江西省赣州市会昌中学、宁师中学2019-2020高二上学期第三次联考数学（理）试题（PDF版附答案）.pdf

绝密★启用前 2021 届会昌中学宁师中学第 3 次联考 高二数学试卷（理） 命题人：李 滢 审题人: 卢 萍 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1. 已知直线 1 2: 2 2 0, : 4 1 0l x y l ax y      , 若 1 2l l , 则 a 的值为（ ） A. －2 B. 2 C. 1 2  D. 8 2．对于任意实数 a b c d, , , ，给定下列命题正确的是（ ） A. 若 , 0a b c  ，则 ac bc B. 若 ,a b ，则 2 2ac bc C. 若 2 2 ,ac bc 则 a b D. 若 ,a b 则 1 1 a b  3. 在 ABC 中，若点 D 满足 3BD DC  ，点 E 为 AC 的中点，则 ED  （ ） A． 5 1 6 3AC AB  B． 1 1 4 4AB AC  C． 3 1 4 4AC AB  D． 5 1 6 3AC AB  4. 设等差数列 na 前 n 项和为 nS ，若 254  Sa ， 147 S ，则 10a （ ） A．8 B．18 C．14 D．-14 5. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a ，b ， c ，若 2a ， 6b ， 4 A ，则 B （ ） A． 6  B． 3  C． 6  或 6 5 D． 3  或 3 2 6. 若 x，y 满足 1 0 1 0 3 3 0 x y x y x y            ，则 2z x y  的最小值为（ ） A. －1 B. －2 C. 2 D. 1 7. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一 半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步 行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”，则该人最后一天走的路 程为（ ） A. 24 里 B. 12 里 C. 6 里 D. 3 里 8. 已知 nm, 是两条直线， , 是两个平面，则下列命题中正确的是（ ） A． , , / / / /m m n n      B． / / , / /m n n m     C. / / , / / ,m m n n      D． , , / / / /m n m n      9．已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的体积是 ( ) A. 3108cm B. 3100cm C. 392cm D. 384cm 10．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为 E，F，若 AB＝6， AD＝8，AA1＝7，则 异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ） A. 5 7 B. 7 5 C. 5 74 74 D. 7 74 74 11. 已知直线 043  yx 与圆 25)2( 22  yx 交于 A，B 两点，若 P 为圆上异于 A，B 的动点，则 ABP 的面积的最大值为 ( ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 12．如图，直角 ABC 的斜边 BC 长为 2， 030C ,且点 CB, 分别在 x 轴 y 轴正半轴上滑动，点 A 在 线段的右上方，设 ),( RyxOCyOBxOA  ，记 OCOAM  ， yxN  ,则（ ） A. M 有最大值， N 有最大值 B. M 有最小值， N 有最小值 C. M 有最小值， N 有最大值 D. M 有最大值， N 有最小值 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13．已知角 的终边经过点 (3, 4) ，则sin cos  + ______. 14. 过点 1( ,1)2M 的直线l 与圆C ： 2 2( 1) 4x y   交于 A 、 B 两点，C 为圆心，当 ACB 最小时，直 线l 的方程为_________________．2 15 . 已知实数 0a  ， 0b  ， 1 1 11 1a b    ，则 2a b 的最小值是__________． 16. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 棱长为3 ，点 E 在边 BC 上，且满足 2BE EC ，动点 M 在正方体表面上 运动，并且总保持 1ME BD ，则动点 M 的轨迹的周长为__________． 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分） 17. 已知 a  ，b  为两个不共线向量， 2a  ， 1b  ， 2c a b    ， d a kb    . (1) 若 / /c d   ，求实数 k ； (2) 若 7k   ，且 c d  ，求 a  与b  的夹角. 18.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 12n nS a  ( )n N  ． (1) 求数列 na 的通项公式； (2) 设 32log 12 n n ab   ，求 1 2 2 3 1 1 1 1 n nb b b b b b    . 19. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， 90ADB   ，CB CD ，点 E 为棱 PB 的中点． (1) 若 PB PD ，求证： PC BD ； (2) 求证：CE //平面 PAD ． 20. 在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 cos 4c A  ， sin 5a C  ． （1）求边长 c ； （2）若△ABC 的面积 20S  ．求△ABC 的周长． 21.已知圆 C 经过点 )1,3(),1,1( BA ，圆心 C 在直线 052  yx 上， p 是直线 01043  yx 上的任 意一点． （1）求圆C 的方程； （2）过点 p 向圆C 引两条切线，切点分别为 M ， N ，求四边形 PMCN 的面积的最小值． 22. 已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，且 2, 1AD AB  ，若 PA ⊥平面 ABCD ， ,E F 分别是线段 ,AB BC 的中点. （1）证明： PF DF ； （2）在线段 PA 上是否存在点G ，使得 EG ∥平面 PFD ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，说 明理由. （3）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 045 ,求二面角 A PD F  的余弦值.理科数学 一．选择题 ACBCD BCDBA CD 二．填空题 1 5 2 4 3 0xy   22 62 三．计算题 17. （1）∵ cd r ur ∥ ，∴ cd r ur . ∴  2a b a kb   r r r r . 因为 ,ab rr 不共线，∴ 2 1 1 2kk       …………………5 （2）∵ 7k  ，∴ 7d a b ur r r . 又∵ cd r ur ，∴   2 7 0a b a b    r r r r . ∴ 22 2 15 7 0a a b b    r r r r . 又∵ 2, 1ab rr ,∴ 1ab rr ………………………10 18． (1)当 n＝1 时，a1＝3 2a1－1，∴a1＝2. ………… 1 . ∵Sn＝3 2an－1， ① Sn－1＝3 2an－1－1(n≥2)， ② ∴①－②得 an＝(3 2an－1)－(3 2an－1－1)，即 an＝3an－1，……4 ∴数列{an}是首项为 2，公比为 3 的等比数列， ∴an＝2·3n－1……………………..6 (2)由(1)得 bn＝2log3 an 2 ＋1＝2n－1，…………….7 ∴ 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bn－1bn ＝ 1 1×3＋ 1 3×5＋…＋ 1 2n－32n－1 ＝1 2[(1－1 3)＋(1 3－1 5)＋…＋( 1 2n－3 － 1 2n－1 )]＝ n－1 2n－1 ………….12 19．证明：（1）取 BD 的中点O ，连结CO PO， ， 因为CD CB ，所以△ CBD 为等腰三角形，所以 BD CO ． 因为 PB PD ，所以△ PBD 为等腰三角形，所以 BD PO ． 又 PO CO OI ，所以 BD 平面 PCO． 因为 PC 平面 PCO，所以 PC BD ……………………………………6． （2）由 E 为 PB 中点，连 EO ，则 EO PD∥ ， 又 EO  平面 PAD ，所以 EO ∥平面 PAD ． 由 90ADB   ，以及 BD CO ，所以CO AD∥ ， 又CO  平面 PAD ，所以CO ∥平面 PAD ． 又 =CO EO OI ，所以平面CEO ∥平面 PAD ， 而CE  平面CEO ，所以CE ∥平面 PAD ． …………………….12 20. （1）∵由正弦定理可得： 2sin sin sin a b c RA B C   ，可得：asinC＝csinA， ∵asinC＝5，可得：csinA＝5，可得：sinA＝ 5 c ，又∵ccosA＝4，可得：cosA＝ 4 c ， ∴可得：sin2A+cos2A＝ 22 25 16 cc ＝1，∴解得 c＝ 41 ．………………..6 （2）∵△ABC 的面积 S＝ 1 2 absinC＝20，asinC＝5，∴解得：b＝8，……….8 ∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+41﹣2× 441 8 41  ＝41， 解得：a＝ 41 ，或﹣ 41 （舍去），……………………………...11 ∴△ABC 的周长＝a+b+c＝ 41 +8+ 41 ＝8+2 41 ．………….12 21．解：（1）设圆心坐标为（a，2a﹣5），则 ∵圆 C 过两点 A（1，1）， B（3，﹣1）， ∴ ＝ ∴a＝3，∴圆心坐标为（3，1）圆的半径为 2. ∴圆 C 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝4；……………………………6 （2）由题意过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 M，N， 可知四边形 PMCN 的面积是两个三角形的面积的和，因为 CM⊥PM，CM＝1， 显然 PM 最小时，四边形面积最小，此时 PC 最小 ∵P 是直线 3x﹣4y+10＝0 上的动点， PC 最小值＝ ．∴PM 最小值＝ ． ∴四边形 PMCN 面积的最小值为 2× ＝2 ．………………12 22. （1）连接 AF ，则 2AF  ， 2DF  . 又 2AD  ，∴ 2 2 2DF AF AD，∴ DF AF 又∵ PA  平面 ABCD，∴ DF PA .又 PA AF AI . ∴ DF  平面 PAF . ∵ PF  平面 PAF ，∴ DF PF ……………………3 （2）过点 E 作 EH FD∥ 交 AD 于点 H ，则 EH ∥平面 PFD ，且有 1 4AH AD . 再过点 H 作 HG DP∥ 交 PA 于点G ，连接 EG ，则 HG∥平面 PFD 且 1 4AG AP . ∴平面 EHG∥平面 PFD .∴ EG∥平面 PFD . ∴当G 为 PA 的一个四等分点（靠近点 A ）时， EG∥平面 PFD ……………..7 （3）∵ PA  平面 ABCD ，∴ PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，且 45PBA   ， ∴ 1PA AB. 取 AD 的中点 M ，连接 FM ，则 FM AD ， FM 平面 PAD ，∴ FM PD . 在平面 PAD 中，过点 M 作 MN PD 于点 N ，连接 FN 则 PD  平面 FMN ，则 MNF 为二 面角 A PD F的平面角. ∵ Rt MND Rt PAD△ ∽ △ ，∴ MN MD PA PD ∵ 1PA  ， 1MD  ， 5PD  ，且 90FMN   ， ∴ 5 5MN  ， 30 5FN  ，∴ 6cos 6 MNMNF FN   故二面角 A PD F的余弦值为 6 6 ………………………………….12