贵州省铜仁第一中学2020届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题（附答案）.doc

铜仁一中 2019-2020 学年高三年级第二次模拟考试 数学试卷（文科） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两个部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 2．请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数 满足 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设 ，则（ ） A． B． C． D. 4．设函数 若 ，则实数 （ ） A．-2 或 4 B．-4 或-2 C．-4 或 2 D．-2 或 2 5．已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知 ， 均为单位向量，若 ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． { }2 4A x N x= ∈ − < < }{ 2 2 0B x x x= + − ≤ A B = }{ 2 4x x− ≤ < { }2, 1,0,1,2,3− − }{ 2 1x x− < ≤ }{0,1 z 1z i i= + z 0.5 3 42 , log π,c=log 2a b−= = a c b> > b c a> > a b c> > b a c> > 2 , 0,( ) , 0. x xf x x x −  ( ) 4f a = a = ( , )2 πα π∈ 3sin cos 3 α α+ = − cos2 =α 5 3 5 3 − 2 5 3 2 5 3 − a b 2 3a b− = a b 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π7.在 中,角 的对边分别是 ,若 ，则 的形状为( ) A．直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 8.已知向量 ,若 ,则 的最小值为( ) （A．12 B． C．15 D． 9．已知函数 是偶函数且满足 ，当 时， ，则不等 式 在 上解集为（ ） A．（1,3） B．（－1,1） C． D． 10．已知函数 ，且 ，若 的最小值为 ，则 的图象（ ） A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 11．已知 ，又函数 是 上的奇函数，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 12．函数 的定义域为 的奇函数，当 时， 恒成立，若 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2cos 2 2 A b c c += ABC∆ ( , 1), (2 1,3)( 0, 0)m a n b a b= − = − > >  //m n  2 1 a b + 8 4 3+ 10 2 3+ ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − [ ]0,2x∈ ( ) 1f x x= - ( ) 0xf x > [ ]1,3− ( 1,0) (1,3)−  ( 2, 1) (0,1)− −  ( )1( ) sin 06 2f x x x R πω ω = + + > ∈   ， 1 1( ) ( )2 2f fα β= − =， | |α β− 4 π ( )f x 1, 2 π     5 1,12 2 π     12x π= − x π= *1 2 1(0) ( ) ( ) ( ) (1)( )n na f f f f f n Nn n n −= + + + + + ∈ 1( ) ( ) 12F x f x= + − R { }na na n= 2na n= 1na n= + 2 2 3na n n= − + ( )f x R ( , 0)x ∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ > 3 (3)a f= ( 1)b f= − − 2 (2)c f= a c b> > b a c> > c a b> > b c a> >13．已知 与 的夹角为 求 =_____． 14．定义运算 ，若 ， ， ， 则 __________． 15．法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数 满足如下条件： （1）在闭区间 上是连续不断的； （2）在区间 上都有导数. 则在区间 上至少存在一个实数 ，使得 ，其中 称为“拉 格朗日中值”.函数 在区间 上的“拉格朗日中值” ____. 16．设直线 与函数 ， 的图象分别交于 P,Q 两点，则 ｜PQ｜的最小值为______________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的面积. 18．（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若不等式 的解集是 ，求 的周长． 3, 2,a b a= =  b 60 ,° a b−  a b ad bcc d = − 1cos 7 α = sin sin 3 3 cos cos 14 α β α β = 0 2 πβ α< < < β = ( )y f x= [ ],a b ( ),a b ( ),a b t ( ) ( ) ( )( )'f b f a f t b a− = − t ( ) 2g x x= [ ]0,1 t = x m= 2( ) 1f x x= + ( ) lng x x x= + ABC△ A B C， ， a b c， ， ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = − A cos 2a b C c= =， ABC△ ABC△ , ,A B C , ,a b c ( )cos 2 cosb C a c B= − B 2 6 1 0x x− + > ( ) ( ), ,a c−∞ ∪ +∞ ABC△19．（本小题满分 12 分）已知 ，且 .将 表示 为 的函数，若记此函数为 ， （1）求 的单调递增区间； （2）将 的图象向右平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍（纵 坐标不变），得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值与最小值. 20．（本小题满分 12 分）已知 时，函数 有极值 . （1）求实数 的值； （2）若方程 恰有 个实数根，求实数 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）证明： . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分.作答时请写清题号. 22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以原点为极 点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． ( ) ( )2cos 2 3sin ,1 , cos ,m x x n x y= + = −  m n⊥  y x ( )f x ( )f x ( )f x 6 π ( )g x ( )g x [ ]0,x π∈ 1x = 3( )f x ax bx= + 2− ,a b ( )f x k= 1 k ( ) 2( 1)( 2) 2xf x x x e x= − + − ( )y f x= (0, (0))f ( ) 2 4f x x> − − xOy C 3cos 3sin x y α α = = α x l 2sin 4 2 πρ θ − =  （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围.. C l ( )1,0P − l C ,A B | | | |PA PB+ ( ) 2 3 1f x x x= − + + ( ) 5f x ≤ ( ) 2f x x a≥ + [ ]0,1 a铜仁一中 2019-2020 届高三年级第二次模拟考试参考答案 文科数学 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D C A B A B C B C D 二、填空题 13． 14． 15． 16．1 三、解答题 17．（1）由题 又 （2）由正弦定理得 ，故 ，又 18．（1）由 得, 即 ，得 ，即 ， 得 ，又 ，于是 （2）依题意 a、c 是方程 的两根 ， 由余弦定理得 ， 的 周长为 ． 19．（1）由 得 ， 所以 . 由 得 ， 7 3 π 1 2 2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 a c ba b c bc A bc + −− = − ⇒ = = ( )0, , 3A A ππ∈ ∴ = ( )sin sin sin cos cos sin 0A B C B C B C= + = ⇒ = sin 0C ≠ cos 0 2B B π= ∴ = 2 2 32, 2 3 2 32c a S ×= ∴ = ∴ = = ( )sin cos 2sin sin cosB C A C B= − sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B+ = ( )0B π∈ ， ( )2 3a c ac= + − ABC∆ 6 3+ m n⊥  22cos 2 3sin cos 0m n x x x y ⋅ = + − = 22cos 2 3sin cos 1 cos2 3sin2 2sin 2 16y x x x x x x π = + = + + = + +   2 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ,3 6k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈即函数 的单调递增区间为 （2）由题意知 因为 ， 故当 时， 有最大值为 3； 当 时， 有最小值为 0. 故函数 在 上的最大值为 3，最小值为 0. 20．（1） ；（2） . （1）因为 ，所以 ． 又因为当 时， 的极值为 ，所以 ， 解得 . （2）由（1）可得 ，则 ， 令 ，得 x＝±1， 当 或 时 ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减； 所以当 时 取得极大值， ， 当 时 取得极小值， ， 大致图象如图所示： 要使方程 恰有 1 个解，只需 或 ． 故实数 的取值范围为 . 2sin 2 16y x π = + +   , ,3 6k k k Z π ππ π − + + ∈   ( ) 2sin 16g x x π = − +   [ ] 50, , ,6 6 6x x π π ππ  ∈ ∴ − ∈ −   6 2x π π− = ( )g x 6 6x π π− = − ( )g x ( )g x [ ]0,x π∈ 1, 3− ( , 2) (2, )−∞ − +∞ ( ) 3f x ax bx= + ( ) 23f x ax b′ = + 1x = ( )f x 2− 2 3 0 a b a b + = −  + = 1, 3a b= = − ( ) 3 3f x x x= − ( ) ( )( )23 3 3 1 1f x x x x= = +′ − − ( ) 0f x′ = 1x < − 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 1x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x = − ( )f x ( )1 2f − = 1x = ( )f x ( )1 2f = − ( )f x k= 2k > 2k < − k ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞21．（1）所求切线方程为 ；（2） （1）因为 ， 所以 ， 因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . （2）证明：要证 ，只需证 ， 设 ， 则 ， 令 得 ，令 得 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 从而 ，即 . 22．（1） ， ；（2） . （1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以曲线 C 的普通方程为 . 因为 ， 所以 . 2 2y x= − − ( ) 2 4f x x> − − ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 2 2x x xf x x x e x x e x e x= − + + − = + −′ ( )0 2f ′ = − ( )0 2f = − ( )y f x= ( )( )0, 0f 2 2y x= − − ( ) 2 4f x x> − − ( )( )2 21 2 2 4xx x e x x− + > − + − ( ) ( ) ( ) ( )( )22 22 4 1 3, 1 2 xg x x x x h x x x e= − + − = − − − = − + ( ) ( )2 2xh x x e x′ = + ( ) 0h x′ ≥ 2x ≥ − ( ) 0h x′ < 2x < − ( ) ( ) 2min 182h x h e = − = − 2.718e ≈ 2 18 3e − > − ( )max 3g x = − ( ) ( )max ming x h x< ( )( )2 21 2 2 4xx x e x x− + > − + − ( ) 2 4f x x> − − 2 2 19 3 x y+ = 1 0x y− + = 66 2 C 3cos 3sin x y α α = = α 2 2 19 3 x y+ = 2sin 4 2 πρ θ − =   sin cos 1, 1 0x yρ θ ρ θ− = ∴ − + =所以直线 的直角坐标方程为 . （2）由题得点 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 ， 代入椭圆的方程得 ， 所以 ， 所以 . 23．（Ⅰ） （Ⅱ） 解：（Ⅰ） . 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 . 综上，不等式 的解集为 . （Ⅱ）对 ， 恒成立， 即 在 恒成立， 即 ， ， 在 恒成立， . l 1 0x y− + = ( )1,0P − 21 2 2 2 x t y t  = − +  = 22 2 8 0t t− − = 1 2 1 2 2+ , 4 02t t t t= = − < 2 1 2 1 2 1 2 66|PA|+|PB|=| | ( ) 4 2t t t t t t− = + − = 71 3x x  − ≤ ≤    [ ]4,1a∈ − ( ) 5 2 3 1 5f x x x≤ ⇔ − + + ≤ 1x ≤ − 3 2 1 5x x− − − ≤ 2 3 5x− ≤ 1x = − 31 2x− < < 3 2 1 5x x− + + ≤ 4 5x− ≤ 31 2x− < < 3 2x ≥ 2 3 1 5x x− + + ≤ 3 2 5x − ≤ 3 7 2 3x≤ ≤ ( ) 5f x ≤ 71 3x x  − ≤ ≤    [ ]0,1x∀ ∈ ( ) 2f x x a≥ + 2 3 1 2x x x a− + + ≥ + [ ]0,1x∈ 4 2x x a− ≥ + 4 2 4x x a x∴ − ≤ + ≤ − ∴ 4, 4 3 a x a x ≥ − −  ≤ − [ ]0,1x∈ ∴ 4, 1, a a ≥ −  ≤ ∴ [ ]4,1a∈ −