3 2 （15）(9 8，13 8 ] （16）6π 三．解答题： 17．解：（1）由 S＝1 2bcsin A＝1 6b2tan A 得 3csin A＝btan A． 因为 tan A＝sin A cos A，所以 3csin A＝bsin A cos A ， 又因为 0＜A＜π，所以 sin A≠0， 因此 b＝3ccos A． …4 分 （2）因为 tan A＝2，所以 cos A＝ 5 5 ， 由（1）得 2bccos A＝2b2 3 ，c＝ 5b 3 ． …8 分 由余弦定理得 8＝b2＋c2－2bccos A， 所以 8＝b2＋5b2 9 －2b2 3 ＝8b2 9 ，从而 b2＝9． 故 S＝1 6b2tan A＝3． …12 分 18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于 B 选手所得分数的平均 值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4 分 （2）记 CA1 表示事件：“A 选手直接晋级”，CA2 表示事件：“A 选手复赛待选”； CB1 表示事件：“B 选手复赛待选”，CB2 表示事件：“B 选手淘汰出局”． 则 CA1 与 CB1 独 立 ， CA2 与 CB2 独 立 ， CA1 与 CA2 互 斥 ， C ＝ (CA1CB1)∪(CA1CB2)∪(CA2CB2)． P (C)＝P (CA1CB1)＋P (CA1CB2)＋P (CA2CB2) ＝P (CA1)P (CB1)＋P (CA1)P (CB2)＋P (CA2)P (CB2)． 由所给数据得 CA1，CA2，CB1，CB2 发生的频率分别为 8 20，11 20，10 20， 3 20，故 P (CA1)＝ 8 20，P (CA2)＝11 20，P (CB1)＝10 20，P (CB2)＝ 3 20， P (C)＝ 8 20×10 20＋ 8 20× 3 20＋11 20× 3 20＝137 400． …12 分 19．解： （1）连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE． 由题意可知，PE＝EC，AO＝OC， ∴PA∥EO，又 PA⊄平面 BED，EO⊂平面 BED， A B C E D P O y z x∴PA∥平面 BED． …4 分 （2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直 角坐标系 D－xyz，设 PD＝CD＝1，AD＝a， 则 A(a，0，0)，B(a，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)， DB→ ＝(a，1，0)， PB→ ＝(a，1，－1)， PC→ ＝(0，1，－1) 设平面 PBC 的法向量 n＝(x，y，z)， 由{ PB→ ·n＝0， PC→ ·n＝0， 得{ax＋y－z＝0， y－z＝0， 取 n＝(0，1，1)． …7 分 直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30°，得 |cos〈 DB→ ，n〉|＝ | DB→ ·n| | DB→ ||n| ＝ 1 a2＋1 × 2 ＝1 2，解得 a＝1． …9 分 同理可得平面 PBD 的法向量 m＝(－1，1，0)， …10 分 cos〈n，m〉＝ n·m |n||m|＝ 1 2 × 2 ＝1 2， ∵二面角 C−PB−D 为锐二面角， ∴二面角 C−PB−D 的大小为 60°． …12 分 20．解： （1）由已知可得 F (0，1)，设 A (x1，x21 4 )，B (x2，x22 4 )， y＝kx＋2 与 x2＝4y 联立得，x2－4kx－8＝0， x1＋x2＝4k， ① x1x2＝－8． ② …2 分 |FA|＋|FB|＝x21 4＋1＋x22 4＋1 ＝(x1＋x2)2－2x1x2 4 ＋2． …4 分 当 k＝1 时，由①②得|FA|＋|FB|＝10 …5 分 （2）由题意可知， FA→ ＝(x1，x21 4－1)， FB→ ＝(x2，x22 4－1)， FC→ ＝(－3，－3). ∠CFA＝∠CFB 等价 cos〈 FA→ ， FC→ 〉＝cos〈 FB→ ， FC→ 〉， …8 分 又|FA|＝x21 4＋1，|FB|＝x22 4＋1 则FA→ · FC→ | FA→ || FC→ | ＝ FB→ · FC→ | FB→ || FC→ | ，整理得 4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0， 解得 k＝－3 2， …11 分 所以，直线 l 的方程为 3x＋2y－4＝0． …12 分 21．解： （1）g (x)＝f ′(x)＝xcos x＋sin x， 所以 x∈(0，π 2]时，g (x)＞0，即 g (x)在(0，π 2]内没有零点． …2 分 x∈(π 2，π)时，g ′(x)＝2cos x－xsin x， 因为 cos x＜0，xsin x＞0，从而 g ′(x)＜0， 所以 g (x)在(π 2，π)上单调递减， 又 g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g (2π 3 )＝－π 3＋ 3 2 ＜0， 所以 g (x)在(2，2π 3 )内有唯一零点 t． …6 分 （2）由（1）得， x∈(0，t)时，g (x)＞0，所以 f ′(x)＞0，即 f (x)单调递增； x∈(t，π)时，g (x)＜0，所以 f ′(x)＜0，即 f (x)单调递减， 即 f (x)的最大值为 f (t)＝tsin t． 由 f ′(t)＝tcos t＋sin t＝0 得 t＝－tan t， 所以 f (t)＝－tan t·sin t， 因此 f (t)－2＝ －sin 2t－2cos t cos t ＝cos 2t－2cos t－1 cos t ＝(cos t－1)2－2 cos t ． …9 分 因为 t∈(2，2π 3 )，所以 cos t∈(－1 2，cos 2)， 从而(cos 2－1)2－2＝(－1.416 1)2－( 2)2＞0， 即(cos t－1)2－2 cos t ＜0， 所以 f (t)－2＜0， 故 f (x)＜2． …12 分22．解： （1）由圆 C：ρ＝4cos θ 可得 ρ2＝4ρcos θ， 因为 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ， 所以 x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4． 直线 l：{x＝－1＋tcosα， y＝－3 3＋tsinα（t 为参数，0≤α＜π）． …5 分 （2）设 A，B 对应的参数分别为 tA，tB， 将直线 l 的方程代入 C 并整理，得 t2－6t( 3sinα＋cos α)＋32＝0， 所以 tA＋tB＝6( 3sinα＋cos α)，tA·tB＝32． 又 A 为 MB 的中点，所以 tB＝2tA， 因此 tA＝2( 3sinα＋cos α)＝4sin (α＋π 6)，tB＝8sin(α＋π 6)， …8 分 所以 tA·tB＝32sin2(α＋π 6)＝32，即 sin2(α＋π 6)＝1． 因为 0≤α＜π，所以π 6≤α＋π 6＜7π 6 ， 从而 α＋π 6＝π 2，即 α＝π 3． …10 分 23．解： （1）f (x)＝{－3x， x＜－1， －x＋2，－1 ≤ x ≤ 1 2， 3x， x＞1 2． …3 分 y＝f (x)的图象如图所示： …5 分 （2）一方面，由 f (x)≤m|x|＋n 得 f (0)≤n，解得 n≥2． 因为 f (x)≥|(2x－1)＋(x＋1)|＝3|x|，所以 m|x|＋n≥3|x|．（※） 若 m≥3，（※）式明显成立；若 m＜3，则当|x|＞ n 3－m时，（※）式不成立． x y O 1 1…8 分 另一方面，由图可知，当 m≥3，且 n≥2 时，f (x)≤m|x|＋n． 故当且仅当 m≥3，且 n≥2 时，f (x)≤m|x|＋n． 因此 m＋n 的最小值为 5． …10 分