泉港一中 2019-2020 学年第一次月考高三理科数学
总分：150 分 考试时间：120 分钟
一选择题（每题只有一个选项，每题 5 分，共 12 题）
1.已知集合 ，集合 ，则 A∩B= ( )
A. B.
C. D.
2.在区间 上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
3.已知函数 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. 或 B. C. D.
4.已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当
时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6.命题“ ”的否定形式是( )
A. B.
C. D.
7.设函数 对任意的 满足 ，当 时，有
.若函数 在区间 （ ）上有零点，则 的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.函数 f(x)=sinx ln|x|的图象大致是
{ }ln 0A x x= > { }( 1)( 5) 0B x N x x= ∈ − − ≤
{ }0,1,2,3,4,5 { }1,2,3,4,5
{ }1,2,3,4 { }2,3,4,5
)0,(−∞
x
y
=
3
2 xy
3
1log= 2)1( +−= xy )(log
3
2 xy −=
R ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( 1) (1 )f x f x+ = −
[0 1]x∈ ， 2( ) log ( 1)f x x= + (31)f =
0 1 1− 2
[ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥
1a ≤ 2a ≤ 3a ≤ 4a ≤
nnfNnfNn ≤∈∈∀ ∗∗ )()(, 且
nnfNnfNn >∉∈∀ ∗∗ )()(, 且 nnfNnfNn >∉∈∀ ∗∗ )()(, 或
0000 )()(, nnfNnfNn >∉∈∃ ∗∗ 且 0000 )()(, nnfNnfNn >∉∈∃ ∗∗ 或
( )y f x= x∈R (4 ) ( )f x f x+ = − ( 2]x∈ −∞ ，
( ) 2 5xf x −= − ( )f x ( 1)k k +， k ∈Z k
3− 7 4− 7 3− 6 4− 6
•A. B.
C. D.
9.若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
10 下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝π
6 对称；(3)
在 上是减函数”的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
11.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有
两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，
那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分
割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形
（另一种是顶角为 108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个
正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ 中， . 根据这些信
息，可得 （ ）
A. B. C. D.
12.己知关于 x 的不等式 在(0，＋∞)上恒成立，则整数 m
的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
cos 2cos
sin
sin
θ θ
θ θ
+ =− 2sin θ
3
5-
3
5
4
5
− 4
5
3,6
ππ
)12
5
2(
π+x )32(
π−x
)3
22(
π+x )62(
π+x
ABC 5 1= 2
BC
AC
−
sin 234° =
1 2 5
4
− 3 5
8
+− 5 1
4
+− 4 5
8
+−
22ln 2(1 ) 2x m x mx+ − + ≤二.填空题（每题 5 分，共 4 题）
13. 已知 且
则 =
14.已知曲线 y＝x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y＝ax2+（a+2）x+1 相切，则 a=
15.设函数 ( )，已知 在 有且仅有 5 个零点，
对于下述 4 个结论： ① 在 有且仅有 3 个最大值点；
② 在 有且仅有 2 个最小值点；
③ 在 单调递增； ④ 的取值范围是 :
其中所有正确结论的编号为___ _
16.若函数 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 的取值
范围是
三、解答题
17.已知 ；q:函数 有两个零点．
(1)若 为假命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题，求实数 m 的取值范围．
18.已知函数 f(x)＝4tanx sin cos － 3.
（1）求 f(x)的定义域与最小正周期；
（2）讨论 f(x)在区间 上的单调性．
19.已知函数 f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；
（1）若函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求 a 的取值范围；
（2）设函数 g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当 a=3 时，若对任意的 x1∈[1，4]，总存
在 x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2），求 b 的取值范围．
3 12sin( ) ,sin ,5 13
α β β− = = − ( , ), ( ,0)2 2
π πα π β∈ ∈ − sinα
( ) sin( )5f x x
πω= + 0ω > ( )f x [0,2 ]π
( )f x (0,2 )π
( )f x (0,2 )π
( )f x (0, )2
π 12 29[ , )5 10
, 0( ) ln , 0
ax a xf x x x x
+ ≤= > a
( ) 2: 0, , 2 lnp x x e x m∃ ∈ +∞ − ≤ 2 2 1y x mx= − +
p q∨
p q∨ p q∧
)2( x−π
)3(
π−x
−
4,4
ππ20.在 中，内角 所对的边分别为 ．且 ，
（1）求 的值； （2）求 的值．
21. 已知函数 .
求函数 的极值;
若不等式 ，对 恒成立，求 的取值范围.
22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第
一题记分，作答时请写题号．
(22)已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .
（1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；
（2）已知点 、 的极坐标分别为 和 ，直线 与曲线 相交
于 ， 两点，射线 与曲线 相交于点 ，射线 与曲线 相交于点 ，求
的值.
(23)已知函数 .
（1）求 的解集；
（2）设函数 ， ，若 对任意的 都成立，求实
数 的取值范围.
参考答案
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C=
cos B sin 2 6B
π +
( ) 2 2f x x x alnx= − − ( ), g x ax=
( )1 ( ) ( ) ( )F x f x g x= +
( )2 ( )sin
2 cos gx
x x+ ≤ 0x ≥ a
1C 2cos{ sin
x
y
θ
θ
=
= θ x
2C 2sinρ θ=
1C 2C
1M 2M 1 2
π
， (2 0)， 1 2M M 2C
P Q OP 1C A OQ 1C B
2 2
1 1
| | | |OA OB
+
2 2( ) 6 9 8 16f x x x x x= − + + + +
( ) (4)f x f≥
( ) ( 3)g x k x= − k ∈R ( ) ( )f x g x> x∈R
k一选择题 DDBCA DCABD CB
二.填空题（每题 5 分，共 4 题）
13.
14.8 15. 16.
三、解答题
17.已知 ；q:函数 有两个零点．
(1)若 为假命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题，求实数 m 的取值范围．
17.若 为真，令 ，问题转化为求函数 的最小值，
，令 ，解得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，故 ．
若 为真，则 ， 或 ．
(1)若 为假命题，则 均为假命题，实数 的取值范围为 ．
(2)若 为真命题， 为假命题，则 一真一假．
若 真 假，则实数 满足 ，即 ；
若 假 真，则实数 满足 ，即 ．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
18.已知函数 f(x)＝4tanx sin(π
2 －x)cos(x－
π
3 )－ 3.
（1）求 f(x)的定义域与最小正周期；
（2）讨论 f(x)在区间[－
π
4 ，
π
4 ]上的单调性．
56
65 (0,1) (1, )+∞
( ) 2: 0, , 2 lnp x x e x m∃ ∈ +∞ − ≤ 2 2 1y x mx= − +
p q∨
p q∨ p q∧
p ( ) 2 2 lnf x x e x= − ( )f x
( ) 22 2 22 e x ef x x x x
−′ = − = ( ) 0f x′ = x e=
( ) 2 2 lnf x x e x= − (0, )e ( , )e +∞
( )min ( ) 0f x f e= = 0m ≥
q 24 4 0m= − > 1m > 1m < −
p q∨ ,p q m [ )1,0−
p q∨ p q∧ ,p q
p q m 0
1 1
m
m
≥
− ≤ ≤ 0 1m≤ ≤
p q m 0
1 1
m
m m
< − 或 1m < −
m ( ) [ ], 1 0,1−∞ − ∪18(1)f(x)＝4tan xsin(π
2 －x)cos(x－
π
3 )－ 3
＝4sin x(1
2cos x＋
3
2 sin x)－ 3
＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3
＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin(2x－
π
3 ).
∴定义域Error!，最小正周期 T＝2π
2 ＝π.
(2)－π
4 ≤x≤π
4 ，－5π
6 ≤2x－π
3 ≤π
6 ，设 t＝2x－π
3 ，
因为 y＝sin t 在 t∈[－
5π
6 ，－
π
2 ]时单调递减，在 t∈[－
π
2 ，
π
6 ]时单调递增．
由－5π
6 ≤2x－π
3 ≤－π
2 ，解得－π
4 ≤x≤－π
12，由－π
2 ≤2x－π
3 ≤π
6 ，解得－π
12≤
x≤π
4 ，
所以函数 f(x)在[－
π
12，
π
4 ]上单调递增，在[－
π
4 ，－
π
12)上单调递减．
19.已知函数 f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；
（1）若函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求 a 的取值范围；
（2）设函数 g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当 a=3 时，若对任意的 x1∈[1，4]，总存
在
x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2），求 b 的取值范围．
19 解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3 的函数图象开口向上，对称轴为 x=2，
∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，
∵函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，
∴f（﹣1）f（1）≤0，即 a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．
（2）a=3 时，f（x）=x2﹣4x+6，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，4]上的最小值为 f（2）=2，最大值为 f（4）=6．
即 f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设 g（x）在[1，4]上的值域为 M，
∵对任意的 x1∈[1，4]，总存在 x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2），
∴M⊆[2，6]．
当 b=0 时，g（x）=5，即 M={5}，符合题意，
当 b＞0 时，g（x）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是增函数，
∴M=[5﹣b，5+2b]，
∴ ，解得 0＜b≤ ．
当 b＜0 时，g（x）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是减函数，
∴ M=[5+2b，5﹣b]，
∴ ，解得﹣1≤b＜0．
综上，b 的取值范围是 ．
20.在 中，内角 所对的边分别为 ．且 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
20【解析】（1）在 中，由正弦定理 ，得 ，
又由 ，得 ，即 ．又因为 ，得到
， ．由余弦定理可得 ．
（2）由（1）可得 ，从而 ，
，故
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C=
cos B
sin 2 6B
π +
1
4
− 3 5 7
16
+−
ABC△
sin sin
b c
B C
= sin sinb C c B=
3 sin 4 sinc B a C= 3 sin 4 sinb C a C= 3 4b a= 2b c a+ =
4
3b a= 2
3c a=
2 2 2
2 2 2
4 16
19 9cos 22 42 3
a a aa c bB ac a a
+ −+ −= = = −
⋅ ⋅
2 15sin 1 cos 4B B= − = 15sin 2 2sin cos 8B B B= = −
2 2 7cos2 cos sin 8B B B= − = −．
21. 已知函数 .
求函数 的极值;
若不等式 ，对 恒成立，求 的取值范围.
21. ，
的定义域为 ，
① 当 ,即 时, 在 上递减,在 上递增,
， 无极大值.
② 当 ，即 时， 在 和 上递增，在
上递减
，
③ ，即 时, 在 上递增, 没有极值.
④ 当 即 时, 在 和 上递增，在 上递减
，
综上可知： 时, ， 无极大值;
时， ， ，
没有极值；
15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B
π π π + + = + = − × − × = −
( ) 2 2f x x x alnx= − − ( ), g x ax=
( )1 ( ) ( ) ( )F x f x g x= +
( )2 ( )sin
2 cos gx
x x+ ≤ 0x ≥ a
( )1 ( ) 2 2 lnF x x x a x ax= − − +
( ) ( ) ( )( )22 2 2 1x a x a x a xF x x x
+ − − + −′ = =
( )F x ( )0,+∞
02
a− ≤ 0a ≥ ( )F x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) = 1F x a −
极小
( )F x
0 12
a< − < 2 0a− < < ( )F x 0, 2
a −
( )1,+∞ ,12
a −
( ) 2
= ln2 4 2
a a aa aF Fx − = − − − 极大
( ) ( )1 1Fx aF = = −
极小
12
a− = 2a = − ( )F x (0, )+∞ ( )F x
12
a− > 2a < − ( )F x ( )0,1 ( ),2
a− +∞ 1, 2
a −
( ) ( )= 1 1FF ax∴ = −
极大
( ) 2
= ln2 4 2
a a aa aF Fx − = − − − 极小
0a ≥ ( ) 1F x a= −
极小
( )F x
2 0a− < < ( ) 2
= ln2 4 2
a a aa aF Fx − = − − − 极大
( ) ( )1 1Fx aF = = −
极小
( )F x时， ， .
设 ， ，
设 ，则 ， ， ，
在 上递增， 的值域为 ，
① 当 时, 为 上的增函数，
② ,符合条件.
③ 当 时， ， 不符合条件.
④ ，对于 ，
令 ， ，存在 ，使得 时，
，
在 上单调递减，
即在 时， ， 不符合条件.
综上， 的取值范围为 .
22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第
一题记分，作答时请写题号．
(22).已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 .
（1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程；
2a < − ( ) ( )1 1Fx aF = = −
极大
( ) 2
= ln2 4 2
a a aa aF Fx − = − − − 极小
( )2 ( ) ( )sin 02 cos
xh x ax xx
= − ≥+ ( ) ( )2
1 cos
2 cos
xh x a
x
+′ = −
+
cost x= [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )2
1 2
2
tt
t
φ +=
+
( ) ( )( )
( )
( )
( )4 3
2 2 1 2 1 0
2 2
t t tt
t t
φ − + − − −′ = = ≥
+ +
( )tφ∴ [ ]1,1− ( )tφ∴ 11 3
− ，
1
3a ≥ ( ) ( )' 0,h x h x≥ [0, )+ ∞
( ) ( )0 0h x h∴ ≥ =
0a ≤ 1 02 2 2h a
π π = − x∈R
k
{ | 5 4 }x x x− 或≤ ≥ 1 2k− < ≤
( ) ( ) ( )2 22 26 9 8 16 3 4 3 4f x x x x x x x x x= − + + + + = − + + = − + +
( ) ( )4f x f≥ 3 4 9x x− + + ≥
4
3 4 9
x
x x
，≤ −
− − − ≥
4 3
3 4 9
x
x x
− < ( ) 3 4f x x x= − + + ( ) ( )3g x k x= −
( )
2 1 4
3 4 7 4 3
2 1 3
x x
f x x x x
x x
， ，
， ，
，
− − ≤
= − + + = − <
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