黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020高二10月份阶段性总结数学（理）试题（附答案）.doc

哈尔滨市第六中学 2021 届十月份阶段性总结 高二理科数学 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．以下说法正确的个数是（ ） ①四边形确定一个平面； ②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；② 正方形；③圆，其中正确的是( ) A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③ 3．如图，在正方体 中， 分别为棱 的中点，以下四个结论： ①直线 与 是相交直线；②直线 与 是平行直线；③直线 与 是异面 直线； ④直线 与 是异面直线．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦 点到其渐近线的距离等于( ) A． B． C． D． 5．如图，四棱锥 , , 是 的中点，直线 交平面 于点 ， 则下列结论正确的是（ ） A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1 1,C D CC DM 1CC AM BN BN 1MB AM 1DD 2 2 2 1( 0)4 x y bb − = > 2 12y x= 5 4 2 3 5 P ABCD− AC BD O= M PC AM PBD N , , ,O N P M , , ,O N M D , ,O N M , ,P N O6．如图，正方体 中， 为棱 的中点，用过点 , , 的平面截去该 正方体 的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（　　） A． B． C． D． 7．圆心在抛物线 上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 8．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 ，它的体对角线的长分别是 和 ， 则这个棱柱的侧面积是( ) A． B． C． D． 9．已知椭圆 的上焦点为 ，直线 和 与椭圆分别相交 于点 ，则 (　　) A． B．8 C．4 D． 10．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实（虚）线画出的是某多面体三视图，则该几何 体的体积为（ ） A． B． C． D． 11.已知椭圆 的右焦点为 ,直线 ： ，点 ，线段 交椭圆 于 点 ,若 ，则 ＝(　　) A． B．2 C． D．3 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1BB A E 1C 2 2 ( 0)y x y= > x 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2 2 + 2 1 0x y x y+ − + = 2 2 12 04x y x y+ − − − = 2 2 12 + 04x y x y+ − − = 5 9 15 130 140 150 160 2 2 : 13 4 x yC + = F 1 0x y+ − = +1 0x y+ = , , ,A B C D | | | | | | | |AF BF CF DF+ + + = 2 3 4 3 64 64 3 16 16 3 2 2: 12 xC y+ = F l 2x = A l∈ AF C B 3FA FB=  | |AF 2 312．已知椭圆的方程是 ，以椭圆的长轴为直径作圆，若直线 与圆和椭圆在 轴上方的部分分别交于 两点，则 面积的最大值为(　　) A． 3 2 B． 1 4 C． 3 4 D． 1 2 二、填空题（每空 5 分，共 20 分） 13．抛物线 的准线方程是 ，则 的值为________． 14．.已知一个正方体的所有顶点在一个球面，若球的体积为 ，则正方体的棱长为 _______． 15．已知双曲线 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 两点.若 ，则双曲线 的离心率 为_______． 16．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线 上的点 作准线 的垂线， 垂足为 ，若 与 (其中 为坐标原点)的面积之比为 3∶1，则点 的坐标为 ___________． 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是 ，其中 求该几何体的体积和表面积． A B C′ ′ ′ 0 2, 3.A O B O C= =′ ′ ′ ′ =′ ′ 2 2 19 4 x y+ = 0x x= x ,P Q POQ∆ 2y ax= 2y = a 6π 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > A A b A A C ,M N 060MAN∠ = C 2: 4C y x= F l C A l M AMF∆ AOF∆ O A18．（12 分） （1）已知四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等，四边形 为正方形，点 是 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值. (2)如图，在长方体 中， 分别是 的 中点，求异面直线 与 所成角的余弦值． 19．（12 分）（1）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其 中俯视图由两个半圆和两条线段组成，求该几何体的表面积． （2）圆台的较小底面半径为 ，母线长为 ，一条母线和底面的一条半径有交点且成 ,求 圆台的侧面积． P ABCD− ABCD E PB AE PD 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1, 2, ,AA AB AD E F= = = ,BC DC 1AD EF 1 2 6020.（12 分）过点 作直线 与曲线 ： 交于 两点，在 轴上是否存在一 点 ，使得 是等边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。 21．（12 分）如图，椭圆 的离心率是 ，点 在短轴 上， ． （1）求椭圆 的方程； （2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ， 使得 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． ( 1,0)T − l N 2y x= ,A B x 0( ,0)E x ABE∆ 0x 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2 2 (0,1)P CD 1PC PD⋅ = −  E O P ,A B λ OA OB PA PBλ⋅ + ⋅    λ22.（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别是 其离心率 ，点 为椭圆上的一个动点， 面积的最大值为 . （1）求椭圆的方程； （2）若 是椭圆上不重合的四个点， 与 相交于点 ， ，求 的取值范围． 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2, ,F F 1 2 P 1 2PF F∆ 4 3 , , ,A B C D AC BD 1F 0AC BD⋅ =  | |+| |AC BD 高二理科数学答案： 一、选择题： 1-5 BBCAD 6-10 ADDBD 11-12 AC 二、填空题： 13. 14. 15. 16. 三、简答题： 17. 18. 19. 20．解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。 设直线 ， ， ， 。 由 消 y 整理，得 ① 由直线和抛物线交于两点，得 即 ② 由韦达定理，得： 。则线段 AB 的中点为 。 线段的垂直平分线方程为： 令 y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线 AB 的距离 d 为 。 解得 满足②式此时 . 21．解：(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 1 8 − 2 2 3 3 2±（2, 2 ） 8 3V = 24 12 3S = + 3 10(1)cos (2)cos3 5 θ θ= = (1) 12 20 (2) 6S Sπ π= + = : ( 1)l y k x= + 0k ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 ( 1)y k x y x = +  = 2 2 2 2(2 1) 0k x k x k+ − + = 2 2 4 2(2 1) 4 4 1 0k k k∆ = − − = − + > 2 10 4k< < 2 1 2 2 2 1,kx x k −+ = − 1 2 1x x = 2 2 2 1 1( , )2 2 k k k −− 2 2 1 1 1 2( )2 2 ky xk k k −− = − − 0 2 1 1 2 2x k = − 2 1 1( ,0)2 2E k − ABE∆ ∴ 2 1 1( ,0)2 2E k − 3 2 AB 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 2 1 4 1k kk −= + 21 2 kd k += 2 2 2 2 3 1 4 112 2 k kkk k − +∴ + = 39 13k = ± 0 5 3x =又点 P 的坐标为(0，1)，且PC→ ·PD→ ＝－1， 于是{1－b2＝－1， c a＝ 2 2 ， a2－b2＝c2， 解得 a＝2，b＝ 2．所以椭圆 E 的方程为 x2 4 ＋ y2 2 ＝1． (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1，点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)． 联立直线与椭圆方程得{x2 4 ＋ y2 2 ＝1， y＝kx＋1， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0． 其判别式 Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0 恒成立． 由根与系数的关系可得，x1＋x2＝－ 4k 2k2＋1，x1x2＝－ 2 2k2＋1． 从而，OA→ ·OB→ ＋λPA→ ·PB→ ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2 ＋k(x1＋x2)＋1＝ （－2λ－4）k2＋（－2λ－1） 2k2＋1 ＝－ λ－1 2k2＋1－λ－2， 所以当 λ＝1 时，－ λ－1 2k2＋1－λ－2＝－3．此时，OA→ ·OB→ ＋λPA→ ·PB→ ＝－3 为定值． 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 即直线 CD． 此时，OA→ ·OB→ ＋λPA→ ·PB→ ＝OC→ ·OD→ ＋PC→ ·PD→ ＝－2－1＝－3． 故存在常数 λ＝1，使得OA→ ·OB→ ＋λPA→ ·PB→ 为定值－3． 22.解：(1)由题意得，当点 P 是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2 的面积取得最大值， 此时 S△PF1F2＝ 1 2|F1F2|·|OP|＝bc， ∴bc＝4 3，因为 e＝ c a＝ 1 2，所以 b＝2 3，a＝4，所以椭圆方程为 x2 16＋ y2 12＝1. (2)由(1)得，F1 的坐标为(－2,0)，因为 AC―→ · BD―→ ＝0，所以 AC⊥BD， ①当直线 AC 与 BD 中有一条直线斜率不存在时，易得| AC―→ |＋| BD―→ |＝6＋8＝14. ②当直线 AC 的斜率 k 存在且 k≠0 时， 设其方程为 y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由Error!得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0， x1＋x2＝ －16k2 3＋4k2，x1x2＝ 16k2－48 3＋4k2 .| AC―→ |＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 24k2＋1 3＋4k2 ， 此时直线 BD 的方程为 y＝－ 1 k(x＋2)． 同理由Error!可得| BD―→ |＝ 24k2＋1 4＋3k2 ， | AC―→ |＋| BD―→ |＝ 24k2＋1 3＋4k2 ＋ 24k2＋1 4＋3k2 ＝ 168k2＋12 4＋3k23＋4k2， 令 t＝k2＋1，则| AC―→ |＋| BD―→ |＝ 168t2 3t＋14t－1＝ 168 12＋ t－1 t2 (t>1)，因为 t>1,0< t－1 t2 ≤ 1 4， 所以| AC―→ |＋| BD―→ |＝ 168 12＋ t－1 t2 ∈[96 7 ，14). 综上，| AC―→ |＋| BD―→ |的取值范围是[96 7 ，14].